| 22 |
De geometrische context.
...Een bol is een ruimte van dimensie 2. Er zijn twee parameters nodig om er een punt te lokaliseren. Het is een ruimte die een topologie heeft (voor meer details over de betekenis van het woord topologie, zie mijn strip het Topologicon, Ed. Belin). Een bol heeft niet dezelfde topologie, dezelfde "vorm" als een torus. De bol bezit geodeten. Men kan er een traject op tekenen dat twee punten M1 en M2 verbindt en de afgelegde lengte s meten. Deze lengte is onafhankelijk van de gekozen coördinaten om de punten te lokaliseren, evenals de geodetische krommen die het oppervlak bevolken.
...Laten we het centrum van deze bol verbinden met al haar punten. We verkrijgen een oneindigheid aan halve rechten. Deze kunnen gelokaliseerd worden met hetzelfde lokalisatiesysteem als de punten, bijvoorbeeld twee hoeken q en j.
Hierboven onze bol.
Er is een gat gemaakt om de verzameling van straalvectoren te tonen.
Laten we nu de bol wegnemen en alleen de straalvectoren behouden.
...Men heeft deze halve rechten afgeknot, maar in feite zijn ze oneindig. Elk ervan wordt alleen gedefinieerd door het geven van twee parameters, bijvoorbeeld twee hoeken. De metrische structuur is verdwenen. Geen geodeten meer, geen lengtes meer. Wat blijft er over?
- Elke halve rechte heeft een omgeving. Men kan naburige halve rechten selecteren om deze in een soort kegel te omvatten. Binnenin deze kegel kan men een nauwere laten figureren, die de halve rechte bevat. Dat is een kwestie van concentrische cirkels of Russische poppetjes, maar dan met bundels halve rechten. Maar het gaat er niet om geodeten op die kegels te trekken. Elk van hun beschrijvende lijnen is simpelweg een verzameling van twee parameters, bijvoorbeeld twee hoeken.
- Men onderscheidt een intuïtief idee van differentieerbaarheid. Er is geen discontinuïteit in die "textuur".
Laten we een vlak oppervlak nemen, met geodeten, lengte enz...
...Welk coördinatensysteem ik ook kies, ik zal altijd de positie van mijn punten moeten lokaliseren met twee reële getallen (x,y), (r,q) enz...
Deze reële getallen worden genomen uit R2, dat wil zeggen uit de verzameling van paren reële getallen, zoals (3,8705 , - 17,56). Elk paar punten genomen in deze ruimte van paren reële getallen heeft een omgeving. Dat is "continu".
Deze "pre-metrische" objecten worden variëteiten genoemd (wiskundigen hebben een talent voor het kiezen van woorden die geen enkele evocatieve kracht hebben voor de man in de straat).
...In dit stadium kan men dus deze stap overslaan, die erin bestaat een verzameling van n reële getallen (ruimte met n dimensies) te beschouwen, zonder er automatisch een idee van lengte of geodeten aan te verbinden.
...Het is een beetje alsof men een oppervlak beschouwt waarvan de punten als enige beperking hebben dat ze contact houden met hun buren. Het zou oneindig elastisch en vervormbaar zijn. Bij conventie, als we een oppervlak voorstellen door zijn contour (hetzij zijn rand, hetzij zijn schijnbare contour, we zullen dit "bewegende" concept van variëteit oproepen door eenvoudigweg de contour weg te nemen:
...Dit beeld roept overigens de schaduw van het object op. En een schaduw heeft noch consistentie, noch vorm. Haar geometrie hangt af van het object waarop ze wordt geprojecteerd.
Men kan zich de variëteit (in het Engels manifold), zonder haar metriek, ook voorstellen als een familie van rechten.
...Daar heeft men rechten geplaatst die parallel lijken. Het zou nodig zijn dat deze rechten... hoe dan ook zijn, terwijl ze hun relaties van nabijheid, van omgeving behouden.
...Uiteindelijk is een goed beeld van een variëteit V2 een pak spaghetti dat men eerst kookt, en dat men vervolgens in alle richtingen kan plooien en verdraaien, maar zonder de ordening van de pasta's ten opzichte van elkaar te wijzigen.
Hoe dan ook kan men op een variëteit een bedekkingsoperatie met twee bladen uitvoeren, die men van metrieken voorziet, gesuggereerd door het onderstaande beeld:
Hier twee 2d-bladen voorzien van identieke (euclidische) metrieken. Maar men kan evengoed doen:
...Men zal M en M* geconjugeerde punten noemen. Het feit van te zeggen dat de twee geconjugeerde ruimten geconstrueerd zijn als de bedekking met twee bladen van een variëteit betekent eenvoudigweg dat er een punt-tot-punt-correspondentie bestaat tussen de twee bladen F en F*, maar bijvoorbeeld de afstanden tussen paren homologe punten (M1,M2) , (M*1, M*2) kunnen verschillen. De enige beperking is uiteindelijk dat de omgevingen van punten eveneens overeenkomen en dat aan elke niet-singuliere regio van een blad een eveneens niet-singuliere regio beantwoordt.
...Men vindt het flexibele noedelpak van daarnet terug. De structuur van "variëteit-skelet " is er alleen om de injectieve afbeelding tussen de twee geometrische objecten te construeren. De bovenstaande tekening is bedoeld om vragen volledig te doen uiteenspatten zoals "hoe zijn de bladen F en F* ten opzichte van elkaar geschikt? Als F een universum is, waar is F* dan? ". Deze bladen zijn eenvoudigweg geconjugeerd, met een punt-tot-punt-correspondentie en deze geconjugeerde punten kunnen beschreven worden door de zelfde coördinaten.
Inhoudsopgave
artikel Inhoudsopgave
Wetenschap Startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004
: