Verslag van de 3e Karl Schwarzschild-conferentie
Verslag van de 3e Karl Schwarzschild-conferentie
FIAS, Frankfurt, Duitsland
24–28 juli 2017
2 augustus 2017
"Over het gravitatieveld van een materiepunt volgens de theorie van Einstein"
https://arxiv.org/abs/physics/9905030 arXiv:physics/9905030
"Over het gravitatieveld van een incompressibele vloeistofbol volgens de theorie van Einstein"
arXiv:physics/9912033
"De grondslagen van de fysica (Tweede mededeling)"
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
Juan Maldacena brochure van het symposium
JANUS 6 (om 14:04)
de volledige playlist hier
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
**
Door de metriek in de vorm te gebruiken zoals gegeven door Schwarzschild als oplossing van de veldvergelijkingen, uitgedrukt in coördinaten (t, r, θ, φ), zou men eerst ten onrechte kunnen denken dat de col-sfeer wordt teruggebracht tot één enkel punt, vergelijkbaar met de top van een kegel: het punt r = 0. Maar dat zou betekenen dat men aan deze grootheid een „dimensionale waarde“ toekent, terwijl het niets anders is dan een „ruimtelijke coördinaat“. Een ruimtelijke coördinaat in de differentiaalmeetkunde is simpelweg een getal dat gebruikt wordt om bepaalde punten te lokaliseren. De enige echte afstanden, de lengten die een betekenis hebben, zijn die berekend met behulp van de metriek. Deze lengten, aangeduid met de letter s, zijn invariant ten opzichte van het gekozen coördinatensysteem (wanneer je twee identieke paden beschouwt die worden beschreven door verschillende coördinatensystemen).
De eigenschap van sferische symmetrie van de oplossing maakt het mogelijk om drie van de vier coördinaten (t, r, φ) vast te stellen en een rotatie van 2π uit te voeren over de coördinaat θ. De col-sfeer in de Hilbertrepresentatie komt overeen met R = α. Als t = constant, φ = constant en deze rotatie wordt uitgevoerd over θ, is het resultaat 2πα, de omtrek van een grote cirkel op de col-sfeer.
Herhaal deze operatie in mijn eigen representatie (t, r, θ, φ). De col-sfeer komt dan overeen met ρ = 0. De rotatie over de coördinaat θ geeft opnieuw de waarde 2πα.
Wat nog verbluffender is, is dat wanneer je de Schwarzschildrepresentatie kiest, waarbij de col-sfeer overeenkomt met r = 0, je ook deze lengte 2πα krijgt! Dat is erg verwarrend, want „rond het punt r = 0 draaien“ geeft een niet-nul lengte! Dat komt omdat r… geen punt is! Dit is een verwarrende eigenschap van de differentiaalmeetkunde en van de representatie van objecten via hun metriek.
Deze denkbeeldige oefening zou je moeten laten begrijpen dat je r niet langer moet beschouwen als een „dimensionale lengte“. Precies omdat iedereen r als een „radiale afstand“ voorstelt, ontstaat de verwarring.
In werkelijkheid is het zelfs het woord „dimensie“ dat de verwarring veroorzaakt. In plaats van te zeggen: „we gaan punten lokaliseren in dit meetkundig object met behulp van een reeks dimensies“, zouden we moeten zeggen:
— We gaan punten lokaliseren in dit meetkundig object met behulp van ruimtelijke coördinaten:
(x₀, x₁, x₂, x₃) Maar zelfs de letter x kan misleidend zijn. Om volledig de verkeerde indruk te vermijden dat r een variabele radiale afstand is die naar een centraal punt leidt, zou de ruimtelijke coördinaat moeten worden gedefinieerd met een neutrale Griekse letter, zoals β of ζ:
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃) Laten we teruggaan naar het algemene concept van metriek. In de wiskunde, in de meetkunde, wat is dat?
De Aarde is niet plat. Hij is bolvormig. Dat is een probleem voor kaartmakers. Als we de continenten bekijken op een globe, gaat alles goed. Maar hoe kaarten we een gekromd wereldbeeld op platte papierbladen, op vlakke onderlagen, hoe gaan we te werk? Er worden meerdere kaarten opgesteld en samengevoegd in een atlas. Aangrenzende kaarten kunnen met elkaar worden verbonden door de overeenkomst tussen hun meridianen en parallellen aan te passen.
Algemener gezien is het mogelijk om elke oppervlakte te kaarten met deze techniek. Een auto-afwerking bijvoorbeeld. Elk vlak element van deze atlas komt overeen met een lokale metrische beschrijving. Wiskundigen en meetkundigen hebben dit concept uitgebreid door atlanten te beschouwen die bestaan uit niet-euclidische elementen. Stel je een wereld voor waarin papier niet bestaat en waar mensen onderlagen vormen van gedroogde bladeren, gevormd als stukken van een bol die kunnen worden gestapeld, waardoor een vreemde gekromde atlas ontstaat. Alles zou zo kunnen worden gekartografeerd, stap voor stap (zelfs een vlak!).
Deze techniek stelt geen beperkingen op de topologie van het te kaarten object.
Het kiezen van een vorming van het object dat wordt beschreven door de Schwarzschild-metriek met behulp van „poolcoördinaten“ impliceert impliciet een sterke hypothese over zijn topologie.
In de volgende tekst is het idee dat de metrische oplossing haar eigen topologie bevat en dat we geen keuze hebben. We geven volledig op met de klassieke aanpak van kaarten die een atlas vormen, en stellen ons voor dat het object alleen wordt beschreven door zijn metriek, uitgedrukt in een reeks „aangepaste“ coördinaten, dat wil zeggen in overeenstemming met de impliciete topologie die aan de metrische oplossing is gekoppeld. Het centrale idee is:
– De eenheidslengte s moet overal reëel zijn.
– En als gevolg daarvan: de signature van de metriek is invariant.
Op basis van deze opmerkingen en suggesties kan men dan het klassieke zwart gat-model, met al zijn meervoudige pathologieën, in twijfel trekken. Is dit niet een gevolg van de manier waarop Hilbert deze meetkunde heeft geïnterpreteerd? Het draagt deze chimère van „het binnenste van het zwarte gat“, toegankelijk via „de analytische voortzetting van Kruskal“, waar Maldacena in zijn voordracht zei dat „het de oplossing uitbreidt tot de hele ruimtetijd“. Het feit is dat onderzoekers naar zwarte gaten een vooropgezette mening hebben over de topologie van het object dat zij bestuderen. Hoe?
Topologisch, beschouw een 2D-oppervlak. Teken een gesloten kromme, en probeer de omtrek te verkleinen tot nul. Er zijn twee scenario’s:
– Of deze omtrek kan worden verkleind tot nul.
– Of er wordt een minimale limiet bereikt.
Dit kan worden geïllustreerd in de volgende afbeelding:
Als een 2D-inwoner van dit oppervlak ons zou vragen:
— Wat zit er in het midden van de cirkel?
Dan kunnen we alleen maar antwoorden dat zijn vraag geen zin heeft, omdat deze cirkels geen midden hebben.
Als we overstappen naar een 3D-wereld, zou dergelijke contractibiliteit verschijnen als de mogelijkheid om een bol te vervormen door de oppervlakte te verkleinen tot nul:
Als deze operatie lukt, dan heeft deze bol een „binnenste“ en een „midden“.
Maar een 3D-ruimte is niet noodzakelijk contractibel. Als dat niet zo is, dan zal in bepaalde regio’s (het oppervlak heeft de topologie van een 2-sfeer) de foliatie van deze ruimte door opeenvolgende concentrische bollen (zoals het schillen van een aardappel) een minimale oppervlakte bereiken. Vervolgens, als we proberen de foliatie voort te zetten, zal het oppervlak weer stijgen, omdat het minimale oppervlak dat we net zijn gepasseerd in werkelijkheid een col-sfeer was.
Het is niet meer mogelijk om dit in 3D te tekenen, maar door verwijzing naar de vorige 2D-afbeelding zien we dat aan de rechterkant de minimale waarde een col-cirkel is (rood). Alles kan worden uitgebreid naar een 3D-hypervlak en een hypervlak met een willekeurig aantal dimensies.
Door Joseph Kruskal te loven „die ons heeft toegestaan de oplossing uit te breiden tot de hele ruimtetijd“, realiseert Maldacena (zoals duizenden voor hem) niet dat hij onbewust een hypothese maakt over de topologie van het 4D-hypervlak waarover hij praat: de „ruimtetijd“.
In werkelijkheid eindigt deze poging in een verandering van de signature van de metriek, gepaard gaand met de transformatie van de eenheidslengte naar een zuiver imaginair getal. Dat drukt simpelweg de „antwoord“ uit dat het formalisme geeft:
— Let op! Je bent buiten het hypervlak!
In werkelijkheid wil hij een gedeelte van de ruimtetijd verkennen dat zelfs niet bestaat, net zoals een meetkundige die een analytische voortzetting zou bouwen om de eigenschappen van het raakvlak aan een torus te bestuderen… dicht bij zijn as, zoals een gekke monteur in het land van Alice in Wonderland probeert een onderdeel op het binnenste van een band te plakken in de regio dicht bij de as van het wiel… Als ik gelijk heb, dan is zoveel papier, inkt en hersenwerk (inclusief kwantumhersenwerk) gedurende decennia verspild om een object te beschrijven dat niet bestaat, en alles wat daaruit volgt, zoals de eigenschappen van een „centrale singulariteit“! Men kan zich afvragen waarom dit al een eeuw lang volledig onopgemerkt is gebleven. Misschien kunnen wetenschapshistorici ons dat antwoord geven. Laten we zeggen dat door zijn fantasie over een imaginair tijd, Hilbert de idee van een ruimtelijke signature (– + + +) heeft doorgegeven, wat misschien betekent dat niemand na hem meer bezorgd was over het feit dat het kwadraat van de lengte-eenheid van teken verandert. Maar het is onjuist om te zeggen dat dit alleen een kwestie van „conventie“ is.
Toch hadden Schwarzschild (en Einstein) gekozen voor een tijdsignature (+ – – –), zoals te zien is in het artikel van Schwarzschild:
In tegenstelling daarmee, door het teken van de termen die verwijzen naar hoeken vast te stellen, verankert Hilbert impliciet de signature op (– + + +):
Fysici, studenten en ingenieurs die deze vragen willen onderzoeken, kunnen hieronder de Engelse vertalingen van de diverse artikelen die worden genoemd op deze pagina downloaden, inclusief de historische artikelen oorspronkelijk gepubliceerd in het Duits duizend jaar geleden. Ze zijn waarschijnlijk nooit gelezen door onze moderne „mensen van zwarte gaten“, die kennelijk alle contact met de werkelijkheid zijn kwijtgeraakt, een astrofysica zonder observatie opbouwend uit wiskunde zonder rigoureusheid.
• Historische artikelen:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. ; Loinger, A. (12 mei 1999). « Over het gravitationele veld van een puntmassa volgens de theorie van Einstein ».
.
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. (12 mei 1999). « Over het gravitationele veld van een bolvormige onsamendrukbaar vloeistof volgens de theorie van Einstein ».
.
Frank, Ph. (1916) in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik .
46 : 1296.
vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. (2003). « Bijlage A: Beoordeling van Frank over het artikel van Schwarzschild „Massenpunkt“ » in « David Hilbert en de oorsprong van de Schwarzschild-oplossing ».
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics . Bremen : Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Droste, J. (1917).
.
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A .
19 (I) : 197–215. (Geïntroduceerd door Prof. H. A. Lorentz tijdens de KNAW-vergadering, 27 mei 1916).
Heruitgegeven (2002) in General Relativity and Gravitation .
34 (9) : 1545–1563. doi:10.1023/A:102074732.
Weyl, H. (1917).
.
Annalen der Physik .
54 (18) : 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804.
vertaald in het Engels onder de titel:
Neugebauer, G. ; Petroff, D. (maart 2012).
.
General Relativity and Gravitation .
44 (3) : 779–810. doi:10.1007/s10714-011-1310-7.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels onder de titel:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
• Vooruitgang:
Abrams, L. S. (november 1979). « Alternatieve ruimtetijd voor een puntmassa ».
Physical Review D .
20 (10) : 2474–2479. doi:10.1103/PhysRevD.20.2474.
- correctie:
Abrams, L. S. (april 1980). « Erratum: Alternatieve ruimtetijd voor een puntmassa ».
Physical Review D .
21 (8) : 2438. doi:10.1103/PhysRevD.21.2438.
.
Abrams, L. S. (2001). « Zwarte gaten: het erfgoed van de fout van Hilbert ».
Canadian Journal of Physics 67 (9) : 919–926. doi:10.1139/p89-158.
.
Antoci, S. ; Liebscher, D.-E. (2001). « Het oorspronkelijke Schwarzschild-oplossing opnieuw bekijken ».
Astronomische Nachrichten .
322 (2) : 137–142.
.
Antoci, S. (2003). « David Hilbert en de oorsprong van de Schwarzschild-oplossing ».
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics . Bremen : Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Petit, J.-P. ; d’Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A .
30 (9) : 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Petit, J.-P. (2017).
(YouTube-playlist, ondertiteld in het Engels).
Zie ook dit.
Ik ben net teruggekeerd van de 3e Karl-Schwarzschildconferentie over gravitatiefysica en gauge/graviteit-correspondentie, gehouden in Frankfurt, Duitsland, bij het prestigieuze FIAS (Frankfurt Institute for Advanced Studies).
Ik twijfelde sterk over de inhoud van mijn poster en besloot uiteindelijk om mijn systeem van twee gekoppelde veldvergelijkingen te presenteren, het hart van het Janus Cosmologisch Model.
Een tekst die niet goed paste binnen het centrale thema van de conferentie, dat gericht was op « de fysica van zwarte gaten ». Dat is een onderwerp dat ik later wilde behandelen, maar een artikel dat ik in 2015 publiceerde in Modern Physics Letters A:
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9): 1550051. doi: 10.1142/S0217732315500510.
was het dichtstbijzijnde dat ik ooit had gepubliceerd na peer review. Aangezien er een tafel naast mijn poster stond, schreef ik de hoofdlijnen van dit artikel op:
Dat trok veel aandacht. De deelnemers namen foto’s en er vormde zich een groepje. Een senior onderzoeker van ongeveer zestig jaar legde meteen zijn twijfel uit over het idee dat alle singulariteiten in de door Schwarzschild gevonden metrische oplossing van 1916 (die de theorie van zwarte gaten ondersteunt) zouden kunnen worden weggenomen door een eenvoudige variabeletransformatie. Aangezien hij geen badge droeg, in tegenstelling tot de anderen, vermoedde ik dat hij moest behoren tot het FIAS, het Frankfurt Institute for Advanced Studies, dat deze conferentie organiseerde. Hier is die variabeletransformatie:
Een kritische reactie eindelijk! Om alles duidelijk te maken, schreef ik snel alle berekeningsdetails op een vel papier dat ik aan mijn expert gaf. Hij pakte het papier, liep een beetje weg, ging op een stoel zitten en boog zich een kwartier lang over de vergelijkingen.
Iedereen wachtte op zijn oordeel. Uiteindelijk gaf hij mijn artikel terug met een knik van goedkeuring. Er stond diepe verbazing op zijn gezicht. Ik denk dat hij zei:
« Ik heb dit nergens eerder gezien. Natuurlijk heeft deze Fransman ergens een fout gemaakt die ik nog niet heb gevonden. Die zal ik later wel vinden. » Ik probeerde hem vast te houden bij dit probleem, dat de interpretatie van de 1916 door Karl Schwarzschild verkregen oplossing ter sprake brengt (de conferentie heette immers precies de « Karl-Schwarzschildconferentie »!). Ik vroeg of hij het oorspronkelijke artikel had gelezen, verschenen in de Comptes rendus van de Preußische Akademie der Wissenschaften, waarin de zogenaamde « externe Schwarzschildoplossing » wordt uitgelegd:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] En ook zijn tweede artikel, een paar weken later gepubliceerd (minder dan drie maanden voor zijn dood), de « interne Schwarzschildoplossing »:
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 424–434 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] Hij erkende dat hij ze nooit had gelezen (!), en voegde eraan toe:
— Leest u Duits?
— Nee, maar ik heb Engelse vertalingen gelezen, relatief recent (1999) voor artikelen van een eeuw oud. Ik heb deze documenten op mijn laptop. Bent u akkoord om ze samen te lezen? Er is ook een zeer belangrijk artikel van David Hilbert uit december 1916, dat het werk van Schwarzschild na zijn dood overneemt.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels onder de titel:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
Hij wierp het af, voegde toe dat hij ook dit artikel niet kende (!). In werkelijkheid ontdekte ik in Frankfurt dat zwarte gat-specialisten simpelweg de fundamentele teksten niet kennen waarop hun werk is gebaseerd. In een lezing voor alle deelnemers noemde een « grote figuur » van de moderne ontwikkeling van zwarte gattheorie (zoals vermeld in de notities):
Juan Maldacena — De Schwarzschildoplossing heeft ons meer dan een eeuw verward en ons gedwongen onze ideeën over ruimte en tijd te verfijnen. Ze heeft geleid tot een scherper begrip van Einsteins theorie. Experimenteel verklaart ze diverse astrofysische waarnemingen. Hun kwantumaspecten zijn een bron geweest van theoretische paradoxen die ons dwingen om de relatie tussen ruimtetijd-geometrie en kwantummechanica beter te begrijpen.
Concreet, wat is het nut?
Allereerst de « ontdekking » van het « Hawking-straling ». In werkelijkheid is alles gebaseerd op het idee van een verbinding tussen Algemene Relativiteitstheorie en Kwantummechanica. We weten dat een dergelijke verbintenis nooit tot stand is gekomen (de zwaartekracht weigert te worden gequantificeerd, wat zou leiden tot het bestaan van een graviton, een deeltje met spin 2, dat altijd onvindbaar is gebleven).
Onze hedendaagse theoreten zijn ervan overtuigd dat deze fantasie een echte realiteit is. Door een kwantumfenomeen in de buurt van het gebeurtenishorizon te invoeren, « bewees » Hawking dat een zwart gat energie kan verliezen, « stralen ». Dit leidde direct tot het paradox van informatie in zwarte gaten. In deze objecten zou volledig alle structuur worden verpletterd. Alles zou volledig verdwijnen. Dus zouden zwarte gaten « machines zijn die informatie vernietigen ». Maldacena schetste vervolgens de vooruitgang in de « thermodynamica van zwarte gaten ». In het bijzonder benadrukte hij dat « de entropie van zwarte gaten evenredig is met hun oppervlak ».
Samengevat: in de afgelopen decennia is de aandacht van theoreten volledig gericht geweest op het omzeilen van deze informatieparadox. U hebt waarschijnlijk gehoord van een « vuurmuur » en andere dergelijke ideeën. In zijn laatste werk noemt Maldacena een nieuw « magisch woord»:
de kwantumverstrengeling. Een concept uit de kwantummechanica en het beroemde Einstein-Podolsky-Rosen-paradox (EPR-paradox), dat ik heb beschreven in mijn video. In deze beroemde proef zijn twee uitgezonden fotonen « verstrengeld ». Kort gezegd, volgens Maldacena biedt « kwantumverstrengeling » alle antwoorden. Daar komt een vleugje snaartheorie bij.
Een uitspraak van dit type is het beste van de theorie in 2017.
De deelnemers aan de conferentie maakten duidelijk verwijzingen naar de JANUS-video’s (zie ). Dankzij het uitstekende werk van Julien Geffray zijn de video’s vertaald naar het Engels met ondertiteling, zes ervan waren al vertaald bij de opening van de conferentie (JANUS 14 tot 19). En daar begrepen we dat een correcte Engelse ondertiteling absoluut noodzakelijk was om hoorbaar te zijn buiten Frankrijk. Ik kan geen slechte Engelse vertaling leveren: buitenlandse gebruikers zouden direct afwassen. Geffray, die mijn werk al 20 jaar volgt en perfect de taal van Shakespeare beheerst, was de enige persoon in staat om dit delicate werk van ondertiteling te doen, dat 2 tot 3 dagen per video kost. Dat betekent 15.000 tot 20.000 tekens per video, met een tekst vol specifieke jargon die moeilijk te vertalen is, de moeilijkheid van visuele organisatie en het kalibreren van ondertitels tot op een tiende van een seconde nauwkeurig, evenals het maken van kaarten die verwijzen naar mijn gepubliceerde artikelen en wetenschappelijke strips.
Zien dat het effect op niet-Franssprekenden was, besefte ik dat ik alle video’s uit de JANUS-reeks moest laten ondertitelen in het Engels. We hebben de prijs heronderhandeld om de vertaling verder uit te breiden, maar het budget blijft hoog voor meer dan 20 video’s.
Gebruikers van internet hebben gereageerd op het oproep en donaties gedaan via . Deze fondsen stellen mij in staat om naar het buitenland te reizen en deel te nemen aan internationale conferenties (inschrijvingskosten, reis- en verblijfkosten) evenals dit ondertitelingwerk. Ik ben er zeker van dat ik deze video’s zal blijven produceren met een frequentie van twee per maand (ja, er zal ook een JANUS-video over kwantummechanica komen). Ik denk dat dit een verstandige investering is, want terwijl teksten op websites vaak in de vergetelheid raken, blijven video’s eeuwig bestaan en zijn ze het meest moderne communicatiemiddel.
Voorzien budget tot voorjaar 2018 (ondertiteling + conferenties): 20.000 euro. De waarheid heeft een prijs.
Als de fondsen die door internetgebruikers worden gestuurd (groot dank aan jullie!) voldoende zijn om mijn aanwezigheid te garanderen op de komende conferenties (de Schwarzschildconferentie in Frankfurt; dan COSMO-17 in Parijs…), heb ik extra hulp nodig om deze ondertitelingkosten en latere conferenties te dekken.
Impact van deze video’s: reacties van jonge onderzoekers op de Schwarzschildconferentie. Een van hen, een Italiaan, zei uiteindelijk:
— Ik heb uw artikelen over uw Janus-cosmologisch model gezien (hij had de expertise om de inhoud te waarderen). Ik kijk hoe u hier wordt ontvangen. Hoe kunt u verwachten dat deze mensen iets anders doen dan u de rug toe te keren? Wat u voorstelt, is het vernietigen van de basis van hun werk!
Er is contact gelegd met deze jonge man en dat blijft behouden. Hij werkt in Italië aan de dynamica van gemodificeerde Newtoniaanse mechanica (MOND). Dat is een eerste zaadje geplant. Als ik blijf « flirten » op internationale conferenties, zullen er meer jonge onderzoekers komen, waarschijnlijk niet onder diegenen die hun roem hebben gebouwd op de fantastische werken die ik heb genoemd.
Sommige van deze jongeren zullen ooit zeggen:
« Ik geloof werkelijk niet in de MOND-theorie, maar als ik eens zou willen zien waar de ideeën van deze Franse fysicus toe leiden? » Deze contacten en uitwisselingen zullen worden vergemakkelijkt doordat deze jonge onderzoekers de video’s kunnen zien, en vervolgens de artikelen over het Janus-model wanneer ze mij ontmoeten.
In Frankfurt waren de meeste presentaties gericht op « de fysica van zwarte gaten », op « wat u zou kunnen waarnemen, als u het kon observeren… ». Voeg daar nog een nieuwe gedachte toe: een « holografisch universum » (ik moet een video maken die uitlegt wat een echte hologram is). Een vrouw legde uit dat « we geen angst moeten hebben voor kosmische snaartjes ». Een andere liet zien hoe kleine zwarte gatenparen konden ontstaan tijdens de inflatiefase van de kosmische expansie. Voeg verhalen toe over snaartheorie, « botsingen van branes ». Ik ben bijna de enige die opvalt door het voorstellen van werk en resultaten… die kunnen worden getoetst aan waarnemingen.
Als ik de kosmologische gemeenschap wil wekken, zodat ze reageren, moet ik hun lievelingskind aanvallen: het zwarte gat. Dat had ik nooit verwacht te doen voor veel later. Maar de sfeer van de conferentie in Frankfurt dwong me om de situatie te corrigeren, en daarom zal de titel van mijn volgende video zijn:
JANUS 21: Het zwarte gat, geboren uit een verkeerde interpretatie van de oplossing die Karl Schwarzschild in 1916 vond. Dat zal ook mijn woorden zijn tijdens de internationale conferentie COSMO-17 in Parijs. Het gaat er niet om een alternatief model voor het zwarte gat te voorstellen (nog niet), maar om te verkondigen:
— Zoals het nu is, is het model van dit object dat « zwart gat » wordt genoemd, oncoherent, omdat het niet overeenkomt met de oplossing die Karl Schwarzschild in 1916 vond, en ik bewijs het.
De Duitse wiskundige Karl Schwarzschild overleed op 11 mei 1916 in Potsdam op 43-jarige leeftijd, drie maanden na de publicatie van zijn oplossingen voor de Einsteinvergelijkingen. De oplossing werd in 1916 gevonden door Schwarzschild en gepubliceerd in de vorm:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] In dit eerste artikel definieert Schwarzschild een coördinaat r als een « poolcoördinaat »:
Maar hij introduceert wat hij een hulpgrootheid R noemt, en via haar formuleert hij zijn beroemde « externe oplossing » in januari 1916:
Het is niet nodig een wiskundige te zijn om te zien dat, aangezien de door Schwarzschild gekozen variabele r (zoals hierboven gedefinieerd) strikt positief is, de tussenliggende hoeveelheid R niet vrij is, maar een ondergrens α heeft:
Schwarzschild overleed op 11 mei 1916 in Potsdam op 43-jarige leeftijd, slechts enkele maanden na deze eerste publicatie.
Herneemend dit werk in een presentatie in december 1916 aan de Academie van Wetenschappen van Göttingen, beschouwde de grote Duitse wiskundige David Hilbert deze manier van uitdrukken van de oplossing als niet relevant, wat in dit geval de singulariteit (bij R = α) naar de oorsprong, bij r = 0, verplaatst.
De presentatie van Hilbert is gedateerd op 23 december 1916 (Schwarzschild is overleden in mei):
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels onder de titel:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
In werkelijkheid werkte Hilbert al actief aan de algemene relativiteitstheorie, met als titel van zijn artikel « De grondslagen van de fysica ». Men heeft vaak de neiging te denken dat Einstein de fysicus was en Hilbert de puur wiskundige. In werkelijkheid had Hilbert weinig belangstelling voor technische aspecten van de wetenschap. Op een dag werd hij gevraagd om zijn zieke collega Felix Klein, een wiskundige, te vervangen bij een lezing voor ingenieursstudenten. Hilbert begon zijn uiteenzetting met een grap:
— Er wordt veel gesproken over de vijandigheid tussen wetenschappers en ingenieurs. Ik geloof er niet in. In feite ben ik ervan overtuigd dat het niet waar is. Er zou niets kunnen zijn, want geen van beide partijen heeft iets met de andere te maken.
Maar het ging niet alleen om ingenieurs. Er is ook deze beroemde uitspraak van hem:
— De fysica wordt te moeilijk voor fysici.
Hilberts wiskundige werk is in werkelijkheid aanzienlijk. Maar als je nieuwsgierig bent en dit historische document raadpleegt, zul je ontdekken dat hij probeerde de grondslagen te leggen van een sterk gemathematischeerde fysica (een echte wiskundige fysica). In vergelijking met zijn grap aan de ingenieurschool heeft Hilbert iets veranderd van mening, misschien na zijn ontmoeting met Einstein, of algemener na uitwisselingen met de grote fysici van die tijd. Natuurlijk denkt hij bij het presenteren van zijn eigen bijdrage groot vanaf het begin. Dit artikel legt de basis voor een « Lagrangiaanse aanpak » voor de hele fysica, dus zowel gravitatie als elektromagnetisme. In dit werk is duidelijk dat Hilbert streeft naar het samenvatten van « de gehele fysica van die tijd » in deze aanpak, wat later een « unificatie van het veld » zou worden genoemd, een project dat Einstein voor de rest van zijn leven probeerde te voltooien. Het project is mislukt, omdat de twee formalismen niet samen kunnen worden opgenomen met slechts vier dimensies. Zoals Jean-Marie Souriau in 1954 goed uitlegde in zijn uitstekende werk « Géométrie et Relativité » (helaas alleen in het Frans verschenen, maar nu vrij beschikbaar), kan elektromagnetisme worden opgenomen in de algemene relativiteitstheorie door vijf dimensies te gebruiken, door de « vijfde dimensie van Kaluza » toe te voegen.
Toen Hilbert dit 22-paginaanse artikel publiceerde op 23 december 1916, was het geen improvisatie na de artikelen van Schwarzschild, maar de tweede helft van een grote presentatie die in november 2015 werd gegeven, eerst teruggetrokken omdat Hilbert vond dat het niet goed genoeg was opgebouwd. Gedurende een jaar heeft hij geleidelijk diverse uitbreidingen toegevoegd, evenals de niet-lineaire oplossing van Schwarzschild voor de Einsteinveldvergelijkingen, die later werd gepubliceerd.
Hoe dan ook, het toevoegen van de Schwarzschildoplossing wordt door Hilbert duidelijk voorgesteld als een klein punt in zijn grotere werk.
Alles draait om het volgende extract:
Hilbert introduceert vier coördinaten w₁, w₂, w₃, w₄, en stelt onmiddellijk vast dat de eerste drie (de ruimtelijke coördinaten) zoals hij ze gebruikt, kunnen worden uitgedrukt met behulp van poolcoördinaten. Aangezien hij dit probleem van het gravitatieveld rond een massa-punt beschouwt als een « centrale symmetrie » (zentrischsymmetrisch),
Door de metriek in de vorm te gebruiken zoals gegeven door Schwarzschild als oplossing van de veldvergelijkingen, uitgedrukt in coördinaten (t, r, θ, φ), zou men op het eerste gezicht kunnen denken dat de bol van de kraag is samengeperst tot één enkel punt, vergelijkbaar met de top van een kegel: het punt r = 0. Maar dat zou betekenen dat men aan deze grootheid een “dimensionale” waarde toekent, terwijl het in werkelijkheid slechts een “ruimtelijke marker” is. In de differentiaalmeetkunde is een ruimtelijke marker simpelweg een getal dat helpt om bepaalde punten te lokaliseren. De enige echt significante afstanden, dat wil zeggen echte lengten met een betekenis, zijn die berekend met behulp van de metriek. Deze lengten, aangeduid met de letter s, zijn invariant ten opzichte van het gekozen coördinatensysteem (wanneer men twee identieke banen beschrijft met verschillende coördinatensystemen).
De eigenschap van sferische symmetrie van de oplossing maakt het mogelijk om drie van de vier coördinaten (t, r, φ) vast te stellen en een rotatie van 2π uit te voeren rond de coördinaat θ. De bol van de kraag in de Hilbert-afbeelding komt overeen met R = α. Als t = constant, φ = constant en deze rotatie plaatsvindt langs θ, is het resultaat 2πα, dus de omtrek van een grote cirkel op de bol van de kraag.
Herhalen we deze operatie in mijn eigen afbeelding (t, r, θ, φ). Dan komt de bol van de kraag overeen met ρ = 0. De rotatie langs de coördinaat θ geeft het resultaat 2πα.
Wat nog verbluffender is, is dat als men de Schwarzschild-afbeelding kiest waarin de bol van de kraag overeenkomt met r = 0, men ook dezelfde lengte 2πα krijgt! Dit is zeer verwarrend, omdat “om het punt r = 0 heen lopen” een niet-nul lengte oplevert! In feite is r … geen punt! Dit is een verwarrende eigenschap van differentiaalmeetkunde en de afbeelding van objecten via hun metriek.
Deze gedachtenexperiment zou u ervan moeten overtuigen dat r niet langer moet worden beschouwd als een “dimensionale lengte”. Precies omdat iedereen r als een “radiale afstand” naar een centraal punt voorstelt, ontstaat de verwarring.
In werkelijkheid is het zelfs het woord “dimensie” dat de verwarring veroorzaakt. In plaats van te zeggen: “we gaan de punten van dit meetkundige object lokaliseren met een reeks dimensies”, zou men moeten zeggen:
— We gaan de punten van dit meetkundige object lokaliseren met ruimtelijke markers:
(x₀, x₁, x₂, x₃) Maar zelfs de letter x kan misleidend zijn. Om volledig de verkeerde indruk te verwijderen dat r een variabele is die een radiale afstand tot een centraal punt vertegenwoordigt, zou de ruimtelijke marker moeten worden aangeduid met een neutrale Griekse letter, zoals β of ζ:
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃)
Laten we nu het algemene concept van metriek heroverwegen. In wiskunde en meetkunde, wat is dat?
De Aarde is niet plat: het is een bol. Maar dat stelt kaartmakers voor een probleem. Als je de continenten op een globe bekijkt, gaat alles goed. Hoe vertegenwoordig je echter een gebogen wereld op platte papierbladen, op vlakke onderlagen? Er worden meerdere kaarten gemaakt en samengevoegd tot een atlas. Aangrenzende kaarten kunnen met elkaar worden verbonden door de overeenkomst tussen hun meridianen en parallellen aan te passen.
Algemener gezien is het mogelijk om elke oppervlak met deze techniek te kaarten. Een automobiel bijvoorbeeld. Elk vlak element van deze atlas komt overeen met een lokale beschrijving van de metriek. Wiskundigen en meetkundigen hebben dit concept uitgebreid door atlanten te beschouwen die bestaan uit niet-euclidische elementen. Stel je een wereld voor waarin papier niet bestaat, en waarin onderlagen worden gebruikt in de vorm van gedroogde bladeren, gevormd als bollen die kunnen worden gestapeld, waardoor een vreemde gebogen atlas ontstaat. Alles kan op deze manier stap voor stap worden gekaart (zelfs een vlak!).
Deze techniek stelt geen beperkingen aan de topologie van het te kaarten object.
Het kiezen van een representatie van het object dat wordt beschreven door de Schwarzschild-metriek met behulp van “poolcoördinaten” impliceert impliciet een sterke veronderstelling over zijn topologie.
In het vervolg is de gedachte dat de oplossing van de metriek haar eigen topologie bevat, en dat we niet vrij zijn om die te kiezen. We geven dan volledig op met de klassieke aanpak van kaarten die een atlas vormen, en stellen ons voor dat het object alleen wordt beschreven door zijn metriek, uitgedrukt in een reeks “geschikte” coördinaten, dat wil zeggen conform aan de impliciete topologie die aan zijn metrische oplossing is gekoppeld. Het centrale idee is:
– De eenheidslengte s moet overal reëel zijn.
– En haar gevolg: de signature van de metriek is invariant.
Op basis van deze opmerkingen en suggesties kan men dan het klassieke zwart gat-model, met al zijn meervoudige pathologieën, in twijfel trekken. Is dit niet een gevolg van de interpretatie die Hilbert aan deze meetkunde heeft gegeven? Wat leidt tot het behoud van deze illusie genaamd “het binnenste van het zwarte gat”, toegankelijk via de “analytische vervolging van Kruskal”, waarover Maldacena tijdens zijn voordracht zei dat “het de oplossing uitbreidt tot het hele ruimtetijd”. Het feit is dat zwarte gat-specialisten van meet af aan een duidelijke mening hebben over de topologie van het object dat zij bestuderen. Hoe?
Topologisch beschouwd, nemen we een oppervlak in 2D. Teken een gesloten kromme en probeer de omtrek te verkleinen tot nul. Er zijn dan twee scenario’s mogelijk:
– Ofwel kan deze omtrek worden verkleind tot nul.
– Ofwel wordt een minimale limiet bereikt.
Dit kan worden geïllustreerd met de volgende tekening:
Als een bewoner van dit 2D-oppervlak ons zou vragen:
— Wat zit er in het midden van de cirkel?
Dan kunnen we alleen antwoorden dat zijn vraag geen betekenis heeft, omdat deze cirkels geen midden hebben.
Gaan we naar een wereld in 3D, dan zou zo’n contractibiliteit verschijnen als de mogelijkheid om een bol te vervormen door de oppervlakte te verkleinen tot nul:
Als deze operatie met succes kan worden uitgevoerd, dan heeft deze bol een “binnenste” en een “midden”.
Maar een ruimte in 3D is niet noodzakelijk contractibel. Als dat niet het geval is, dan zal de foliatie van die ruimte door naburige concentrische bollen (dus als een ui schillen) een minimale oppervlakte bereiken in sommige regio’s (het oppervlak heeft de topologie van een 2-sfeer). Vervolgens, als men probeert de foliatie voort te zetten, zal het oppervlak opnieuw groeien, omdat de minimale oppervlakte die we net zijn gepasseerd in werkelijkheid een “kol”-bol was.
Dit kan niet langer in 3D worden weergegeven, maar door verwijzing naar de vorige 2D-tekening zien we dat aan de rechterkant de minimale waarde een kolcirkel (rood) is. Alles kan worden uitgebreid naar een hyperoppervlak in 3D, en vervolgens naar een hyperoppervlak met een willekeurig aantal dimensies.
Door Joseph Kruskal te loven “die ons heeft toegestaan de oplossing uit te breiden tot het hele ruimtetijd”, realiseert Maldacena (zoals duizenden anderen voor hem) niet dat hij onbewust een veronderstelling maakt over de topologie van het 4D-hyperoppervlak waarover hij spreekt: het “ruimtetijd”.
Dit leidt echter tot een verandering in de signature van de metriek, vergezeld van de transformatie van de eenheidslengte naar een zuiver imaginair getal. Dit drukt simpelweg de “antwoord” uit dat het formalisme geeft:
— Let op! U bent buiten het hyperoppervlak!
In feite probeert hij een deel van de ruimtetijd te verkennen dat zelfs niet bestaat, net zoals een meetkundige die een analytische vervolging zou bouwen om de eigenschappen van het raakvlak aan een torus te bestuderen… in de buurt van zijn as, zoals een “gekke mechanicien” in het land van wonderen van Alice, die probeert een stukje op de band van een fietswiel te plakken, in de buurt van de as van het wiel… Als ik fout heb, dan is het zoveel papier, inkt en hersencellen (inclusief kwantumhersencellen) verspild die gedurende decennia zijn gebruikt om een object te beschrijven dat niet bestaat, en alles wat daaruit volgt, zoals de eigenschappen van een “centrale singulariteit”! Men kan zich afvragen of dit al die tijd aan ieders aandacht is ontsnapt. Hopelijk zullen de wetenschapshistorici ons dit uitleggen. Laten we zeggen dat met zijn fantasie over een imaginair tijd, Hilbert de gedachte van een ruimtelijke signature (– + + +) heeft verspreid, wat misschien betekent dat niemand sindsdien heeft opgemerkt dat het kwadraat van de eenheidslengte zijn teken verandert. Maar het is onjuist om te beweren dat dit slechts een “conventie” is.
Toch had Schwarzschild (en Einstein) een tijds-signature (+ – – –) gekozen, zoals blijkt uit het artikel van Schwarzschild:
In tegenstelling daarmee, door het teken van de termen die verwijzen naar hoeken vast te stellen, vergrendelt Hilbert impliciet de signature op (– + + +):
Fysici, studenten en ingenieurs die deze vragen willen verkennen, kunnen hieronder de vertalingen in het Engels van de diverse artikelen die in deze pagina worden genoemd, downloaden, inclusief de historische artikelen oorspronkelijk gepubliceerd in het Duits een millennium geleden. Ze zijn waarschijnlijk nooit gelezen door onze moderne zwarte gat-specialisten, die het contact met de werkelijkheid lijken te zijn verloren, en een astrofysica bouwen zonder observatie, voortkomend uit wiskunde zonder rigoureuze aanpak.
• Historische artikelen:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 vertaald in het Engels als:
Antoci, S. ; Loinger, A. (12 mei 1999). « Over het gravitatieveld van een puntmassa volgens de theorie van Einstein ».
.
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 vertaald in het Engels als:
Antoci, S. (12 mei 1999). « Over het gravitatieveld van een onsamendrukbare vloeistofbol volgens de theorie van Einstein ».
.
Frank, Ph. (1916) in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik .
46 : 1296.
vertaald in het Engels als:
Antoci, S. (2003). « Appendix A: Verslag van Frank over het artikel „Massenpunkt“ van Schwarzschild » in « David Hilbert en de oorsprong van de Schwarzschild-oplossing ».
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics . Bremen : Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Droste, J. (1917).
.
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A .
19 (I) : 197-215. (Geïnformeerd door professor H. A. Lorentz tijdens de vergadering van de KNAW op 27 mei 1916).
Heruitgegeven (2002) in General Relativity and Gravitation .
34 (9) : 1545–1563. doi:10.1023/A:102074732.
Weyl, H. (1917).
.
Annalen der Physik .
54 (18) : 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804.
vertaald in het Engels als:
Neugebauer, G. ; Petroff, D. (maart 2012).
.
General Relativity and Gravitation .
44 (3) : 779–810. doi:10.1007/s10714-011-1310-7.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels als:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
• Voor meer informatie:
Abrams, L. S. (november 1979). « Alternatieve ruimtetijd voor een puntmassa ».
Physical Review D .
20 (10) : 2474–2479. doi:10.1103/PhysRevD.20.2474.
- correctie:
Abrams, L. S. (april 1980). « Erratum: Alternatieve ruimtetijd voor een puntmassa ».
Physical Review D .
21 (8) : 2438. doi:10.1103/PhysRevD.21.2438.
.
Abrams, L. S. (2001). « Zwarte gaten: het erfgoed van de fout van Hilbert ».
Canadian Journal of Physics 67 (9) : 919–926. doi:10.1139/p89-158.
.
Antoci, S. ; Liebscher, D.-E. (2001). « Heroverweging van de oorspronkelijke Schwarzschild-oplossing ».
Astronomische Nachrichten .
322 (2) : 137–142.
.
Antoci, S. (2003). « David Hilbert en de oorsprong van de Schwarzschild-oplossing ».
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics . Bremen : Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Petit, J.-P. ; d’Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A .
30 (9) : 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Petit, J.-P. (2017).
(YouTube-playlist, ondertiteld in het Engels).
Zie ook dit .
Naar boven
Oorspronkelijke versie (Engels)
Report from the 3rd Karl Schwarzschild Meeting
Report from the 3rd Karl Schwarzschild Meeting
FIAS, Frankfurt, Germany
24–28 July 2017
2 August 2017 **
"Cancellation of the central singularity of the Schwarzschild solution by a natural mass inversion process"****** ** **
"On the gravitational field of a point mass according to Einstein's theory"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"On the gravitational field of an incompressible fluid sphere according to Einstein's theory"** ****
arXiv:physics/9912033
"Foundations of Physics (Second Communication)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"**
**Juan Maldacenasymposium brochure
**
"On the gravitational field of a point mass according to Einstein's theory"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"Foundations of Physics (Second Communication)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"** **
**
**
"On the gravitational field of an incompressible fluid sphere according to Einstein's theory"** ****
arXiv:physics/9912033
** **** ---
"On the gravitational field of a point mass according to Einstein's theory"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"On the gravitational field of an incompressible fluid sphere according to Einstein's theory"** ****
arXiv:physics/9912033
"The field of a single center in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a particle in this field"****** ** ********
"On the theory of gravitation"****** ****
"On the theory of gravitation"******
"Foundations of Physics (Second Communication)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"**
[arXiv:gr-qc/0201044](arxiv arXiv:gr-qc/0201044)
******arXiv:gr-qc/0102055
******arXiv:gr-qc/0102084
****"The Janus cosmological model"
Ik ben net teruggekeerd van de 3e Karl Schwarzschild-conferentie over gravitatiefysica en gauge/graviteit-correspondentie, gehouden in Frankfurt, Duitsland, bij het prestigieuze FIAS (Frankfurt Institute for Advanced Studies).
Ik was erg twijfelend over de inhoud van mijn poster en besloot uiteindelijk om mijn systeem van gekoppelde veldvergelijkingen te presenteren, het hart van het Janus-cosmologisch model.
Een tekst die niet goed paste bij het centrale thema van de conferentie, gericht op "de fysica van zwarte gaten". Dat is een onderwerp dat ik later wilde behandelen, maar een artikel dat ik in 2015 publiceerde in Modern Physics Letters A:
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
was het dichtstbijzijnde dat ik al had gepubliceerd na peer review. Omdat er een bord naast mijn poster stond, schreef ik de hoofdlijnen van dit artikel op:
Dat trok veel aandacht. De deelnemers aan de conferentie namen foto’s en er vormde zich een groep. Een oudere onderzoeker van ongeveer zestig jaar uitte direct zijn scepsis over het idee dat alle singuliere aspecten van de door Schwarzschild in 1916 gevonden metrische oplossing (die de theorie van zwarte gaten ondersteunt) zouden kunnen worden weggenomen door een eenvoudige variabelenverandering. Omdat hij geen badge droeg, in tegenstelling tot de anderen, concludeerde ik dat hij waarschijnlijk lid was van het FIAS, het onderzoeksinstituut van Frankfurt dat deze conferentie organiseerde. Hier is die variabelenverandering:
Een kritische stem eindelijk! Om dingen nog duidelijker te maken, schreef ik snel alle berekeningsdetails op een vel papier dat ik aan mijn expert gaf. Hij pakte het papier, liep een beetje weg, zette zich op een stoel en boog zijn neus over de vergelijkingen gedurende een kwartier.
Iedereen wachtte op zijn oordeel. Uiteindelijk gaf hij mijn artikel terug met een knik van goedkeuring. Er stond grote verbazing op zijn gezicht. Ik denk dat hij dacht:
"Ik heb dit nergens eerder gezien. Natuurlijk heeft die Fransman ergens een fout gemaakt die ik nog niet heb gevonden. Die zal ik later wel vinden." Ik probeerde hem betrokken te maken bij dit probleem, dat de vraag oproept over de interpretatie van het resultaat van Karl Schwarzschild uit 1916 (de conferentie heette immers precies de "Karl Schwarzschild-conferentie"!). Ik vroeg hem of hij het originele artikel had gelezen dat was gepubliceerd in de Comptes rendus de l'Académie des sciences de Prusse, waarin vandaag de dag de zogenaamde "exterieure Schwarzschild-oplossing" wordt beschreven:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] En ook zijn tweede artikel, gepubliceerd enkele weken later (minder dan drie maanden voor zijn dood), de "interieure Schwarzschild-oplossing":
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 424–434 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] Hij erkende dat hij ze nooit had gelezen (!), en voegde eraan toe:
— Leest u Duits?
— Nee, maar ik heb de Engelse vertalingen gelezen, relatief recent (1999) voor artikelen van een eeuw oud. Ik heb deze documenten op mijn laptop. Bent u akkoord dat we ze samen lezen? Er is ook een zeer belangrijk artikel van David Hilbert uit december 1916, dat het werk van Schwarzschild na zijn dood herneemt.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels onder de titel:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
Hij wierp het af, voegde eraan toe dat hij ook dit andere artikel niet kende (!). In werkelijkheid ontdekte ik in Frankfurt dat zwarte gaten-specialisten simpelweg de fundamentele teksten niet kennen waarop hun werk is gebaseerd. In een lezing voor alle deelnemers begon een "figuur" van de moderne ontwikkeling van de zwarte gaten-theorie te zeggen (zoals weergegeven in de notities):
Juan Maldacena — De Schwarzschild-oplossing heeft ons meer dan een eeuw verward en ons ertoe gedwongen onze ideeën over ruimte en tijd te verfijnen. Ze heeft een scherper inzicht in de theorie van Einstein mogelijk gemaakt. Experimenteel verklaart ze verschillende astrofysische waarnemingen. Hun kwantumaspecten hebben geleid tot theoretische paradoxen die ons dwingen om de relatie tussen ruimtetijd-geometrie en kwantummechanica beter te begrijpen.
Concreet, wat is het nut?
Allereerst de "ontdekking" van het "Hawking-straling". In werkelijkheid berust dit alles op het idee van een verbinding tussen algemene relativiteitstheorie en kwantummechanica. We weten dat een dergelijke huwelijk nooit is voltrokken (de zwaartekracht weigert te worden gequantificeerd, wat zou leiden tot de beschrijving van een graviton, een deeltje met spin 2, altijd onvindbaar).
Onze moderne theoreten zijn ervan overtuigd dat deze fantasie een echte realiteit is. Door het invoeren van een kwantumverschijnsel in de buurt van de gebeurtenishorizon beweerde Hawking dat een zwart gat energie kon verliezen, "stralen". Dit leidde direct tot het paradox van informatie in zwarte gaten. In feite zou in deze objecten, die zwarte gaten worden genoemd, alle structuur verpletterd worden. Alles zou volledig verdwijnen. Dus zouden zwarte gaten "machines zijn die informatie vernietigen". Maldacena schetste vervolgens de vooruitgang in de "thermodynamica van zwarte gaten". Met name benadrukte hij dat "de entropie van zwarte gaten evenredig is met hun oppervlak".
Samengevat, de afgelopen decennia heeft de aandacht van theoreten zich geconcentreerd op het omzeilen van deze informatieparadox. U hebt waarschijnlijk gehoord van een "vuurmuur" en dergelijke dingen. In zijn laatste werk noemt Maldacena een nieuw "magisch woord":
de intricatedheid. Een concept uit de kwantummechanica en het beroemde Einstein-Podolsky-Rosen-paradox (EPR-paradox), dat ik heb beschreven in mijn video. In deze beroemde proef worden twee uitgezonden fotonen "intricated". Kort gezegd, volgens Maldacena brengt "intricatedheid" alle antwoorden. Daar komt nog een vleugje snaartheorie bij.
Een dergelijke uitleg is het beste van de theorie in 2017.
De deelnemers aan de conferentie verwijzen duidelijk naar de JANUS-video's (zie ). Dankzij het uitstekende werk van Julien Geffray zijn de video's vertaald naar het Engels met ondertitels, zes ervan waren al vertaald bij de opening van de conferentie (JANUS 14 tot 19). En daar begrepen we dat een correcte Engelse vertaling iets absoluut noodzakelijk is om buiten Frankrijk gehoord te worden. Ik kan geen slechte Engelse vertaling leveren: buitenlandse gebruikers zouden direct afwenden. Geffray, die mijn werk al 20 jaar volgt en perfect de taal van Shakespeare beheerst, was de enige persoon die dit delicate werk van ondertiteling kon doen, dat 2 tot 3 dagen per video vereist. Dat betekent 15.000 tot 20.000 tekens per video, met een tekst vol specifieke jargon om te vertalen, de moeilijkheid van visuele organisatie en kalibratie van ondertitels op een tiende van een seconde nauwkeurig, evenals het creëren van kaarten die verwijzen naar mijn gepubliceerde artikelen en wetenschappelijke strips.
Zien van het effect op niet-Franssprekenden, besefte ik dat ik alle video's uit de JANUS-serie moest laten ondertitelen in het Engels. We hebben de prijs hernegociëerd om de vertaling verder uit te breiden, maar het budget blijft hoog voor meer dan 20 video's.
Gebruikers van internet hebben gereageerd op het oproep en donaties gedaan via . Deze fondsen stellen me in staat om naar het buitenland te reizen en deel te nemen aan internationale conferenties (inschrijvingskosten, reis- en verblijfkosten), evenals dit ondertitelingwerk. Ik ben ervan overtuigd dat ik deze video's zal blijven produceren met een frequentie van twee per maand (ja, er zal ook een JANUS-video over kwantummechanica komen). Volgens mij is dit een goed geïnvesteerd geld, want terwijl teksten op websites vaak in de vergetelheid raken, zijn video's eeuwig en vormen ze het meest moderne communicatiemiddel.
Voorzien budget tot voorjaar 2018 (ondertiteling + conferenties): 20.000 euro. De waarheid heeft een prijs.
Als de fondsen die door internetgebruikers worden gestuurd (een groot dankjewel!) voldoende zijn om mijn aanwezigheid te garanderen op de komende conferenties (de Schwarzschild-conferentie, Frankfurt; dan COSMO-17, Parijs...), heb ik extra hulp nodig om deze ondertitelingkosten en latere conferenties te kunnen betalen.
Impact van deze video's: reacties van jonge onderzoekers op de Schwarzschild-conferentie. Een van hen, een Italiaan, zei uiteindelijk:
— Ik heb uw artikelen over uw Janus-cosmologisch model gezien (hij had de expertise om de inhoud te waarderen). Ik kijk hoe u hier wordt ontvangen. Hoe kunt u verwachten dat deze mensen iets anders doen dan u de rug toe te keren? Wat u voorstelt, is het vernietigen van de basis van hun werk!
De contacten met deze jonge man zijn aangeknoopt en worden behouden. Hij werkt in Italië aan de dynamica van gemodificeerde Newtoniaanse mechanica. Dat is een eerste zaadje geplant. Als ik blijf "aandacht trekken" op internationale conferenties, zullen er meer jonge mensen komen, waarschijnlijk niet onder diegenen die hun roem hebben gebouwd op de fantastische werken die ik heb genoemd.
Sommige van deze jongeren zullen ooit zeggen:
— Ik geloof werkelijk niet in de MOND-theorie, en als ik eens zou proberen waar mijn ideeën me naar toe brengen, met die Franse fysicus?
Deze contacten en uitwisselingen zullen worden vergemakkelijkt doordat deze jonge onderzoekers de video's kunnen zien, en vervolgens de artikelen over het Janus-model wanneer ze mij ontmoeten.
In Frankfurt waren de meeste presentaties gericht op "de fysica van zwarte gaten", op "wat u zou kunnen waarnemen, als u het kon observeren...". Daar voegde ik een nieuwe idee toe van een "holografisch universum" (ik moet een video maken die uitlegt wat een echte hologram is). Een vrouw legde uit dat "we geen angst moeten hebben voor kosmische snaartjes". Een andere toonde hoe kleine zwarte gatenparen konden ontstaan tijdens de inflatiefase van de kosmische expansie. Voeg er verhalen over snaartheorie, "branesbotsingen" aan toe. Ik ben bijna de enige die zich onderscheidt door werk en resultaten te presenteren... die kunnen worden gecontroleerd door waarnemingen.
Als ik de kosmologische gemeenschap wil wakker schudden, wil ik dat ze reageren, moet ik hun lievelingskind aanvallen, het zwarte gat, iets wat ik voor een veel later moment had voorzien. Maar de sfeer van de conferentie in Frankfurt dwong me om de situatie te corrigeren, dus zal de titel van mijn volgende video zijn:
JANUS 21: Het zwarte gat, geboren uit een verkeerde interpretatie van de oplossing gevonden door Karl Schwarzschild in 1916. Dat zullen ook mijn woorden zijn tijdens de internationale conferentie COSMO-17 in Parijs. Het gaat er niet om een alternatief model voor het zwarte gat te presenteren (nog niet), maar om te verkondigen:
— Zoals het nu is, is het model van dit object dat "zwart gat" wordt genoemd, onlogisch, omdat het niet overeenkomt met de oplossing gevonden door Karl Schwarzschild in 1916, en ik toon het aan.
De Duitse wiskundige Karl Schwarzschild stierf op 11 mei 1916 in Potsdam op 43-jarige leeftijd, drie maanden na de publicatie van zijn oplossingen voor de Einstein-vergelijkingen. De oplossing werd in 1916 door Schwarzschild gevonden en gepubliceerd in de vorm:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] In dit eerste artikel definieert Schwarzschild perfect een coördinaat r als een "poolcoördinaat":
Maar hij introduceert wat hij een hulpvariabele R noemt, en via haar drukt hij zijn beroemde "exterieure oplossing" in januari 1916 uit:
Het is niet nodig om wiskundige specialist te zijn om te zien dat, aangezien de door Schwarzschild gekozen variabele r (zoals hierboven gedefinieerd) strikt positief is, de tussenliggende hoeveelheid R niet vrij is, maar een ondergrens α heeft:
Schwarzschild stierf op 11 mei 1916 in Potsdam op 43-jarige leeftijd, slechts enkele maanden na deze eerste publicatie.
Herneemend dit werk in een communicatie die in december 1916 werd gegeven aan de Academie van Wetenschappen van Göttingen, beschouwde de grote Duitse wiskundige David Hilbert deze methode van uitdrukking van de oplossing als weinig interessant, wat in dit geval de singulariteit (bij R = α) naar de oorsprong, bij r = 0, verplaatst.
De communicatie van Hilbert is gedateerd op 23 december 1916 (Schwarzschild was in mei overleden):
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels onder de titel:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
In werkelijkheid werkte Hilbert al actief aan de algemene relativiteitstheorie, met als titel van zijn artikel "De grondslagen van de fysica". Men heeft vaak de neiging te denken dat Einstein de fysicus was en Hilbert de puur wiskundige. In feite hield Hilbert weinig van de technische aspecten van de wetenschap. Op een dag werd hij gevraagd om zijn zieke collega Felix Klein, een wiskundige, te vervangen voor een lezing voor ingenieursstudenten. Hilbert begon zijn uitleg met een grap:
— Men hoort veel over de vijandigheid tussen wetenschappers en ingenieurs. Ik geloof er niet in. In feite ben ik ervan overtuigd dat het niet waar is. Er zou niets kunnen zijn, want geen van beide partijen heeft iets te maken met de andere.
Maar het ging niet alleen om de ingenieurs. Er is ook die beroemde uitspraak van hem:
— De fysica wordt te moeilijk voor fysici.
Hilberts werk op het gebied van wiskunde is in werkelijkheid aanzienlijk. Maar als je nieuwsgierig bent en dit historische document raadpleegt, zul je ontdekken dat hij probeert de grondslagen te leggen van een sterk gemathematischeerde fysica (een echte wiskundige fysica). In vergelijking met zijn grap aan de ingenieurschool heeft Hilbert iets van mening veranderd, misschien na zijn ontmoeting met Einstein, of algemener na uitwisselingen met de grote fysici van die tijd. Natuurlijk denkt hij bij het leveren van zijn eigen bijdrage groot vanaf het begin. Dit artikel legt de basis voor een "Lagrangiaanse aanpak" voor de hele fysica, zowel zwaartekracht als elektromagnetisme. In deze notatie is het duidelijk dat Hilbert streeft naar het samenvatten van "de gehele fysica van die tijd" in deze aanpak, wat later een "unificatietheorie" zou worden genoemd, een project dat Einstein in zijn leven probeerde te voltooien, maar faalde. Het project mislukte omdat de twee formalismen niet samen in vier dimensies kunnen worden geïntegreerd. Zoals Jean-Marie Souriau in 1954 goed uitlegde in zijn uitstekende boek "Géométrie et relativité" (helaas alleen in het Frans verschenen, maar nu vrij beschikbaar), kan elektromagnetisme worden opgenomen in de algemene relativiteitstheorie door vijf dimensies te gebruiken, door de "vijfde dimensie van Kaluza" toe te voegen.
Toen Hilbert dit 22-paginaanse artikel publiceerde op 23 december 1916, was het zeker geen improvisatie na de werk van Schwarzschild, maar de tweede helft van een grote communicatie die in november 2015 werd gepresenteerd, eerder ingetrokken, omdat Hilbert vond dat deze onvoldoende was opgebouwd. Hij heeft het daarom gedurende een jaar geleidelijk uitgebreid, inclusief diverse ontwikkelingen, waaronder de niet-lineaire oplossing van Schwarzschild voor de Einstein-veldvergelijkingen, gepubliceerd parallel.
Hoe dan ook, de toevoeging van de oplossing van Schwarzschild wordt door Hilbert duidelijk voorgesteld als een klein punt in zijn grotere werk.
Alles draait om het volgende extract:
Hilbert introduceert vier coördinaten w₁, w₂, w₃, w₄, en stelt onmiddellijk vast dat de eerste drie (de ruimtelijke coördinaten) zoals hij ze uitdrukt, kunnen worden uitgedrukt met behulp van poolcoördinaten. Aangezien hij dit probleem van het gravitatieveld rond een massa-punt beschouwt als een "centrale symmetrie" (zentrischsymmet
Door de metriek te gebruiken in de vorm die door Schwarzschild werd gegeven als oplossing van de veldvergelijkingen, uitgedrukt met coördinaten (t, r, θ, φ), zou men eerst verkeerd kunnen denken dat de col-sfeer wordt samengeperst tot één punt, vergelijkbaar met de top van een kegel: het punt r = 0. Maar dat zou betekenen dat deze hoeveelheid een "dimensionale waarde" heeft, terwijl het niets anders is dan een "ruimtelijke coördinaat". Een ruimtelijke coördinaat in differentiële meetkunde is simpelweg een getal dat helpt om bepaalde punten te lokaliseren. De enige echte afstanden, de lengten die een betekenis hebben, zijn die berekend met behulp van de metriek. Deze lengten, aangeduid met de letter s, zijn invariant ongeacht het gekozen coördinatenstelsel (wanneer je twee identieke paden beschrijft met twee verschillende coördinatenstelsels).
De eigenschap van sferische symmetrie van de oplossing stelt ons in staat om drie van de vier coördinaten (t, r, φ) vast te stellen en een rotatie van 2π uit te voeren volgens de coördinaat θ. De col-sfeer in de weergave van Hilbert komt overeen met R = α. Als t = constant, φ = constant en deze rotatie wordt uitgevoerd volgens θ, is het resultaat 2πα, de omtrek van een grote cirkel op de col-sfeer.
Herhaal deze operatie in mijn eigen weergave (t, r, θ, φ). De col-sfeer komt dan overeen met ρ = 0. De rotatie volgens de coördinaat θ geeft opnieuw de waarde 2πα.
Wat nog verbluffender is, is dat wanneer je de Schwarzschild-weergave kiest waarbij de col-sfeer overeenkomt met r = 0, je ook deze lengte 2πα krijgt! Dat is erg verwarrend, want "rond het punt r = 0 draaien" geeft een niet-nul lengte! Omdat r… geen punt is! Dat is een verwarrend aspect van differentiële meetkunde en de weergave van objecten via hun metriek.
Deze gedachtenexperiment moet je ervan overtuigen dat je r niet meer moet beschouwen als een "dimensionale lengte". Precies omdat iedereen r ziet als een "radiale afstand" ontstaat de verwarring.
In werkelijkheid is het zelfs het woord "dimensie" dat de verwarring veroorzaakt. In plaats van te zeggen: "we gaan punten lokaliseren in dit meetkundig object met een reeks dimensies", zouden we moeten zeggen:
— We gaan punten lokaliseren in dit meetkundig object met ruimtelijke coördinaten:
(x₀, x₁, x₂, x₃) Maar zelfs de letter x zou misleidend kunnen zijn. Om volledig het verkeerde idee te elimineren dat r een variabele radiale afstand is die leidt naar een centraal punt, zou de ruimtelijke coördinaat moeten worden gedefinieerd met een neutrale Griekse letter, zoals β of ζ:
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃) Laten we terugkeren naar het algemene concept van metriek. In wiskunde, meetkunde, wat is dat?
De Aarde is niet plat. Hij is bolvormig. Dat is een probleem voor kaartmakers. Als we de continenten bekijken op een globe, gaat alles goed. Maar hoe kaarten een gebogen wereld op platte papierbladen, op vlakke onderlagen, te maken? Verschillende kaarten worden opgesteld en in een atlas samengevoegd. Aangrenzende kaarten kunnen met elkaar worden verbonden door de overeenkomst tussen hun meridianen en parallellen aan te passen.
Algemener gezien is het mogelijk om elke oppervlak met deze techniek te kaarten. Een auto-afwerking bijvoorbeeld. Elk vlak element van deze atlas komt overeen met een lokale metrische beschrijving. Wiskundigen en meetkundigen hebben dit concept uitgebreid door atlassen te beschouwen die bestaan uit niet-euclidische elementen. Stel je een wereld voor waarin papier niet bestaat en waar mensen onderlagen in de vorm van gedroogde bladeren gebruiken, gevormd als delen van een bol die kunnen worden gestapeld, vormend een vreemde gebogen atlas. Alles zou zo kunnen worden gekaart, stap voor stap (inclusief een plat vlak!).
Deze techniek stelt geen beperking op de topologie van het te kaarten object.
Het kiezen van het vormen van het object dat wordt beschreven door de Schwarzschild-metriek met behulp van "poolcoördinaten" stelt impliciet een sterke hypothese over zijn topologie.
In de volgende tekst is de gedachte dat de metrische oplossing haar eigen topologie bevat en dat we geen keuze hebben. We geven volledig de klassieke aanpak van kaarten die een atlas vormen op, en stellen ons voor dat het object alleen wordt beschreven door zijn metriek, uitgedrukt in een reeks "aangepaste" coördinaten, dus in overeenstemming met de impliciete topologie die verbonden is aan zijn metrische oplossing. Het centrale idee is:
– De eenheidslengte s moet overal reëel zijn.
– En daaruit volgt: de signature van de metriek is invariant.
Op basis van deze opmerkingen en suggesties kan het klassieke zwart gat-model, beladen met zijn vele pathologieën, worden heroverwogen. Is dit niet een gevolg van de manier waarop Hilbert deze meetkunde heeft geïnterpreteerd? Met het kruimel dat "het binnenste van het zwarte gat" is, toegankelijk via "de analytische continuatie van Kruskal", waar Maldacena in zijn lezing zei dat "het de oplossing uitbreidt naar de hele ruimtetijd". Het feit is dat onderzoekers naar zwarte gaten een voorgekomen idee hebben over de topologie van het object dat ze bestuderen. Hoe?
Topologisch, beschouw een 2D-oppervlak. Teken een gesloten kromme en probeer de omtrek tot nul te reduceren. Er zijn twee scenario's:
– Of deze omtrek kan worden verkleind tot nul.
– Of er wordt een minimale limiet bereikt.
Dit kan worden geïllustreerd in de volgende afbeelding:
Als een 2D-inwoner van dit oppervlak ons vraagt:
— Wat zit er in het midden van de cirkel?
Dan kunnen we alleen antwoorden dat zijn vraag geen zin heeft, omdat deze cirkels geen midden hebben.
Als we overgaan naar een 3D-wereld, zou dergelijke contractibiliteit verschijnen als de mogelijkheid om een bol te vervormen door zijn oppervlak te verkleinen tot nul:
Als deze operatie lukt, dan heeft deze bol een "binnenste" en een "midden".
Maar een 3D-ruimte is niet noodzakelijk contractibel. Als dat niet zo is, dan zal in bepaalde regio's (het oppervlak heeft de topologie van een 2-sfeer), de foliatie van deze ruimte door opeenvolgende concentrische bollen (zoals een aardappel schillen) een minimale oppervlakte bereiken. Vervolgens, als we de foliatie proberen voort te zetten, zal het oppervlak weer stijgen, omdat het minimale oppervlak dat we net hebben doorgemaakt eigenlijk een col-sfeer was.
Het is niet langer mogelijk om dit in 3D te tekenen, maar door verwijzing naar de vorige 2D-afbeelding zien we dat aan de rechterkant de minimale waarde een col-cirkel is (rood). Alles kan worden uitgebreid naar een 3D-hypervlak en een hypervlak met een willekeurig aantal dimensies.
Door Joseph Kruskal te loven "die ons heeft geholpen de oplossing uit te breiden naar de hele ruimtetijd", realiseert Maldacena (zoals duizenden anderen voor hem) niet dat hij onbewust een hypothese maakt over de topologie van het 4D-hypervlak waarover hij praat: de "ruimtetijd".
Deze poging eindigt echter in een verandering van de signature van de metriek, gepaard gaand met de transformatie van de eenheidslengte naar een zuiver imaginair getal. Dat drukt simpelweg de "antwoord" uit dat het formalisme geeft:
— Let op! U bent buiten het hypervlak!
In werkelijkheid wil hij een gedeelte van de ruimtetijd verkennen dat zelfs niet bestaat, net zoals een meetkundige die een analytische continuatie bouwt om de eigenschappen van het raakvlak aan een torus te bestuderen... dichtbij zijn as, zoals een gekke machine die in de wereld van Alice in Wonderland probeert een onderdeel te plakken op de binnenkant van een band in de regio dichtbij de as van de wiel... Als ik gelijk heb, dan is zoveel papier, inkt en hersenweefsel (inclusief kwantumhersenweefsel) verspild gedurende decennia om een object te beschrijven dat niet bestaat, en alles wat daaruit volgt, zoals de eigenschappen van een "centrale singulariteit"! Men kan zich afvragen waarom dit al een eeuw lang volledig onopgemerkt is gebleven. Misschien kunnen wetenschapshistorici ons dat uitleggen. Laten we zeggen dat door zijn fantasie over een imaginair tijd, Hilbert het idee van een ruimtelijke signature (– + + +) heeft doorgegeven, wat misschien betekent dat niemand na hem meer bezorgd was over het feit dat het kwadraat van de lengte-eenheid van teken verandert. Maar het is onjuist om te zeggen dat dit alleen een "conventie" is.
Toch hadden Schwarzschild (en Einstein) gekozen voor een tijdsignature (+ – – –), zoals te zien is in het artikel van Schwarzschild:
In tegenstelling daarmee, door het teken van de termen die verwijzen naar hoeken vast te stellen, verankert Hilbert impliciet de signature op (– + + +):
Fysici, studenten en ingenieurs die deze vragen willen verkennen kunnen hieronder de Engelse vertalingen van de verschillende artikelen vinden die op deze pagina worden genoemd, inclusief de historische artikelen oorspronkelijk gepubliceerd in het Duits een millennium geleden. Ze zijn waarschijnlijk nooit gelezen door onze moderne "mensen van zwarte gaten", die het contact met de werkelijkheid lijken te hebben verloren, een astrofysica zonder observatie opbouwend uit wiskunde zonder strikte rigueur.
• Historische artikelen:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
.
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 424–434 vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. (12 mei 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
.
Frank, Ph. (1916) in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik.
46: 1296.
vertaald in het Engels onder de titel:
Antoci, S. (2003). « Appendix A: Frank's review of Schwarzschild's paper 'Massenpunkt' » in « David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution ».
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Droste, J. (1917).
.
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A.
19 (I): 197–215. (Communicated by Prof. H. A. Lorentz at the KNAW meeting, 27 mei 1916).
Heruitgegeven (2002) in General Relativity and Gravitation.
34 (9): 1545–1563. doi:10.1023/A:102074732.
Weyl, H. (1917).
.
Annalen der Physik.
54 (18): 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804.
vertaald in het Engels onder de titel:
Neugebauer, G.; Petroff, D. (maart 2012).
.
General Relativity and Gravitation.
44 (3): 779–810. doi:10.1007/s10714-011-1310-7.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels onder de titel:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
• Voor meer informatie:
Abrams, L. S. (november 1979). « Alternative spacetime for a point mass ».
Physical Review D.
20 (10): 2474–2479. doi:10.1103/PhysRevD.20.2474.
- correctie:
Abrams, L. S. (april 1980). « Erratum: Alternative spacetime for a point mass ».
Physical Review D.
21 (8): 2438. doi:10.1103/PhysRevD.21.2438.
.
Abrams, L. S. (2001). « Black holes: The legacy of Hilbert's error ».
Canadian Journal of Physics 67 (9): 919–926. doi:10.1139/p89-158.
.
Antoci, S.; Liebscher, D.-E. (2001). « Rethinking the original Schwarzschild solution ».
Astronomische Nachrichten.
322 (2): 137–142.
.
Antoci, S. (2003). « David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution ».
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Petit, J.-P. (2017).
(YouTube-playlist, ondertiteld in het Engels).
Zie ook dit.
Oorspronkelijke versie (Engels)
Report of the 3rd Karl Schwarzschild Meeting
Oorspronkelijke versie in Frans
Verslag van de 3e Karl-Schwarzschildbijeenkomst
FIAS, Frankfurt, Duitsland
24–28 juli 2017
2 augustus 2017
"Over de gravitatie van een massa-punt volgens de Einsteintheorie"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"Over het gravitatieveld van een bol van incompressibele vloeistof volgens de Einsteintheorie"** ****
arXiv:physics/9912033
"De grondslagen van de fysica (Tweede mededeling)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"**
Juan Maldacenasymposiumbrochure
"Over de gravitatie van een massa-punt volgens de Einsteintheorie"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"De grondslagen van de fysica (Tweede mededeling)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"** **
**
"Over het gravitatieveld van een bol van incompressibele vloeistof volgens de Einsteintheorie"** ****
arXiv:physics/9912033
** **** ---
"Over de gravitatie van een massa-punt volgens de Einsteintheorie"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"Over het gravitatieveld van een bol van incompressibele vloeistof volgens de Einsteintheorie"** ****
arXiv:physics/9912033
"The field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation, and the motion of a particle in that field"****** ** ********
"Zur Gravitationstheorie"****** ****
"On the theory of gravitation"******
"De grondslagen van de fysica (Tweede mededeling)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"**
[arXiv:gr-qc/0201044](arxiv arXiv:gr-qc/0201044)
******arXiv:gr-qc/0102055
******arXiv:gr-qc/0102084
****"The Janus Cosmological Model"
Ik ben net terug van de 3e Karl-Schwarzschildbijeenkomst over gravitatiefysica en de gauge/gravity-dualiteit, gehouden in Frankfurt, Duitsland, bij het prestigieuze FIAS (Frankfurt Institute for Advanced Studies).
Ik was erg twijfelachtig over de inhoud van mijn poster en besloot uiteindelijk mijn systeem van twee gekoppelde veldvergelijkingen te presenteren, het hart van het Janus-cosmologisch model.
Een tekst die niet goed paste bij het centrale thema van het symposium, gericht op "de fysica van zwarte gaten". Dat is een onderwerp dat ik later wilde aanpakken, maar een artikel dat ik in 2015 publiceerde in Modern Physics Letters A:
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
was het dichtstbijzijnde dat ik al had gepubliceerd via peer review. Omdat er een schoolbord naast mijn poster stond, schreef ik de belangrijkste punten van dit artikel op:
Het trok veel aandacht. Conferentiedeelnemers namen foto’s en er vormde zich een groep. Een zestigjarige senioronderzoeker liet onmiddellijk zijn scepsis blijken over het feit dat alle singulariteiten van de metrische oplossing die Schwarzschild in 1916 vond (die de theorie van zwarte gaten ondersteunt) konden worden uitgeschakeld door een eenvoudige verandering van variabele. Omdat hij geen badge droeg, in tegenstelling tot anderen, concludeerde ik dat hij een lid moest zijn van het FIAS, het Frankfurt Institute for Advanced Science, dat dit symposium organiseerde. Hier is die verandering van variabele:
Een kritische stem eindelijk! Om duidelijkheid te scheppen schreef ik snel alle berekeningsdetails op een vel papier dat ik gaf aan mijn expert. Hij pakte het papier, liep een stukje weg, ging zitten op een stoel en boog zich een kwartier lang over de vergelijkingen.
Iedereen wachtte op zijn oordeel. Uiteindelijk gaf hij mijn artikel terug met een knik van instemming. Op zijn gezicht was grote verwarring te lezen. Ik denk dat hij moest zeggen:
"Ik heb dit nooit eerder gezien. Duidelijk heeft deze Franse man ergens een fout gemaakt die ik nu over het hoofd zie. Ik vind het later wel." Ik probeerde hem aan dit probleem te koppelen, dat de interpretatie van Karl Schwarzschilds 1916-resultaat ter sprake brengt (het symposium heette immers "Karl-Schwarzschildbijeenkomst"!). Ik vroeg hem of hij het originele artikel had gelezen dat verschenen was in de Proceedings of the Prussian Academy of Sciences, waarin nu het "externe Schwarzschild-oplossing" wordt gedetailleerd:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels als:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] En ook zijn tweede artikel, verschenen enkele weken later (minder dan drie maanden voor zijn dood), de "interne Schwarzschild-oplossing":
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 424–434 vertaald in het Engels als:
Antoci, S. (12 mei 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] Hij gaf toe dat hij ze nooit had gelezen (!) en voegde eraan toe:
— Lees je Duits?
— Nee, maar ik heb Engelse vertalingen gelezen, relatief recent (1999) voor eeuwenoude artikelen. Ik heb deze documenten op mijn laptop. Stem je ermee in dat we ze samen bekijken? Er is ook een zeer belangrijk artikel van David Hilbert uit december 1916, dat Schwarzschilds werk overnam na zijn dood.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels als:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
Hij wierp het af, voegde toe dat hij ook dit andere artikel niet kende (!). Eigenlijk ontdekte ik in Frankfurt dat de mensen die werken aan zwarte gaten eigenlijk geen kennis hebben van de grondslagteksten waaruit hun werk is voortgekomen. In een meesterlijke lezing voor alle congresgangers, een "figuur" van de moderne ontwikkeling van de zwarte-gattheorie, begon hij te zeggen (zoals weergegeven in het):
Juan Maldacena — De Schwarzschild-oplossing heeft ons meer dan honderd jaar verward en heeft ons gedwongen onze visie op ruimte en tijd scherper te stellen. Het heeft tot een scherpere begrip van Einsteins theorie geleid. Experimenteel verklaart het verschillende astrofysische waarnemingen. Zijn kwantumaspecten zijn een bron van theoretische paradoxen die ons dwingen om de relatie tussen ruimtetijdgeometrie en kwantummechanica beter te begrijpen.
Concreet, wat is het punt?
Allereerst was er de "ontdekking" van de "Hawkingstraling". In feite is dit alles gebaseerd op het idee van een verbinding tussen Algemene Relativiteit en Quantummechanica. We weten dat een dergelijke verbintenis nooit tot stand is gekomen (gravitatie weigert te worden gequantificeerd, wat zou leiden tot de beschrijving van een graviton, een spin-2-deeltje, dat nog steeds ontbreekt).
Onze moderne theoreten zijn ervan overtuigd dat dit fantasie een echte realiteit is. Het is inderdaad door het invoeren van een kwantumverschijnsel vlakbij de gebeurtenishorizon dat Hawking "toont" dat een zwart gat energie kan verliezen, "stralen". Dit leidde direct tot het paradox van informatie bij zwarte gaten. In deze objecten, genaamd zwarte gaten, wordt verondersteld dat elke structuur wordt verpletterd. Alles zou volledig verdwijnen. Dus zouden zwarte gaten "machines zijn die informatie vernietigen". Maldacena schetste vervolgens de vooruitgang op het gebied van "zwarte-gatthermodynamica". In het bijzonder wees hij erop dat "de entropie van zwarte gaten evenredig is met hun oppervlak".
Kortom, in de afgelopen decennia heeft de aandacht van theoreten zich gericht op het omzeilen van deze informatieparadox. Je hebt waarschijnlijk gehoord van een "firewall" en dergelijke dingen. In zijn laatste werk noemt Maldacena een nieuw "magisch woord":
verstrengeling. Een concept afgeleid uit de kwantummechanica en het beroemde Einstein-Podolsky-Rosen-paradox (EPR-paradox) dat ik beschreef in mijn video. In dit beroemde experiment zijn twee uitgezonden fotonen "verstrengeld". Kortom, volgens Maldacena brengt "verstrengeling" alle antwoorden. Plus een beetje snaartheorie.
Een dergelijke uitspraak is het beste van de theorie in 2017.
De deelnemers aan de conferentie verwijzen duidelijk naar de JANUS-video's (zie ). Dankzij het uitstekende werk van Julien Geffray zijn video's vertaald in het Engels met ondertiteling, zes ervan waren al vertaald bij de opening van het symposium (JANUS 14 tot 19). En daar ontdekten we dat goede Engelse ondertiteling absoluut noodzakelijk is om hoorbaar te zijn buiten Frankrijk. Ik kan geen slechte Engelse vertaling geven: buitenlandse internetgebruikers zouden direct afwenden. Geffray, die mijn werk al twintig jaar volgt en de taal van Shakespeare volledig beheerst, was de enige die deze delicate taak kon uitvoeren, die 2-3 dagen per video kostte. Dit betekent 15.000 tot 20.000 tekens per video, met een tekst die veel specifieke jargon bevat, de moeilijkheid van het visuele opzetten en kalibreren van deze ondertiteling tot op tienden van een seconde, evenals het maken van kaartjes die verwijzen naar mijn gepubliceerde artikelen en wetenschappelijke strips.
Zien wat het effect was op niet-Franssprekenden, realiseerde ik me dat ik alle Janus-serie in het Engels moest laten ondertitelen. We onderhandelden over de prijs om de vertaling verder uit te breiden, maar het budget is nog steeds hoog voor 20+ video's.
Internetgebruikers reageerden op het oproep en deden donaties via . Dit geld stelt me in staat om naar het buitenland te reizen en internationale conferenties bij te wonen (inschrijvingskosten, reis- en verblijfskosten) evenals deze ondertiteling. Ik voeg eraan toe dat ik deze video's zal blijven produceren met een snelheid van twee per maand (ja, er komt ook een Janus-video over kwantummechanica). Het is volgens mij goed geïnvesteerd geld, omdat als teksten op websites vaak in vergetelheid raken, dat niet het geval is bij video's, die zonder tijdslimiet blijven bestaan en de modernste communicatiemiddel zijn.
Voorspelde begroting tot voorjaar 2018 (ondertiteling + symposia): 20.000 euro. Waarheid laten opkomen heeft een prijs.
Als het geld dat door internetgebruikers wordt gestuurd (grote dank aan hen!) voldoende is om mijn aanwezigheid te garanderen op de komende symposia (de Schwarzschildbijeenkomst, Frankfurt; dan COSMO-17, Parijs…) zal ik extra hulp nodig hebben om deze ondertitelingkosten en latere conferenties te bestrijden.
Impact van deze video's: reacties van jonge onderzoekers tijdens de Schwarzschildbijeenkomst. Een van hen, een Italiaan, zei uiteindelijk tegen mij:
— Ik heb je artikelen over je Janus-cosmologisch model gezien (hij had de expertise om de inhoud te waarderen). Ik kijk hoe je hier wordt ontvangen. Hoe kun je verwachten dat deze mensen je niet de rug toe keren? Wat je voorstelt, is het vernietigen van de basis van hun werk!
De contacten met deze jonge man zijn aangelegd en worden behouden. Hij werkt in Italië aan Modified Newtonian Dynamics. Het is een eerste zaadje geplant. Als ik blijf "kletsen op internationale conferenties", zullen er anderen uit de jongere generatie komen, en waarschijnlijk niet onder diegenen die hun roem hebben verworven op de fantastische werken die ik heb genoemd.
Sommige van deze jonge mensen zullen uiteindelijk zeggen:
"Ik geloof eigenlijk niet echt in deze MOND-theorie, maar wat als ik probeer te zien waar de ideeën van deze Franse fysicus me heen brengen?" Deze contacten en uitwisselingen zullen worden vergemakkelijkt doordat deze jonge onderzoekers de video's kunnen zien en daarna de artikelen over het Janus-model wanneer ze mij ontmoeten.
In Frankfurt waren de meeste presentaties gericht op "de fysica van zwarte gaten", over "wat je zou kunnen waarnemen, als je het kon waarnemen…". Daar voegde men nog een nieuw idee toe: een "holografisch universum" (ik moet een video maken om uit te leggen wat een hologram echt is). Een vrouw legde uit dat "we geen angst moeten hebben voor kosmische snaartjes". Een andere toonde hoe paren van mini-zwarte gaten konden ontstaan tijdens de inflatiefase van de kosmische expansie. Voeg er verhalen over snaartheorie, "branebotsingen" aan toe. Ik was praktisch de enige die zich onderscheidde met werken en resultaten… die kunnen worden geconfronteerd met waarnemingen.
Als ik de kosmologische gemeenschap wil wakker schudden, om te reageren, moet ik hun geliefde kind aanvallen, het zwarte gat, wat ik niet verwachtte tot veel later. Maar de sfeer op de conferentie in Frankfurt dwong me om de situatie te corrigeren, dus zal de titel van mijn volgende video zijn:
JANUS 21: Het zwarte gat, geboren uit een verkeerde interpretatie van de oplossing gevonden door Karl Schwarzschild in 1916. Dat zal ook mijn woorden zijn tijdens het internationale congres COSMO-17 in Parijs. Het gaat er niet om een alternatief model voor het zwarte gat te voorstellen (nog niet), maar om te beweren:
— Zoals het is, is het model van dit object dat "zwart gat" heet inconsistent, omdat het niet overeenkomt met de oplossing gevonden door Karl Schwarzschild in 1916, en ik toon het aan.
Duitse wiskundige Karl Schwarzschild stierf op 11 mei 1916 in Potsdam op 43-jarige leeftijd, drie maanden na de publicatie van zijn oplossingen voor Einstein's vergelijkingen. De oplossing werd in 1916 gevonden door Schwarzschild en gepubliceerd als:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels als:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] In dit eerste artikel definieert Schwarzschild een coördinaat r als een "poolcoördinaat":
Maar hij introduceert wat hij een hulpgrootheid R noemt, en via deze uitdrukt hij zijn beroemde "externe" oplossing in januari 1916:
Geen wiskundestudent nodig om te zien dat, zolang de door Schwarzschild gekozen variabele r (zoals hierboven gedefinieerd) strikt positief is, de tussenliggende grootheid R niet vrij is, maar een ondergrens α heeft:
Schwarzschild stierf op 11 mei 1916 in Potsdam op 43-jarige leeftijd, slechts enkele maanden na deze eerste publicatie.
Hij nam dit werk voort in een communicatie die in december 1916 werd gehouden bij de Göttinger Academie van Wetenschappen, waar grote Duitse wiskundige David Hilbert, 54 jaar oud in 1916, deze methode van het uitdrukken van de oplossing als weinig interessant beschouwde, wat in dit geval de singulariteit (bij R = α) naar de oorsprong, bij r = 0, verplaatst.
Hilberts communicatie is gedateerd 23 december 1916 (Schwarzschild was overleden in mei):
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels als:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
Eigenlijk werkte Hilbert al hard aan de theorie van de algemene relativiteit, met als titel van zijn artikel "De grondslagen van de fysica". Mensen hebben vaak de neiging te denken dat Einstein de fysicus was en Hilbert de zuivere wiskundige. In feite hield Hilbert niet veel van de technische aspecten van de wetenschap. Op een dag werd hij gevraagd om zijn collega wiskundige Felix Klein, die ziek was, te vervangen bij een college voor studentingenieurs. Hilbert begon zijn toespraak met een grap:
— Men hoort veel over de vijandigheid tussen wetenschappers en ingenieurs. Ik geloof er niet in. In feite ben ik ervan overtuigd dat het onwaar is. Er kan niets aan zijn, want geen van beide kanten heeft iets te maken met de andere.
Maar niet alleen ingenieurs werden afgestraft. Er is ook deze beroemde uitspraak van hem:
— Fysica wordt te moeilijk voor fysici.
Hilberts werk in de wiskunde is inderdaad aanzienlijk. Maar als je nieuwsgierig bent en naar dit historische document verwijst, ontdek je dat hij probeert de grondslagen te leggen van een sterk gemathematischeerde fysica (echt een wiskundige fysica). In vergelijking met zijn grap bij de ingenieursschool veranderde Hilbert zijn mening iets, misschien na zijn ontmoeting met Einstein of in het algemeen na uitwisselingen met de grote fysici van die tijd. Natuurlijk, wanneer het gaat om zijn eigen bijdrage, denkt hij meteen groot. Dit artikel legt de basis voor een "Lagrangiaanse aanpak" van de hele fysica, dat wil zeggen zowel gravitatie als elektromagnetisme. In dit schrijven is duidelijk dat Hilbert streeft naar het samenvatten in deze aanpak "alle fysica van die tijd" in wat later een "geunificeerde veldtheorie" zou worden genoemd, een werk dat Einstein ook onvermijdelijk probeerde te voltooien voor de rest van zijn leven. Het project mislukte, omdat de twee formalismen niet samen kunnen worden gebracht met slechts vier dimensies. Zo goed uitgelegd door Jean-Marie Souriau in 1954, in zijn uitstekende boek "Geometry and Relativity" (helaas alleen in het Frans verschenen, maar nu vrij beschikbaar), kan elektromagnetisme worden opgenomen in de algemene relativiteit met vijf dimensies, door de "Kaluza-vijfde dimensie" toe te voegen.
Toen Hilbert dit 22-paginaanse artikel publiceerde, 23 december 1916, was het zeker geen improvisatie na de artikelen van Schwarzschild, maar de tweede helft van een grote communicatie die in november 2015 werd voorgesteld, eerder ingetrokken, omdat Hilbert vond dat het onvoldoende was opgebouwd. Dus voegde hij gedurende een jaar verschillende ontwikkelingen toe, evenals Schwarzschilds niet-lineaire oplossing van Einstein's veldvergelijkingen, die in de tussentijd was gepubliceerd.
Wat het ook is, de toevoeging van Schwarzschilds oplossing wordt duidelijk door Hilbert voorgesteld als een onbeduidend punt in zijn eigen grotere werk.
Alles ligt in het volgende citaat:
Hilbert introduceert vier coördinaten w1, w2, w3, w4, en stelt meteen vast dat de eerste drie (de ruimtecoördinaten) zoals hij doet kunnen worden uitgedrukt, gebruikmakend van poolcoördinaten. Zolang hij dit probleem van het gravitatieveld rond een massa-punt beschouwt als onderworpen aan een "centrale symmetrie" (zentrischsymmetrisch), lijkt dit hem vanzelfsprekend:
In de laatste regel gaat hij nog verder, en schrijft dat zijn term G(r) wordt geïdentificeerd met het kwadraat van deze "radiale afstand".
Dan volgt alles. En generaties wetenschappers zullen deze aanpak herhalen in honderden boeken. Hier is hoe hij zijn tijdvariabele l behandelt:
Bij Hilbert is tijd een zuiver imaginaire grootheid!
Het is zijn interpretatie van de Relativiteit.
In zijn vergelijking (45), zoals hierboven getoond, toont hij alleen de "bilineaire vorm", maar hier ontdekken we de historische keuze van de ruimtelijke metrische signatuur (+ + + –). Deze notatie richt de aandacht op het tastbare, reële deel van ruimte-tijd:
ruimte (beïnvloed door drie plustekens).
Waarbij tijd imaginaire is (dus een minteken heeft wanneer gekwadrateerd). Terloops wordt ook de eenheidslengte s imaginair, evenals wat "eigen tijd" wordt genoemd. Normaal: bij Hilbert moet alles wat met tijd te maken heeft imaginair zijn.
Hij zegt dat hij het resultaat van Schwarzschild verkrijgt (behalve voor de omgekeerde tekens), wat dan zou moeten worden geschreven als:
Echter, er is een verschil: bij Schwarzschild wordt dit niet geschreven met de letter r, maar met de letter R:
Beide hebben een verschillende betekenis. Maar Hilbert let niet veel op dit detail, omdat het voor hem vanzelfsprekend was (en dat was ook waar op dat moment) dat in de astronomie r altijd veel groter is dan α (wat later "de Schwarzschildstraal" zou worden genoemd).
Om hun fundamentele verschil te laten zien, laten we deze oplossing uitleggen, zoals Schwarzschild zelf misschien had gedaan als hij een beetje langer had geleefd. We krijgen:
Maar dat deed hij niet, omdat de niet- expliciete vorm hem voldoende leek. Denk eraan dat Schwarzschilds doel in zijn artikel was om de vooruitgang van het perihelium van Mercurius te verklaren, Einstein's eerder lineaire resultaten te vinden, met een niet-lineaire oplossing van zijn veldvergelijkingen.
Deze metriek is regelmatig voor elke waarde van r > 0.
Wanneer r = 0 worden de coëfficiënten van de eerste twee termen ook nul. Ik zal verder uitleggen wat dit punt betekent.
Toch voegt Hilbert slechts een korte opmerking toe over dit werk (aangezien hij van Schwarzschilds dood wist, lijkt een eenvoudige condescenderende voetnoot als rouwrede een beetje schraal):
Vertaling:
— Het transformeren van de posities r = α naar de oorsprong, zoals Schwarzschild doet, wordt in mijn ogen niet aanbevolen; Schwarzschilds transformatie is bovendien niet de eenvoudigste die dit doel bereikt.
De coördinaat r = α was voor Hilbert een "echte singulariteit". Later bleek het echter een "coördinateningulariteit" te zijn die kon worden uitgesloten door een verandering van variabele.
Het is bekend dat dergelijke metrische oplossingen kunnen worden uitgedrukt in elke keuze van coördinatenstelsel. Het is een fundamentele eigenschap van oplossingen van de Einsteinveldvergelijkingen. De keuze van dit of dat stelsel is de keuze van de fysicus. Dit betekent het geven van een fysische interpretatie aan deze coördinaten. Maar de theoretische resultaten moeten dan worden geconfronteerd met waarneming, d.w.z. het berekenen van banen van deeltjes langs geodeten, die binnen het gravitatieveld van een dergelijk "massapunt" cirkelen. Dat is wat ze destijds deden.
Klassiek wordt de variabele R geïdentificeerd met een poolcoördinaat, die dan kan worden uitgesloten. Er wordt aangetoond dat deze geodetische banen worden ingesloten in vlakken. De oplossing kan dan worden uitgedrukt als een functie:
Dan vergelijkt men de verkregen krommen met waarnemingsgegevens en concludeert men:
– Deze banen zijn "bijna-conisch" met een focus bij R = 0.
– Bij de gebruikelijke omstandigheden van planeet-astronomie zijn ellipsbanen zeer dicht bij ellipsen, het kleine verschil is wat wordt genoemd "vooruitgang" (of "precessie") van het perihelium.
Wanneer R ≪ α zijn de grootheden r en R praktisch identiek. Schwarzschild maakt dit in zijn artikel duidelijk (leesbaarder in de vertaling):
Afgezien van de keuze van verschillende signatuur, kunnen we zeggen dat de oplossingen van Schwarzschild of Hilbert (evenals de lineaire oplossing voorgesteld door Einstein) vergelijkbaar zijn: ze leiden tot bijna identieke resultaten in verband met planeet-astronomie. Dus of men nu voor de radiale variabele r van Hilbert of de variabele R van Schwarzschild kiest, zijn de theoretische resultaten in overeenstemming met "de werkelijkheid".
De zonstraal is 700.000 kilometer. Schwarzschild berekende zijn lengte α (dus wat later "de Schwarzschildstraal" zou worden genoemd), die 3 kilometer is, gelegen veel binnen de ster. Deze bol als punt te beschouwen is een benadering van slechts vier miljoensten.
Het is ook opmerkelijk – maar ik zal dit in een volgende video uitgebreid uitleggen – dat Schwarzschild niet alleen de "externe" oplossing leverde, maar ook de "interne" oplossing (die de geometrie binnen een bol van constante dichtheid beschrijft) bouwde in een tweede artikel, gepubliceerd een maand later:
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 424–434 vertaald in het Engels als:
Antoci, S. (12 mei 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] Het is pas nu, met objecten zoals neutronensterren, dat een probleem ontstaat over de geometrische en fysische representatie van objecten waarbij de "afstandvariabele" niet langer verwaarloosbaar is ten opzichte van de Schwarzschildstraal. Maar dan, welke variabele moet worden gekozen: die van Hilbert of die van Schwarzschild?
Theoretici stelden toen voor om een fysieke aard te geven aan deze externe oplossing en zeiden dat het een object beschrijft dat ze "zwart gat" noemden. Geometrisch is het nodig om een antwoord te geven:
– volgens Schwarzschilds representatie, wat er gebeurt waar r = 0 – volgens Hilberts representatie, wat er gebeurt waar R < α (het "binnenste" van het zwarte gat). Ik benadruk dat het tweede vraagstuk niet voorkomt in Schwarzschilds representatie: je hoeft je geen zorgen te maken over wat er gebeurt met massa-punten die "buiten" α vallen, omdat een dergelijk "binnenste"... niet bestaat.
Aan de andere kant, in Hilberts representatie, als dit "binnenste" echt bestaat, is het erg raar: de signatuur van de metriek wordt veranderd, wat onze moderne theoreten doen zeggen: "binnenin wordt r tijd en t wordt de straal".
In dit peer-reviewed artikel:
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
wijzigde ik een andere keuze van coördinaten, afgeleid uit de Schwarzschild-oplossing door de volgende verandering van variabele:
wat leidt tot een presentatie van de metrische oplossing in de vorm:
Het is dan regelmatig, ongeacht de waarden van de variabelen, behalve dat het eerste term nul is in de oorsprong. De bijbehorende meetkunde wordt dan geïnterpreteerd door te beschouwen dat deze metriek een overgang beschrijft tussen twee Minkowski-ruimtetijden met PT-symmetrie, waarbij de verbinding plaatsvindt via een keelbol, met omtrek 2πα. Langs deze bol is de determinant nul, wat de dubbele omkering van ruimte en van de pijl van de tijd weerspiegelt bij het doorgaan van deze oppervlak.
Door de metriek in de vorm te gebruiken zoals gegeven door Schwarzschild als oplossing van de veldvergelijkingen, uitgedrukt in de coördinaten (t, r, θ, φ), zou men eerst verkeerd kunnen denken dat de keelbol is teruggebracht tot een enkel punt, vergelijkbaar met de top van een kegel: het punt r = 0. Maar dat zou een "dimensionale" waarde toekennen aan deze grootheid, die niets anders is dan een "ruimtemarkering". Een ruimtemarkering in differentiële meetkunde is simpelweg een getal dat helpt om bepaalde punten te lokaliseren. De enige echte afstanden, de werkelijke lengten die een betekenis hebben, zijn die berekend met behulp van de metriek. Dergelijke lengten, aangeduid met de letter s, zijn invariant ongeacht het gekozen coördinatenstelsel (wanneer je twee identieke paden beschrijft met twee verschillende coördinatenstelsels).
De sferische symmetrie van de oplossing maakt het mogelijk om drie van de vier coördinaten (t, r, φ) vast te stellen en een omwenteling van 2π uit te voeren volgens de θ-coördinaat. De keelbol in Hilberts representatie komt overeen met R = α. Als t = constant, φ = constant en deze omwenteling plaatsvindt volgens θ, is het resultaat 2πα, de omtrek van een grote cirkel op de keelbol.
Laten we deze bewerking herhalen in mijn eigen representatie (t, r, θ, φ). De keelbol komt dan overeen met ρ = 0. De omwenteling volgens de θ-coördinaat geeft weer de waarde 2πα.
Wat nog verontrustender is, is dat wanneer we kiezen voor de representatie van Schwarzschild waarbij de keelbol overeenkomt met r = 0, we ook deze lengte 2πα krijgen! Dit is erg verwarrend, omdat "rond het punt r = 0 draaien" een niet-nul lengte oplevert! Dit komt doordat r … geen punt is! Het is een verontrustend aspect van differentiële meetkunde en de representatie van objecten door hun metriek.
Deze gedachtenexperiment moet je ervan overtuigen dat je r niet langer moet beschouwen als een "dimensionale" lengte. Precies omdat iedereen r als een "radiale afstand" denkt, ontstaat de verwarring.
In feite is het zelfs het woord "dimensie" dat verwarrend is. In plaats van te zeggen: "we plaatsen de punten in dit meetkundige object met een reeks dimensies" zou men moeten zeggen:
— We plaatsen de punten in dit meetkundige object met behulp van ruimtemarkeringen:
(x₀, x₁, x₂, x₃) Maar zelfs de letter x kan misleidend zijn. Om de verkeerde gedachte volledig uit te schakelen dat r een variabele radiale afstand tot een centraal punt zou zijn, zou de ruimtemarkering moeten worden gedefinieerd met een neutrale Griekse letter, zoals β of ζ:
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃) Laten we teruggaan naar het algemene concept van metriek. In de wiskunde, in de meetkunde, wat is dat?
De aarde is niet plat. Het is een bol. Dat is een probleem voor cartografen. Als we continenten bekijken op een globe, is alles in orde. Maar hoe kaarten een gekromde wereld overbrengen op platte vel papier, op vlakke onderlagen, hoe te werk gaan? Er worden meerdere kaarten gemaakt en verzameld als een atlas. Aangrenzende kaarten kunnen met elkaar worden gekoppeld door de overeenkomst tussen hun meridianen en parallellen aan te passen.
Algemener gezien is het mogelijk om elke oppervlak met deze techniek af te beelden. Een auto-romp bijvoorbeeld. Elk vlak element van deze atlas komt overeen met een lokale metrische beschrijving. Wiskundigen en meetkundigen hebben dit concept uitgebreid door atlanten te overwegen die bestaan uit niet-Euclidische elementen. Stel je een wereld voor waarin papier niet bestaat en waar mensen onderlagen gebruiken in de vorm van gedroogde bladeren, gevormd als stukken van een bol die gestapeld kunnen worden, waardoor een vreemde gekromde atlas ontstaat. Alles kan op die manier stap voor stap worden afgebeeld (inclusief een plan!).
Deze techniek impliceert geen beperkingen ten aanzien van de topologie van het af te beelden object.
Het kiezen om het object dat wordt beschreven door de Schwarzschild-metriek te vormen met behulp van "poolcoördinaten", stelt impliciet een sterke hypothese over zijn topologie.
In het vervolg is de gedachte dat de metrische oplossing haar eigen topologie bevat en dat we vrij zijn om die te kiezen. We laten dan volledig de klassieke aanpak van kaarten die een atlas vormen, achterwege, en stellen ons voor dat het object alleen wordt beschreven door zijn metriek, uitgedrukt in een reeks coördinaten "die goed passen", dus die overeenkomen met de topologie die impliciet is verbonden aan zijn metrische oplossing. Het gemeenschappelijke kenmerk is:
– De eenheidslengte s moet overal reëel zijn.
– En zijn gevolg: de signature van de metriek is invariant.
Op basis van deze opmerkingen en suggesties kan men dan de klassieke model van het zwarte gat, belast met al zijn pathologieën, in twijfel trekken. Is dat niet een gevolg van de manier waarop Hilbert deze meetkunde heeft geïnterpreteerd? Het feit dat er een chimaera bestaat, bekend als "het binnenste van het zwarte gat", dat toegankelijk is via "de analytische voortzetting van Kruskal", waarover Maldacena in zijn conferentie-les zei dat "het de oplossing uitbreidt naar de hele ruimtetijd". Het feit is dat zwart gat-mensen een a priori hebben over de topologie van het object dat zij bestuderen. Hoe kan dat?
Topologisch, beschouw een 2D-oppervlak. Teken een gesloten kromme, en probeer de omtrek van deze kromme tot nul te verkleinen. Er zijn twee scenario’s:
– Of deze omtrek kan worden verkleind tot nul.
– Of er wordt een minimumwaarde bereikt.
Dit kan worden geïllustreerd in de volgende tekening:
Als een 2D-inwoner van dit oppervlak ons zou vragen:
— Wat zit er in het midden van de cirkel?
Konden we alleen antwoorden dat zijn vraag zinloos is, omdat deze cirkels geen midden hebben.
Als we overstappen naar een 3D-wereld, zou deze contractibiliteit verschijnen als de mogelijkheid om een bol te vervormen door zijn oppervlakte tot nul te verkleinen:
Als deze bewerking succesvol kan worden voltooid, dan heeft deze bol een "binnenste" en een "midden".
Maar een 3D-ruimte is niet noodzakelijk contractibel. Als dat niet het geval is, dan zal in sommige regio (het oppervlak met de topologie van een 2-sfeer) de foliatie van deze ruimte door concentrische buurkrommen (dus als een ui schillen) een minimumoppervlak bereiken. Als we dan proberen om verder te foliëren, zal het oppervlak weer groeien, omdat het minimumoppervlak dat we net zijn gepasseerd eigenlijk een keelbol was.
Het is niet meer mogelijk om zoiets in 3D te tekenen, maar verwijzend naar de vorige 2D-tekening zien we dat aan de rechterkant de minimale waarde een keelcirkel (in rood) is. Alles kan worden uitgebreid naar een 3D-hypervlak en een hypervlak met een willekeurig aantal dimensies.
Door Joseph Kruskal te loven "die ons toegang gaf tot de uitbreiding van de oplossing naar de gehele ruimtetijd" realiseert Maldacena (zoals duizenden anderen voor hem) niet dat hij onbewust een hypothese maakt over de topologie van het 4D-hypervlak waarover hij praat: de "ruimtetijd".
Toch eindigt deze poging in een verandering van de metriek-signatuur, die hand in hand gaat met de transformatie van de eenheidslengte naar een zuiver imaginaire hoeveelheid. Dit drukt simpelweg het "antwoord" uit dat het formalisme geeft:
— Let op! Je bent buiten het hypervlak!
In feite wil hij een deel van de ruimtetijd verkennen dat zelfs niet bestaat, net zoals een meetkundige die een analytische voortzetting zou construeren om de eigenschappen van het raakvlak van een torus te bestuderen… in de buurt van zijn as, zoals een gekke mechanisch die in de wereld van Alice in Wonderland probeert een pleister op de binnenband van een band aan te brengen in het gebied vlakbij de as van het wiel… Als ik gelijk heb, dan is zoveel papier, inkt en grijs materiaal (inclusief kwantumgrijs materiaal) gedurende decennia verspild om een object te beschrijven dat niet bestaat, inclusief al zijn gevolgen, zoals de eigenschappen van een "centrale singulariteit"! Men kan zich afvragen waarom dit allemaal blijkbaar volledig onopgemerkt is gebleven gedurende een hele eeuw. Misschien kunnen wetenschapshistorici ons dat uitleggen. Laten we zeggen dat met zijn fantasie over een denkbeeldige tijd, Hilbert de idee overbracht van een ruimtelijke signature (– + + +), wat betekent dat misschien niemand daarna meer bezorgd was dat het kwadraat van de eenheidslengte het teken veranderde. Maar het is fout om te zeggen dat het slechts een kwestie van "conventie" is.
Echter, Schwarzschild (en Einstein) hadden gekozen voor een tijdsachtige signature (+ – – –), zoals blijkt uit het artikel van Schwarzschild:
Omgekeerd, door het teken van de termen die verwijzen naar hoeken vast te stellen, sluit Hilbert impliciet de signature af op (– + + +):
Fysici, studenten en ingenieurs die deze kwesties willen verkennen kunnen hieronder de Engelse vertalingen van de verschillende artikelen vinden die in deze pagina worden geciteerd, inclusief de historische artikelen oorspronkelijk gepubliceerd in het Duits duizend jaar geleden. Ze zijn waarschijnlijk nooit gelezen door onze moderne zwarte-gat-mensen, die lijken te zijn losgekoppeld van de werkelijkheid, een astrofysica bouwend zonder observatie, voortkomend uit wiskunde zonder zorgvuldigheid.
• Historische artikelen:
Schwarzschild, K. (13 januari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 189–196 vertaald in het Engels als:
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mei 1999). "Over het gravitatieveld van een massa-punt volgens Einstein's theorie".
.
Schwarzschild, K. (24 februari 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916. 424–434 vertaald in het Engels als:
Antoci, S. (12 mei 1999). "Over het gravitatieveld van een bol van onsamendrukbare vloeistof volgens Einstein's theorie".
.
Frank, Ph. (1916) in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik.
46: 1296.
vertaald in het Engels als:
Antoci, S. (2003). "Appendix A: Frank’s review of Schwarzschild's 'Massenpunkt' paper" in "David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution".
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Droste, J. (1917).
.
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A.
19 (I): 197–215. (Geïntroduceerd door Prof. H. A. Lorentz op de KNAW-vergadering, 27 mei 1916).
Heruitgegeven (2002) in General Relativity and Gravitation.
34 (9): 1545–1563. doi:10.1023/A:102074732.
Weyl, H. (1917).
.
Annalen der Physik.
54 (18): 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804.
vertaald in het Engels als:
Neugebauer, G.; Petroff, D. (maart 2012).
.
General Relativity and Gravitation.
44 (3): 779–810. doi:10.1007/s10714-011-1310-7.
Hilbert, D. (23 december 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
vertaald in het Engels als:
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
• Voor meer informatie:
Abrams, L. S. (november 1979). "Alternative Space-Time for the Point Mass".
Physical Review D.
20 (10): 2474–2479. doi:10.1103/PhysRevD.20.2474.
- correctie:
Abrams, L. S. (april 1980). "Erratum: Alternative space-time for the point mass".
Physical Review D.
21 (8): 2438. doi:10.1103/PhysRevD.21.2438.
.
Abrams, L. S. (2001). "Black Holes: The Legacy of Hilbert's Error".
Canadian Journal of Physics 67 (9): 919–926. doi:10.1139/p89-158.
.
Antoci, S.; Liebscher, D.-E. (2001). "Reconsidering Schwarzschild’s original solution".
Astronomische Nachrichten.
322 (2): 137–142.
.
Antoci, S. (2003). "David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution".
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
.
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 maart 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Petit, J.-P. (2017).
(Youtube-playlist, ondertiteld in het Engels).
Zie ook dit .
Terug naar boven van de pagina
