REKREACJE GEOMETRYCZNE
Reprezentacja wielościanowa punktu kuspidalnego, obliczenie jego krzywizny skupionej.
Reprezentacje wielościanowe różnych powierzchni.
Permutacja punktów kuspidalnych na powierzchni krzyżowej (cross-cap).
Przekształcenie „prawej” powierzchni Boya w „lewą” powierzchnię Boya za pośrednictwem rzymskiej powierzchni Steinera.
Inwersja „prawa”–„lewa” powierzchni Boya.
Jean-Pierre Petit Dyrektor Badań w CNRS 1988-1999 ---
Streszczenie:
Przedstawiono kilka elementów umożliwiających reprezentację punktów o krzywiźnie skupionej: „pozikony”, „negakony” oraz ich odpowiedniki wielościanowe: „pozikąty” i „negakąty”, które pozwalają na konstruowanie reprezentacji wielościanowych różnych powierzchni oraz odtwarzanie ich całkowitej krzywizny. Tak więc reprezentacja wielościanowa rzymskiej powierzchni Steinera składa się z czterech sześcianów sklejonych wzdłuż krawędzi, co czyni ją bardziej zrozumiałą. Reprezentacja wielościanowa powierzchni Boya została już podana w Topologiconie, 1985, wydawnictwo Belin, strony 48 i 49, w formie wycinanki do złożenia. Na stronie 46 znajdowały się również reprezentacje wielościanowe torusa i butelki Kleina. Podano reprezentacje wielościanowe powierzchni krzyżowej (cross-cap). Całkowita krzywizna różnych zanurzeń płaszczyzny rzutowej w R3: powierzchni Boya, powierzchni krzyżowej (cross-cap), rzymskiej powierzchni Steinera wynosi 2π. Reprezentacja wielościanowa punktów kuspidalnych, traktowanych jako punkty o krzywiźnie skupionej, pozwala bardzo prosto obliczyć tę krzywiznę. Powierzchnia krzyżowa (cross-cap), rzymska powierzchnia Steinera, powierzchnia Boya jawią się jako „wielorakie oblicza” jednego obiektu: płaszczyzny rzutowej. Ponieważ nie jest to oczywiste na pierwszy rzut oka, konstruuje się przekształcenia geometryczne umożliwiające przejście od jednej do drugiej. Wychodzimy od powierzchni krzyżowej (cross-cap), którą przekształcamy w rzymską powierzchnię Steinera, tworząc w niej dwa dodatkowe punkty kuspidalne (czyli realizujemy w tym kierunku modyfikację generyczną „tworzenie-likwidacja punktów kuspidalnych”), a następnie przekształcamy powierzchnię Steinera w powierzchnię Boya przez konfluencję par punktów kuspidalnych. Przy okazji, wykorzystując fakt, że standardowe zanurzenie sfery można przekształcić w jej zanurzenie antypodalne (odwrócenie sfery), pokazujemy, że dwa punkty kuspidalne na powierzchni krzyżowej (cross-cap) mogą zostać zamienione miejscami w wyniku ciągu zanurzeń, przy czym przekształcenie to ilustruje równoważność tych dwóch punktów.
WSTĘP:
Czytelnik znajdzie tutaj elementy ogólne, które występują również we wstępie do GEOMETRICAL PHYSICS A (definicje pozikonów, negakonów itp.). Jeśli chce pominąć ten fragment, wystarczy, że [kliknie tutaj](#POSICOINS ET NEGACOINS).
Jeśli narysujemy na płaszczyźnie trójkąt złożony z prostych odcinków, suma kątów przy wierzchołkach wynosi π. Te linie na płaszczyźnie można otrzymać inaczej: naklejając na powierzchnię taśmę klejącą bez tworzenia zagięć. Nazywamy wtedy takie trajektorie na płaszczyźnie geodezyjnymi. Krzywe geodezyjne można rysować na dowolnej powierzchni tą metodą, na przykład na skrzydle samochodu lub na jego masce.
Rysunek 1: Trójkąt traktowany jako zbiór trzech geodezyjnych płaszczyzny
POZIKONY I NEGAKONY
Wykonajmy nacięcie w płaszczyźnie i sklejmy oba brzegi, a następnie narysujmy trójkąt taśmą klejącą, składający się z trzech geodezyjnych tego stożka.
Rysunek 2: Konstrukcja pozikona.
Oddzielając dwie krawędzie powierzchni zgodnie z wykonanym wcześniej nacięciem (rysunek 3), łatwo zauważymy, używając kątomierza, że suma kątów A, B i C jest równa π plus kąt nacięcia α. Tę różnicę względem sumy euklidesowej nazwiemy krzywizną i powiemy, że trójkąt „zawiera” pewną ilość krzywizny kątowej α. Ta różnica będzie taka sama dla dowolnego trójkąta, jeśli zawiera on wierzchołek stożka. Jeśli go nie zawiera, suma będzie równa π. Powiemy, że krzywizna jest skupiona w wierzchołku M stożka, który staje się wtedy „punktem o krzywiźnie skupionej”. Ponieważ suma kątów jest większa od sumy euklidesowej, powiemy, że ta krzywizna jest dodatnia. W tej optyce płaszczyzna byłaby powierzchnią o zerowej krzywiźnie.
Rysunek 3: Pozikon rozłożony na płasko.
Ta krzywizna jest addytywna. Jeśli sklejmy razem kilka takich stożków odpowiadających kątom α, β, γ, będziemy mogli narysować różne trójkąty złożone z łuków geodezyjnych. Jeśli trójkąt otacza trzy punkty odpowiadające krzywiznom skupionym równym α, β, γ, to suma jego kątów przy wierzchołkach wyniesie: π + α + β + γ.
Powierzchnię o dodatniej krzywiźnie, taką jak sfera, można traktować jako złożenie nieskończenie wielu „pozikonów”. Zamiast krzywizny skupionej w różnych punktach, będziemy mieć krzywiznę rozłożoną równomiernie na całej powierzchni. Powiemy, że sfera jest powierzchnią „o stałej krzywiźnie” (lub o „stałej gęstości krzywizny kątowej”).
Rys. 4: Trójkąt złożony z trzech łuków geodezyjnych.
Na sferze geodezyjnymi są „koła wielkie”. Równik i południki są kołami wielkimi, są łukami geodezyjnymi sfery. Nie uda się jednak stworzyć równoleżnika za pomocą taśmy klejącej. Równoleżniki nie są geodezyjnymi sfery. Suma kątów przy wierzchołkach trójkąta narysowanego na sferze zależy od stosunku pola trójkąta do pola sfery. Suma kątów bardzo małego trójkąta będzie bardzo bliska π.
Trójkąt, którego pole stanowiłoby ósmą część pola sfery, miałby sumę kątów
A + B + C = 2π
Koło wielkie sfery można traktować jako „trójkąt”, pod warunkiem umieszczenia trzech wierzchołków... w dowolnym miejscu na tym kole. Suma A + B + C wyniesie 3π. Zawiera ono połowę pola sfery.
Jaka jest maksymalna różnica? Nie można powiedzieć, że „powiększamy” trójkąt poza to koło wielkie, ponieważ poza nim długości łuków geodezyjnych tworzących jego boki będą maleć, a nawet dążyć do zera.
Gdy obejmujemy całą powierzchnię sfery, otrzymujemy
A + B + C = 5π = π + 4π
Powiemy, że całkowita krzywizna sfery wynosi 4π.
Rys. 5: Suma kątów. Trójkąt złożony z łuków geodezyjnych sfery.
Ilość krzywizny zawarta w trójkącie odpowiada prostej regule trzech:
Teraz stworzymy „negakona”, wstawiając tym razem wycinek kątowy α w płaszczyznę, jak pokazano na rysunku 6
Rys. 6: „Negakon”
Gdy usuniemy wycinek kątowy, otrzymamy to:
Rys. 7: Negakon rozłożony na płasko.
Suma kątów trójkąta wynosi A + B + C = π - α
Powiemy, że ta powierzchnia jest negakonem posiadającym punkt o krzywiźnie skupionej, ujemnej. Ta krzywizna również jest addytywna. Tworząc powierzchnię przez sąsiedztwo mini-pozikonów i mini-negakonów, można stworzyć powierzchnię, w której lokalna wartość krzywizny jest dowolna.
Rysunek 7 przedstawia powierzchnię o rozłożonej krzywiźnie ujemnej. Powiemy również, że ta powierzchnia posiada w każdym punkcie gęstość krzywizny (kątowej). Różnica (ujemna) względem wartości euklidesowej sumy kątów będzie tu również zależeć od pola trójkąta. Im mniejsze będzie pole, tym suma będzie bliższa π.
Rys. 7: Powierzchnia o ujemnej gęstości krzywizny (kątowej).
Rysunek 8 pokazuje przykład sąsiedztwa trzech regionów o dodatniej, ujemnej i zerowej gęstości krzywizny.
Rys. 8: Powierzchnia o zmiennej gęstości krzywizny. Zerowa w części płaskiej, dodatnia w czaszy sferycznej, ujemna w przejściu (pocienione).
Jeśli narysujemy geodezyjne, otrzymamy to:
Rys. 9: Rzut płaski, plus geodezyjne.
W wybranym przykładzie ilość krzywizny zawarta w czaszy sferycznej jest równa i przeciwna do ilości w przejściu (zakładamy, że płaszczyzna styczna zmienia się w sposób ciągły). Dowodem jest rysunek 10 poniżej:
Rys. 10: Trójkąt geodezyjny, narysowany w części płaskiej, uwzględnia całą zawartą w nim krzywiznę. Ponieważ suma trzech kątów wynosi π, jest wpisany w powierzchnię euklidesową (płaszczyznę). W konsekwencji „skumulowane krzywizny” zawarte w czaszy sferycznej i w pocienionym przejściu są równe i przeciwne.
Niektóre powierzchnie, takie jak walec, wydają się nam posiadać pewną krzywiznę. Ale jeśli narysujemy na nim trójkąt za pomocą łuków geodezyjnych, a potem rozłożymy walec na płasko (podobnie jak pozikony i negakony, walec jest „rozwijalny”), zauważymy, że suma wynosi 180°. Walec, w świetle tej definicji krzywizny, jest „płaski”.
Rys. 11: Walec, na którym narysowano trójkąt geodezyjny, oraz jego rozwinięcie płaskie.
Zagięcie nie wprowadza żadnego efektu krzywizny, co można również sprawdzić za pomocą taśmy klejącej.
Rys. 12: Geodezyjna przechodząca przez zagięcie. Zagięcie nie zmienia jej rozwinięcia płaskiego: Nie zawiera ono żadnej krzywizny.
POZIKĄTY I NEGAKĄTY.
„Kąty” to punkty koncentracji krzywizny. Krawędzie nie zawierają żadnej krzywizny. Rysunki 6 i 7 pokazują, jak stworzyć pozikąt odpowiadający krzywiźnie skupionej równej +π/2 oraz negakąt o krzywiźnie skupionej równej -π/2.
Rys. 13: Tworzenie pozikąta o **+ **π/2
**Rys. 14: Tworzenie pozikąta o + π/**4
**Rys. 15: Tworzenie negakąta - π/**2.
Za pomocą ośmiu pozikątów można stworzyć sześcian, który jest jedną z reprezentacji wielościanowych sfery.
Rys. 15: Sześcian, reprezentacja wielościanowa sfery
**Odtwarzamy całkowitą krzywiznę sfery: 4 **π
Z ośmioma pozikątami i ośmioma negakątami można stworzyć reprezentację wielościanową torusa i odtworzyć jego całkowitą krzywiznę: zero.
Rys. 16: Reprezentacja wielościanowa torusa.
PUNKTY KUSPIDALNE
Powierzchnia krzyżowa (cross-cap) jest jednym z wielu oblicz, jakie przybiera płaszczyzna rzutowa w R3. Nie może być w niej zanurzona. Powierzchnia krzyżowa (cross-cap) posiada zbiór samoprzecięć w postaci odcinka prostej, których końce odpowiadają punktom zwanym kuspidalnymi.
Rysunki 17, 18 i 19 pokazują, jak można utworzyć punkt kuspidalny w regionach o krzywiźnie dodatniej, ujemnej lub zerowej.
Rys. 17: Utworzenie punktu kuspidalnego w regionie o krzywiźnie dodatniej.
Rys. 18: Utworzenie punktu kuspidalnego w regionie o krzywiźnie ujemnej.
Rys. 19: Utworzenie punktu kuspidalnego w regionie o krzywiźnie zerowej (walec).
Rysunek 20 przedstawia reprezentację wielościanową punktu kuspidalnego, z której będziemy korzystać w dalszej części.
Rysunek 20: Reprezentacja wielościanowa punktu kuspidalnego
POWIERZCHNIA KRZYŻOWA (CROSS-CAP)
Rysunki 21a i 22b to dwie reprezentacje wielościanowe powierzchni krzyżowej (cross-cap), łatwe do uchwycenia.
Rysunki 21a i 21b: Reprezentacje wielościanowe powierzchni krzyżowej (cross-cap).
Wiemy, że całkowita krzywizna powierzchni krzyżowej (cross-cap) wynosi 2π. Jak odtworzyć ją na podstawie reprezentacji wielościanowej?
Rysunek 22 pozwala obliczyć krzywiznę skupioną w punkcie kuspidalnym przedstawionym na rysunku 20.
Rys. 22: Krzywizna skupiona w punkcie kuspidalnym.
Trajektoria zawiera sześć kątów prostych. Złamania 2, 5, 7 i 10 zachodzą na krawędziach i nie zawierają żadnej krzywizny. Trajektoria 1-2-3 przebiega zgodnie z geodezyjną powierzchni. Krzywizna skupiona w tym szczególnym punkcie kuspidalnym, gdzie płaty przecinają się pod kątem prostym, jest równa -π. Jeśli teraz odniesiemy się do rysunku 21a i zsumujemy krzywizny, otrzymamy -2π. Mianowicie:
Dwanaście pozikątów +π/2
Cztery negakąty -π/2
Dwa punkty kuspidalne -π
Razem 2π
Rysunki 21a i 21b pokazują tożsamość dwóch punktów kuspidalnych C1 i C2.
Rys. 23: Złożenie dwóch wielościanowych powierzchni krzyżowych (cross-caps).
Rysunek 24: Zakończone złożenie.
Po wszystkim powyższym jesteśmy w stanie dobrze zrozumieć strukturę geometryczną powierzchni krzyżowej (cross-cap).
Rysunek 25: Powierzchnia krzyżowa (cross-cap) i złożenie jej dwóch punktów kuspidalnych. Punkt kuspidalny C1 został utworzony w regionie o lokalnej krzywiźnie (lub gęstości krzywizny kątowej) dodatniej (patrz rysunek 16), a C2 w regionie o lokalnej krzywiźnie ujemnej (patrz rysunek 17).
Ta sama, bez tych szczegółów:
Rysunek 14: Powierzchnia krzyżowa (cross-cap) i jej dwa punkty kuspidalne.
PERMUTACJA PUNKTÓW KUSPIDALNYCH POWIERZCHNI KRZYŻOWEJ (CROSS-CAP).
Istnieje symetria między tymi dwoma punktami, która nie jest widoczna na pierwszy rzut oka.
Dygresja:
Dla historii, postawiłem sobie ten problem po uczestnictwie w kolokwium na temat psychoanalizy lacanowskiej w Aix-en-Provence, na zaproszenie komitetu organizacyjnego. Można się zastanawiać, co psychoanaliza lacanowska robi w wykładzie z geometrii. Lacan, dziś już nieżyjący, sformułował w swoim czasie dość nieprzeniknione teorie na temat struktury naszego umysłu, który miałby być zorganizowany wokół „obiektu małego a”, będącego prawdziwym „centrum organizującym język”. Dla Lacana wszystko jest językiem (stąd jego słynne zdanie „akt seksualny nie istnieje”). Teraz, gdy nie żyje, jego słowa nieco się rozmywają. Ale za jego życia jego wykłady w École Normale Supérieure przyciągały cały paryski światek intelektualny. Celebrytki z kina lubiły się tam pokazywać. Walczono o możliwość wysłuchania jego enigmatycznych wypowiedzi. Jedna z jego uczennic, Jeanne Granier-Deferre, można by powiedzieć jedna z jej wiernych (lacanizm był niemal ustrukturyzowany jak sekta, której guru był Lacan, przybierający zresztą jego strój, patrz niektóre materiały TV), opublikowała książkę zatytułowaną „Topologia według Jacquesa Lacana” (...). Lacan szukał powierzchni jednostronnej, aby modelować geometryczno-językową strukturę naszej „psyche”. Dlaczego jednostronnej? Aby zobrazować to, co nazywał enantiosémią, podwójnym znaczeniem.
Pomysł ten jest daleki od głupoty. Dowodem słynne zdanie Lacana:
Mężczyzna jest mężczyzną.
gdzie pięć liter tworzących słowo „mężczyzna” nie ma tego samego znaczenia w obu częściach zdania. Po lewej stronie słowo „mężczyzna” odnosi się do samca gatunku ludzkiego. Po prawej: słowo odnosi się do jego atrybutów kulturowych (męskość, zachowanie itp.). Według Lacana nasz język nieustannie wykorzystuje podwójne znaczenie, w dualności znaczące-znaczone, co również nie jest głupie. Można by rozwodzić się nad ideami nieodżałowanego Jacquesa, ale zabrałoby to nas za daleko. Poświęcę temu dokument, który prawdopodobnie zatytułuję: „JPP u Jacquesa Lacana”, pełen smakowitych anegdot. Lacan zareagował natychmiast, gdy w 1979 roku ukazał się nasz artykuł o odwróceniu sfery w styczniowym numerze „Pour la Science”. Najpierw zadzwonił do niewidomego Morina, współautora, który, będąc alergicznym na psychoanalizę (i wiele innych rzeczy zresztą), odesłał go z kwitkiem. Z ciekawości udałem się na rue de Lille w Paryżu, do Lacana, czyli do sanktuarium sekty. Relacja z tych spotkań w tym przyszłym dokumencie.
To, że Lacan zwrócił się ku jednostronności, aby modelować język, jest w porządku. Na przykład, jeśli weźmiemy słowo MOT i rozważymy jego odbicie lustrzane, jego obraz enancjomorficzny, otrzymamy TOM, co nie ma nic wspólnego. Ale sprawy się komplikują z „tym obiektem małym a” (według Lacana „fallusem językowym”). Cały język człowieka miałby być zorganizowany wokół niego. Stąd inne słynne zdanie Lacana:
Człowiek nie jest istotą mówiącą, ale istotą mówioną.
Według Lacana człowiek byłby jedynie maszyną wydzielającą język, nawet podczas aktu miłosnego, nawet w ciszy (ciszy oczywiście całkowicie utkanej z niedopowiedzeń: dla Lacana cisza również nie istnieje...). Krótko mówiąc, człowiek krążyłby jedynie po „jednostronnej powierzchni językowej”, między znaczącymi i znaczeniami, wypowiedziami i niedopowiedzeniami. W centrum tego obiektu geometryczno-językowego znajduje się obiekt a, punkt możliwy do pomyślenia, ale niemożliwy do opisania: Bóg, lub „ojciec”, być może, kto wie. Przyznaję, że nigdy tego do końca nie zrozumiałem. Ale po śmierci Lacana psychoanalitycy lacanowscy, wyraźnie zdezorientowani zniknięciem swojego guru, zorganizowali w Aix kolokwium w kwietniu 1978 roku i zaprosili mnie jako „eksperta-geometrę”. Wcześniej dali mi do przeczytania książkę Pani Granier-Deferre, tę „Topologię według Jacquesa Lacana”. Lacan wybrał centralny punkt kuspidalny powierzchni krzyżowej (cross-cap) (jedyną powierzchnię jednostronną, którą potrafił obsługiwać), aby umieścić tam swój „obiekt mały a”, wbijając tam swój „fallus językowy”. Natychmiast wyobraziłem sobie przekształcenie umożliwiające „ojco-mutowanie” dwóch punktów kuspidalnych. Był to jeden z tematów mojego wystąpienia, które pozostawiło sektę w całkowitej dezorientacji (biorąc pod uwagę sytuację, w jakiej znajdowało się tych 400 uczestników na poziomie psychoanalitycznym, jedynie pogarszałem sprawę). Ta powierzchnia krzyżowa (cross-cap), przemianowana przez Lacana na „fantazmat fundamentalny”, była więc wyposażona w dwa fallusy językowe zamiast jednego. Próbowałem wtedy ratować sytuację, wyciągając z kartonowego pudła powierzchnię Boya, również jednostronną, i proponując tym lacanistom wbicie tam swojego „fallusa językowego” w jedyny biegun. Szczegóły i dalszy ciąg tej sprawy w tym przyszłym dokumencie „JPP u Lacana”.
Zamykając tę dygresję, opiszemy to przekształcenie, które wymyśliłem w tamtym czasie, permutujące dwa punkty kuspidalne. Anegdotycznie, aby być lepiej zrozumianym przez moją publiczność, wyjaśniłem, że operacja inwaginacji punktu kuspidalnego C1 przypominała „dotyk waginalny u samicy kangura”. Kangury są bowiem niełożyskowe, a jajowody samicy uchodzą bezpośrednio do aparatu płciowego, pozbawionego macicy, jeśli się nie mylę. Patrz rysunki 19a i 19b.
W tym celu zaczynamy od napompowania obiektu w taki sposób, aby zgromadzić dwa punkty kuspidalne i odcinek samoprzecięcia w regionie sfery. Wiemy, że możemy odwrócić sferę. Pierwsza wersja została podana przez Anthony'ego Phillipsa w 1967 roku. Druga wersja została następnie wymyślona przez matematyka Bernarda Morina i opublikowana w 1979 roku w CRAS (ilustrowana przez autora).
Rysunki 15a i 15b: Przed i po odwróceniu sfery.
Punkt kuspidalny C1 znajduje się wtedy „wewnątrz sfery”. Wystarczy zdeformować obiekt zgodnie z rysunkami, aby uzyskać wynik podobny do tego na rysunku 15a. Ale punkty kuspidalne zostały wtedy zamienione miejscami.
Rysunki 16a i 16b: Zaczynamy deformować obiekt.
Rysunki 17a i 17b: Ostatni etap przekształcenia.
PRZEKSZTAŁCENIE POWIERZCHNI KRZYŻOWEJ (CROSS-CAP) W POWIERZCHNIĘ BOYA ZA POŚREDNICTWEM RZYMSKIEJ POWIERZCHNI STEINERA
Wróćmy do powierzchni krzyżowej (cross-cap). Rysunek 18b przedstawia powierzchnię „widzianą z profilu”. Można więc ścisnąć sąsiedztwo odcinka samoprzecięcia dwoma palcami, jak pokazano
Rysunki 18a i 18b.
Rysunki 19a i 19b.
Punkt kuspidalny C2 przenika przez „dno” powierzchni krzyżowej (cross-cap) i pojawia się „po drugiej stronie”. Przy okazji tworzy się punkt potrójny T, widoczny na widoku 20a. Na 20b przedstawiono sąsiedztwo tego punktu potrójnego.
Rysunki 20a i 20b
Szczegółowo omówmy ten pośredni model przekształcenia. Nadal mamy odcinek C1 C2 jako element zbioru samoprzecięć. Ale poprzedni ruch stworzył krzywą w kształcie ósemki, która również stanowi integralną część tego zbioru i przechodzi przez punkt potrójny T.
Rysunek 21: model pośredni
Rysunek 22: Model pośredni i zbiór samoprzecięć
Rysunek 22 pokazuje inny widok tego modelu pośredniego i zbiór samoprzecięć. Teraz ściśniemy powierzchnię zgodnie z czarnymi strzałkami wskazanymi na rysunku 23.
Rys. 23: Ściśnięcia w modelu pośrednim.
Zniknięcie przejść tubularnych da początek dwóm nowym parom punktów kuspidalnych (C4, C6) i (C5, C4). Ten obiekt to nic innego jak rzymska powierzchnia Steinera.
Rysunek 24: Narodziny dwóch par punktów kuspidalnych: C3, C4, C5, C6
Rysunki 25a i 25b to bardziej familiarne widoki powierzchni Steinera, podczas gdy rysunek 26 jest jej reprezentacją wielościanową.
Rysunki 25a i 25b: Rzymska powierzchnia Steinera
Rysunek 26: Reprezentacja wielościanowa powierzchni Steinera.
Rysunek 27 to inny widok tej reprezentacji wielościanowej, który pokazuje, że składa się ona z czterech sklejonych sześcianów. Zbiór samoprzecięć składa się z trzech odcinków prostych, które schodzą się w punkcie potrójnym T. Na końcach każdego z tych odcinków znajduje się punkt kuspidalny.
Rysunek 27: Szczegóły tej reprezentacji wielościanowej i zbiór samoprzecięć.
Teraz można rozważyć przejście do powierzchni Boya. W tym celu dokonamy konfluencji punktów kuspidalnych, parami. Jest to operacja odwrotna do tej, która została użyta do przejścia od rysunku 23 do rysunku 24. Na rysunku 28a widać kolejność, w jakiej następuje ta konfluencja punktów kuspidalnych.
Rysunki 28a i 28b: Konfluencja punktów kuspidalnych
Na rysunku 28b dwa z punktów kuspidalnych już się połączyły. Operacja jest zakończona na rysunkach 29a i 19b, gdzie rozpoznajemy zanurzenie płaszczyzny rzutowej, powierzchnię Boya.
Rysunki 29a i 29b: Dwa widoki powierzchni Boya. Na rysunku 29b usunięto część powierzchni, aby pokazać punkt potrójny.
Ostatnia uwaga. Gdybyśmy zamiast dokonywać konfluencji punktów:
C1 z C4, C3 z C5, C2 z C6
dokonali konfluencji punktów: C1 z C5, C2 z C3, C4 z C6
otrzymalibyśmy lustrzane odbicie powierzchni Boya. Tak więc obiekt pośredni, którym jest powierzchnia Steinera, pozwala przekształcić prawą powierzchnię Boya w lewą powierzchnię Boya, czyli w jej obraz enancjomorficzny.