Une nouvelle axiomatique des groupes

Nowa aksjomatyka grup **

--- **

...Souriau mieszka w mieszkaniu w starym Aix. Drzwi wiodące na ulicę są piękne. W wejściu stoi dziwny pojazd: noszki z epoki, które należą do właścicielki lokalu, młodej damy, archeolog, jak mi się wydaje. Noszki są przyciśnięte do ściany. Pozostaje tylko znaleźć dwóch noszących, włożyć dwa długie drewniane sztychy do pierścieni i usiąść, by pojechać na spacer. Otwory są szklane: szyby boczne można opuścić nie za pomocą krętki, ale poprzez przesuwanie skórzanych pasków, tak jak to było w przedziałach pociągów z moich dzieciństwa.

...Jak wszystko to budzi marzenia. Uświadamiam sobie, że nigdy nie jeździłem noszami. Jestem przekonany, że w czasach bezrobocia ludzie mogliby zarabiać na życie, uruchamiając pierwszą regularną linię noszów w starym Aix. Wystarczyłoby zbudować pojazd podobny do tych z przeszłości. To nie powinno być trudne. Następnie kupić dwa brokatowe stroje i dwie peruki – i w drogę. Trasa: Cours Mirabeau. Wystarczyłoby to całkowicie. Potem wystarczyłoby marzyć, mieć trochę wyobraźni.

...Jean-Marie mieszka sam ze swoim kotem Pioum w dużym mieszkaniu pełnym złota i drewnianych paneli. Pioum jest niezwykle miły. Mimo to nie mam szczególnej słabości do kotów. Ale ten jest wyjątkowo uprzejmy i ciepły.

Zwykle pracujemy w kuchni, na piętrze wyżej. Mała komora pod dachem, której skromność kontrastuje z rozmiarami pokoi na parterze. Zawsze, gdy przychodzi do miasta, Jean-Marie zabiera ze sobą GPS, który nigdy go nie opuszcza. W rzeczywistości fascynujące jest być prowadzonym przez satelity znajdujące się w odległości czterdziestu tysięcy kilometrów od ulicy, po której się poruszamy. Aby uzyskać lepsze odbiór, Souriau ma tendencję do chodzenia dokładnie wzdłuż osi ulicy, patrząc nieruchomo na ekran z ciekłymi krystalami. Wydaje się skuteczne, ale i nadal dość niebezpieczne.

...Wydaje mi się, że dobrze się bawimy. Jednego grudniowego wieczoru odwiedziłem go, a to dało następującą rozmowę.

• Powiem ci coś o grupach. Pamiętasz aksjomaty?

• Tak, jest ich sześć. Są one następujące:

1 – Istnieją elementy a, b, c... należące do zbioru E

2 – Istnieje działanie wewnętrzne, oznaczane jako o ("kółko"), pozwalające połączyć dwa elementy zbioru.

a należy do zbioru E

b należy do zbioru E

a o b należy do zbioru E

3 – To działanie jest łączne:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 – Istnieje element neutralny e, taki że:

a o e = e o a = a

5 – Każdy element a ze zbioru ma element odwrotny, oznaczony jako a⁻¹, taki że:

a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e

Czyli pięć?

• W końcu pięć, cztery, albo jedno. Nie ma absolutnej reguły co do numeracji aksjomatów. Można równie dobrze połączyć aksjomaty 1 i 2 w jeden:

– Istnieją elementy a, b, c, itd., należące do zbioru E, wyposażonego w działanie wewnętrzne spełniające:

a należy do zbioru E

b należy do zbioru E

a o b należy do zbioru E

To jest równoważne.

• Dobrze, pięć, cztery, nie ma znaczenia. Dokąd zmierzasz?

• Usunę to, co nazwałeś aksjomatami 4 i 5, definiującymi element neutralny i odwrotność, zastępując je aksjomatem sandwicza. Razem aksjomaty są następujące:

1 – Istnieją elementy a, b, c... należące do zbioru E

2 – Istnieje działanie wewnętrzne, oznaczane jako o ("kółko"), pozwalające połączyć dwa elementy zbioru.

a należy do zbioru E

b należy do zbioru E

a o b należy do zbioru E

3 – To działanie jest łączne:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 – Niech trzy elementy a, b, c należą do zbioru E.

Rozważmy równanie:

a o y o b = c

Ma ono jednoznaczne rozwiązanie.

To jest to, co nazywam aksjomatem sandwicza, gdzie "szynka" y jest ułożona między elementami a i b, a c jest całością sandwicza. Aksjomat oznacza:

Zawsze można wyjąć szynkę z sandwicza.
*

i twierdzę, że te aksjomaty definiują grupy – są równoważne poprzednim.

• To jednoznaczne rozwiązanie y należy do zbioru E, ponieważ działanie jest wewnętrzne i łączne.

• Oczywiście, to oczywiste.

• Ale lepiej to powiedzieć. Nie wiem, jak zamierzasz odzyskać dwa aksjomaty dotyczące elementu neutralnego i istnienia odwrotności, ale przynajmniej rozumiem, skąd wzięła się ta myśl.

• Pomyślałem: „Do czego to służy?”

• Dokładnie. Do czego służy element neutralny? W takiej postaci oznacza to: „jeśli mam zbiór E i element neutralny, mogę składać wszystkie elementy tego zbioru z tym elementem i otrzymać to samo”. To mi nie pomaga. Podobnie do czego służy odwrotność? Gdy liczymy w grupach, na jakimkolwiek obiekcie, zawsze radzimy sobie, mnożąc odpowiednio po prawej lub lewej stronie przez elementy lub ich odwrotności, by uzyskać a o a⁻¹ lub a⁻¹ o a, które zamieniamy na e, a następnie b o e lub e o b, które zamieniamy na b. Twój aksjomat sandwicza jest „funkcjonalny”.

• Jeśli chcesz. Przejdźmy do twierdzeń wynikających z aksjomatu sandwicza. Pierwsze z nich to:

I – Istnieje element neutralny, który po złożeniu z samym sobą daje siebie:

e = e o e

II – Ten element neutralny jest jedyny.

Dowód:

Wychodzimy z aksjomatu sandwicza. Równanie

a o y o b = c

ma jednoznaczne rozwiązanie y.

To samo dotyczy przypadku, gdy b = c = a, więc:

a o y o a = a

ma jednoznaczne rozwiązanie. Pomnóżmy po prawej stronie przez y:

a o y o a o y = a o y

Oznaczmy a o y = e

...To jest element zbioru, ponieważ a i y należą do zbioru, a działanie jest wewnętrzne. Zatem istnieje element zbioru taki, że:

e o e = e

...Twierdzenie I zostało udowodnione. Przejdźmy do jedyności, twierdzenia II. Gdyby nie była jedyna, istniałby inny element zbioru, nazwijmy go f, spełniający:

f o f = f

Mamy:

e o e = e

Pomnóżmy po prawej stronie przez f:

e o e o f = e o f

Ponownie pomnóżmy po prawej stronie przez e:

e o e o f o e = e o f o e

Wykorzystajmy łączność:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

To są dwa sandwicze. Oznaczmy je:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Zgodnie z aksjomatem sandwicza możemy „wyciągnąć szynkę”, czyli obliczyć wyrażenia ( e o f ) i f, które będą równe, ponieważ p = q. Zatem:

( e o f ) = f

...Powtórzmy z założeniem dotyczącym drugiego elementu f:

f o f = f

...Pomnóżmy po prawej stronie przez e, a następnie dwa razy po lewej:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Wykorzystajmy łączność:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Zastosujmy ponownie aksjomat sandwicza i otrzymujemy:

e o f = e

zatem:

e = f

Twierdzenie III: Jeśli weźmiemy ten element e „równy swojemu kwadratowi”, to wynika z tego, że

a o e = a

Dowód:

Korzystamy wciąż z aksjomatu sandwicza. Wychodzimy z definicji e:

e o e = e

Mnożymy kolejno po prawej stronie przez a i przez e:

e o e o a o e = e o a o e

Wykorzystajmy łączność:

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Zatem:

e o a = a

Wychodząc z:

e o e = e

i mnożąc kolejno po lewej stronie przez a i e:

e o a o e o e = e o a o e

Wykorzystajmy łączność:

e o ( a o e ) o e = e o a o e

stąd:

a o e = a

Twierdzenie III zostało udowodnione.

Przejdźmy do twierdzenia IV

(istnienie odwrotności, oznaczanej jako a⁻¹).

Sformułowanie: niech dany będzie element zbioru. Istnieje dokładnie jeden element, będący rozwiązaniem równania:

a o y o a = a

Oznaczmy ten element jako a⁻¹ i nazywamy go odwrotnością a. Ten element spełnia własności:

a o a⁻¹ = e

a⁻¹ o a = e

Dowód.

Istnienie i jednoznaczność tego elementu to prosta konsekwencja aksjomatu sandwicza, gdy sformułowany jest w ten sposób:

Gdy bułki są identyczne między sobą i identyczne z całością sandwicza, to szynka jest odwrotnością bułki (lub sandwicza).

a o y o a = a

Możemy wykorzystać łączność na dwa sposoby:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Wiemy jednak, że:

e o a = a

a o e = a

Zatem rozwiązanie y spełnia:

a o y = e

y o a = e

Pokażmy, że to rozwiązanie jest jednoznaczne. Gdyby nie było, istniałoby inne:

a o z = e

z o a = e

Pomnóżmy pierwsze równanie po lewej stronie przez y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

ale y o a = e, więc:

z = y

Nazywamy to rozwiązanie a⁻¹, rozwiązaniem jedynego równania:

a o a⁻¹ o a = a

W ten sposób nowy zestaw aksjomatów prowadzi do tych samych własności, które klasycznie definiują grupy.

Można więc zdefiniować grupy przy użyciu tego nowego zestawu aksjomatów:

Definicja grupy.

1 – Istnieją elementy a, b, c... należące do zbioru E

2 – Istnieje działanie wewnętrzne, oznaczane jako o ("kółko"), pozwalające połączyć dwa elementy zbioru.

a należy do zbioru E

b należy do zbioru E

a o b należy do zbioru E

3 – To działanie jest łączne:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 – Niech trzy elementy a, b, c należą do zbioru E.

Rozważmy równanie:

a o y o b = c

Ma ono jednoznaczne rozwiązanie.

Jeśli elementy zbioru E, wyposażone w działanie wewnętrzne, spełniają te cztery aksjomaty, to mówię, że tworzą grupę.

Twierdzenie: Element neutralny jest swoim własnym odwrotnością. Nowa definicja elementu neutralnego przy użyciu jednego równania prowadzi do innego rodzaju dowodu tej własności.

e o e = e

To jest definicja szczególnego elementu e. Jednak aksjomat sandwicza sprawia, że to równanie identyfikuje się z własnością (a nie definicją) odwrotności.

Inne twierdzenie: odwrotność odwrotności jest równa samemu elementowi:

( a⁻¹ )⁻¹ = a

a⁻¹ o a = e

a o a⁻¹ = e

a jest odwrotnością a⁻¹. Stąd wynika własność.

Pokażmy, że:

( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹

Obliczmy:

a o b o b⁻¹ o a⁻¹ i b⁻¹ o a⁻¹ o a o b

Pokażmy, że te dwie wartości są równe e.

a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹

= a o e o a⁻¹

= a o a⁻¹

= e

To samo dla drugiego wyrażenia.

• To inny podejście do pojęcia grupy.

• Ontologia grup.

• Jeśli chcesz.

• Ale coś mi mówi, że ten pomysł może się okazać owocny.

• Teraz zapomnij o wszystkim, nawet o aksjomacie sandwicza. Rozważmy zbiór E wyposażony w działanie wewnętrzne o łączne. Załóżmy, że w tym zbiorze istnieje element, który po złożeniu z każdym innym elementem pełni rolę elementu neutralnego:

a o e = e o a = a – Czy jest on jedyny?

• Jeśli istnieje, musi być jedyny, to można udowodnić.

• Ach tak, to prawda.

• Powiem, że dwa elementy a i b są powiązane relacją odwrotności, jeśli

a o b = b o a = e

Jeśli mamy dany a, to b jest jego odwrotnością. Twierdzę, że jeśli ograniczymy zbiór do podzbioru elementów mających odwrotność, ten podzbiór tworzy grupę. To sposób na budowanie grup. Innymi słowy, wybieramy z zbioru elementy spełniające tę własność i mówię, że to wystarczy, by stwierdzić, że ten podzbiór tworzy grupę.

Trzeba pokazać, że ta własność jest zamknięta.

• Co masz na myśli?

• Niech dwa elementy a i a' spełniają tę własność, czyli:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a ma odwrotność b

a' ma odwrotność b'. Są one więc w rozważanym podzbiorze. Trzeba pokazać, że a o a' ma również odwrotność.

Zredukujmy te „kółka”, które są ciężkie.

a' o b' = e

Pomnóżmy po lewej stronie przez a i po prawej przez b:

a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e

Zatem:

( a o a' ) o ( b' o b ) = e

Wracając do:

b o a = e

Pomnóżmy po lewej stronie przez b' i po prawej przez a':

b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e

( b' o b ) o ( a o a' ) = e

Zatem element uzyskany przez złożenie a i a', które mają odwrotności, ma również odwrotność.

• Pozostaje pokazać, że ten podzbiór rzeczywiście tworzy grupę.

• Aby to zrobić, pokażę, że ten podzbiór spełnia aksjomat sandwicza, czyli że:

a o y o b = c

ma jednoznaczne rozwiązanie y.

• Rozumiem. Aksjomatycznie postępujesz odwrotnie niż wcześniej. Wcześniej podałeś aksjomat sandwicza i pokazałeś, że prowadzi on do istnienia odwrotności. Teraz zakładasz, że wszystkie elementy zbioru mają odwrotności i próbujesz, wykorzystując tę własność, odzyskać aksjomat sandwicza.

• Najlepszym sposobem pokazania, że równanie ma jednoznaczne rozwiązanie, jest jego skonstruowanie. Pomnóżmy powyższe równanie po lewej stronie przez a⁻¹ i po prawej przez b⁻¹.

a⁻¹ o a o y o b o b⁻¹ = a⁻¹ o c o b⁻¹

( a⁻¹ o a ) o y o ( b o b⁻¹ ) = a⁻¹ o c o b⁻¹

y = a⁻¹ o c o b⁻¹

• Zatem y rzeczywiście jest rozwiązaniem równania:

a o y o b = c

Wprowadzając skonstruowane rozwiązanie, mamy:

a o ( a⁻¹ o c o b⁻¹ ) o b = c

...W ten sposób przyjmujemy możliwość manipulowania nawiasami, uogólniając łączność. Założyliśmy (to jeden z aksjomatów), że można izolować dwa elementy w sekwencji operacji:

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

Chodzi o pokazanie, że można umieścić trzy elementy między dwoma nawiasami. Ale to zaakceptujemy bez dowodu.

Zastosowania:

...Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych z mnożeniem x jako działaniem składania. Jest ono wewnętrzne, ale nie jest grupą zgodnie z tym nowym zestawem aksjomatów. Rzeczywiście, równanie definiujące element e:

e o e = e

ma dwa rozwiązania:

e = +1 i e = -1

...Rozważmy wcześniejszą konstrukcję. Mamy dany zbiór (liczby rzeczywiste), działanie składania, łączne (mnożenie). Ten zbiór ma element neutralny 1, który nie jest teraz definiowany jako rozwiązanie równania

e o e = e

ale jako element, który po złożeniu z każdym innym elementem zbioru (w tym z samym sobą) daje ten sam element, inaczej mówiąc – klasyczna definicja:

Dla każdego a należącego do zbioru E zachodzi:

e o a = a o e = a

Jeśli wyjdziemy z klasycznej definicji odwrotności:

a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e

...Wykazaliśmy, że podzbiór elementów mających odwrotność tworzy grupę. Zatem liczby rzeczywiste bez zera tworzą grupę.

Weźmy macierze kwadratowe rozmiaru (n,n). Posiadają one element neutralny:

z zerami poza główną przekątną, wypełnioną „1”

Macierze odwracalne tworzą grupę, którą nazywamy Grupą Liniową GL(n).

• To mi się bardzo podoba.

• Hmmm... to tylko wersja aksjomatyki klasycznej. Przedstawiłem to na konferencji epistemologicznej w Grenoble, tydzień temu.

DO WYDANIA