f5101 Analityczne przedstawienie powierzchni Boya J.P. Petit i J. Souriau .
**...**Poniżej reprodukcja notatki opublikowanej w „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris”, podpisanej przez J.P. Petit i J. Souriau, pochodzącej z 1981 roku.
**...**Ten projekt ma swoją historię. Aż do wydania mojego albumu „Topologicon” przez wydawnictwo Belin w serii „Aventures d'Anselme Lanturlu” w 1985 roku, ilustracje powierzchni Boya w publikacjach specjalistycznych były rzadkie. Czasem można było znaleźć zdjęcia modeli wykonanych z gipsu lub z drutu do ogrodzeń na kurczaki. Charles Pugh z wydziału matematyki Uniwersytetu Berkeley jest niezaprzeczalnym światowym ekspertem od drutu do ogrodzeń. To właśnie tym materiałem uzyskał znaczącą nagrodę finansową, wykonując makietę opisującą odwrócenie sfery według Bernarda Morina, które później Nelson Max digitalizował, by przekształcić je w film, który można znaleźć w każdym wydziale matematyki na świecie.
**...**Jednak uważam, że drut do ogrodzeń to materiał niewytworny, zwłaszcza dla tak wysokich tematów naukowych. Zetknąwszy się z plastycznikiem o imieniu Max Sauze, nauczyłem się techniki wykorzystującej miedziany drut, który był jednocześnie giętki i sztywny, którego Max spawał z precyzją, starając się nie przegrzewać, by nie powstawały w materiale dodatkowe naprężenia.
**...**Mój znajomy Jacques Boulier, znany jako Vasselin, był wtedy profesorem na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence. Jednego roku zaproponował mi, bym zastąpił jednego z jego kolegów, który wyjechał za granicę. Zgodziłem się i pracowałem na pół etatu razem z Sauze. W tym czasie ja wymyślałem obiekty, a Max je spawał. Nasze studenci, kręcąc się wokół nas, zaciekawieni, starali się nam naśladować. W tym roku ta część École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence stała się jakby fabryką produkcji szeregowej powierzchni matematycznych.
**...**Jeśli chcesz spróbować – nie jest to skomplikowane. Potrzebujesz rolki miedzianego drutu, o średnicy ok. 1,5 mm (nie więcej niż 2 mm), oraz nożyce do przycinania drutu. Z tymi narzędziami możesz przedstawić dwie rodziny krzywych tworzących każdą powierzchnię.
**...**Problem polega na właściwym kształtowaniu tych obiektów. W tym celu warto mieć możliwość przesuwania punktów połączeń, tam gdzie „meridiany” i „parallele” się przecinają. Dobrym rozwiązaniem jest po prostu związać dwa druty metalowe nitką do szycia. Jest to wystarczająco mocne, by obiekt utrzymał swoją formę, ale jednocześnie wystarczająco śliskie, by umożliwić deformacje i dopasowania.
**...**Tylko wtedy, gdy uważasz, że obiekt jest matematycznie zgodny z Twoimi oczekiwaniami, możesz go przekazać komuś, kto zręcznie posługuje się lutownicą srebrną i potrafi spawać, nie przegrzewając prętów – co Max robił z rzadką sztuką.
**...**Jednego dnia przyniosłem prototyp powierzchni Boya, odkrywszy, jak „meridiany” i „parallele” powinny się ułożyć. Wydawało się, że można osiągnąć, by „meridiany” wyglądały jak najbardziej jak rodzina elips.
**...**Max dokładnie skopiował ten obiekt. Wtedy udałem się do Souriau. Jego syn (który nigdy nie miał cierpliwości, by ukończyć studia fizyki) bawił się wówczas w komputerze Apple II swojego ojca. Zapytałem go:
– Jérôme, czy chciałbyś mieć publikację czystej matematyki pod swoim imieniem?
– No cóż, dlaczego nie? Kogo trzeba zabić, żeby to osiągnąć?
– Nikogo. Oto ten obiekt. Weź linijkę kątową, zmierz te elipsy i spróbuj stworzyć półempiryczne przedstawienie tej powierzchni.
– Możemy spróbować. Daj...
**...**Dwa dni później było gotowe. Artykuł został szybko zaakceptowany w „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris” i opublikowany pod naszymi imionami: J.P. Petit i J. Souriau.
**...**Ale ponieważ ojciec nazywa się Jean-Marie, a syn Jérôme, wszyscy matematycy są przekonani, że to wspólna praca, którą wykonalibyśmy razem – ojciec Souriau i ja.
**...**Wykreślona na komputerze powierzchnia za pomocą prostego programu BASIC z kilku linii zaskoczyła wielu matematyków, którzy spodziewali się czegoś bardziej skomplikowanego. Sprawa miała nieprzyjemne konsekwencje. Matematyk Bernard Morin miał wówczas doktoranta, Apéry, syna Apéry-père, autora niezwykłego twierdzenia mówiącego, że suma sześcianów liczb całkowitych jest liczbą niewymierną. W tym kontekście...
**...**Nie wiedziałem o tym. Nasz postęp bardzo zaniepokoił Morina, zwłaszcza gdy wtedy naiwnie powiedziałem mu, że ta metoda pozwoli opisać powierzchnię z czterema uchemi, która uczyniła go sławnym – tę, którą Pugh zbudował z drutu do ogrodzeń, a następnie digitalizował Max itd.
Morin zmarszczył brwi:
– Nie, to niemożliwe!
**...**To zobaczymy później. Nadal jestem przekonany, że to nieprawda. Ale ta uwaga była odpowiednikiem słynnej repliki Archimedesa rzekomej rzymskiemu żołnierzowi, który przeszkadzał mu w rozmyślaniach – Noli tangere circuleos meos!
Po francusku: „Nie dotykaj moich okręgów!”
Tutaj raczej brzmiało: „Nie dotykaj moich elips!”
**...**Później Apéry wykorzystał moje odkrycie, że można wyposażyć powierzchnię Boya w układ elipsoidalnych meridianów, by stworzyć pierwsze równanie implikowane tego obiektu:
f(x, y, z) = 0
**...**Morin, wściekły na to, że pojawiam się jako „wyrwa” w jego własnych pracach matematycznych, nakazał Apéry’emu podkreślić w doktoracie, że to Sauze wymyślił pomysł z elipsami. Max nie zaprzeczał, ale to nieprawda. Dowodem jest moja piwnica: makietę, którą przyniosłem do Maxa, by ją poprawnie wykonać.
**...**W końcu wszystko to jest dość absurdalne. Ta anegdota ma pokazać, że matematycy nie są mądrzejsi niż fizycy.
**...**Polytechnicien Colonna, pionier w zakresie grafiki komputerowej, wykorzystał nasze równania bez wzmianki o ich pochodzeniu. Ale jest jeden zabawny szczegół: jeśli na ekranie zobaczysz obrazy powierzchni Boya, a to „nasza”, to nieuchronnie zauważysz trzy delikatne „zagięcia” blisko bieguna. Błąd dopasowania równań. Jérôme, syn Souriau, zrobił to pośpiesznie, a ostatni lekki uderzenie żelazkiem w pobliżu bieguna byłby niepozostawiał. Wciąż można to zrobić, jeśli kto chce.
**...**Ta historia powierzchni Boya nie jest jeszcze zakończona. Aby być kompletnym, wspomnijmy o jednej osobie: Carlo Bonomi, włoskim miliarderze. Poznałem go podczas ekspedycji do Trójkąta Bermudzkiego (ale to zupełnie inna historia). Płynęliśmy wówczas szybko na jego jachcie, zimnym i luksusowym, szukając zatopionej piramidy, o której wspominał Charles Berlitz w jednej ze swoich książek. Piramidy nie znaleźliśmy, a ledwo nie zostaliśmy pożartymi przez liczne rekinie, które nawiedzały te miejsca. Jeśli masz atlas, to miejsce, gdzie miała się znajdować ta przeklęta „Piramida Atlantycka”, leży na południowym zachodzie od rafy o nazwie Cay Sal Balk, pięćdziesiąt mil na południe od Kuby.
**...**Miedzy nurkowaniami i kolacjami z czerwonej ikry, zaproponowałem Bonomiemu finansowanie intensywnej produkcji powierzchni Boya. Mu się podobało, a sprawa miała dalsze rozwinięcie. Powiedzmy, że powierzchnia Boya ozdabiająca salę matematyki w Palais de la Découverte w Paryżu została zapłacona przez Bonomi i wykonana przez Sauze. Finansista planował wystawę, w której obiekty byłyby wykonywane z pełnej masy złota. Ale sprawa nie miała dalszego rozwoju. Zaskoczony jego długim milczeniem, zadzwoniłem do jego biur w Mediolanie. Niestety, zaangażowany w skandal loży P2, został aresztowany, a jego zainteresowanie topologią ucierpiało nieodwracalnie.
**...**Powierzchnia dwuwarstwowa powierzchni Boya, obraz płaszczyzny rzutowej P², to sfera S² (patrz „Topologicon”). Pugh zbudował tę powierzchnię z dwóch warstw drutu do ogrodzeń – obiekt w każdym aspekcie niezwykły, choć muszę przyznać, że osobiste preferencje mają dla mnie miedziany drut i przedstawienie „meridiany-paralele”. Ale nawet w matematyce czystej:
– De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Zanim przedstawię notatkę, ostatnia anegdota. Charles Pugh zbudował więc siedem modeli z drutu do ogrodzeń, co przyniosło mu ważną nagrodę, opisując kolejne etapy odwrócenia sfery, o których będzie mowa, gdy znajdę pięć minut, by to umieścić na stronie, i które zawieszone były na suficie stołówki wydziału matematyki Uniwersytetu Berkeley.
**...**Tak więc matematycy ze świata przyjeżdżali pielgrzymkami, by zachwycać się tą niezwykłą sekwencją. Jednak jednej nocy modele zostały skradzione, a nikt nie wie, co stało się z tymi siedmioma obiektami, które są w każdym razie niemożliwe do sprzedaży. Kto by przyjął taką transakcję? Chyba że bogaty amator, częściowo esteta, częściowo matematyk, finansował tę operację, by przechować je w zabezpieczonej piwnicy, ciesząc się jedynym prawem, by oglądać ósmą czudowność świata, nawet jeśli została stworzona z drutu do ogrodzeń.
**...**Pugh, mimo doskonałej znajomości materiału, nie miał odwagi, by rozpocząć nową serię.
**...**Jak już wspomnieliśmy na początku strony, życie samego Werner Boya nadal pozostaje tajemnicą. Po wynalezieniu powierzchni, której nazwisko mu przypisało, fizycznie zniknął po opuszczeniu uczelni. Mimo intensywnych poszukiwań Hilberth nie mógł go odnaleźć, a nawet miejsce jego pochówku pozostaje nieznane.
**...**Wróćmy do matematyki. Notatka poniżej jest stosunkowo łatwa do przeczytania. Z formuł 1 do 8 każdy wybudzony licealistę może stworzyć piękne obrazy i sprawdzić, czy przekroje zgadzają się z rysunkiem 5.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 października 1981), Seria 1 – 269
GEOMETRIE. – Analityczne przedstawienie powierzchni Boya. Notatka Jean-Pierre Petit i Jérôme Souriau, przedstawiona przez André Lichnérowicz.
Przedstawiamy analityczne przedstawienie powierzchni Boya, pozwalające na jej wykreślenie.
1. WPROWADZENIE.
**...**Powierzchnia wynaleziona w 1901 roku przez matematyka Werner Boya, ucznia Hilbertha, jest dobrze znana wśród matematyków. Może pełnić kluczową rolę w odwróceniu sfery (patrz [1] i [2]).
**...**W 1979 roku (J.P.P.) zbudował makietę z drutu metalowego, wykazując położenie linii meridianów powierzchni. Druga praca wykonana w 1980 roku wraz z rzeźbiarzem Maxem Sauze pozwoliła na odtworzenie drugiej makietki, gdzie krzywe znajdowały się w płaszczyznach i wydawały się zbliżone do elips. Z takiej makietki wydawało się możliwe stworzenie przedstawienia analitycznego powierzchni o topologii powierzchni Boya, której meridiany byłyby elipsami przechodzącymi przez jeden biegun.
2. JAK WYTWORZYĆ POWIERZCHNIĘ BOYA Z ELIPS.
**...**Ustawmy biegun w początku układu współrzędnych. W tym punkcie powierzchnia będzie styczna do płaszczyzny (XOY). Będzie miała oś OZ jako oś symetrii trójwymiarowej (patrz rysunek 1). Krzywe meridianowe są więc elipsami leżącymi w płaszczyznach Pm. Niech OX1 będzie przecięciem płaszczyzny Pm z płaszczyzną XOY. Oznaczmy przez m kąt (OX, OX1). W tej płaszczyźnie Pm umieśćmy drugą oś OZ1 prostopadłą do OX1. Oznaczmy przez a kąt (OZ, OZ1).
Rys. 1 i Rys. 2
**...**Pierwszym parametrem tej reprezentacji analitycznej będzie kąt m. Kąt a traktujemy jako funkcję m (będzie ona określona później). W płaszczyźnie Pm narysujemy teraz elipsę styczną do OX1 w punkcie O (patrz rysunek 2). Weźmiemy osie tej elipsy równoległe do dwusiecznych kąta X1OZ1. Oznaczmy przez A(m) i B(m) wartości osi tej elipsy. Elipsa Em zostanie wygenerowana przez drugi wolny parametr q.
**...**Podsumowując, otrzymamy współrzędne X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) punktu na powierzchni.
**...**W tym podejściu półempirycznym pomiary wykonane przez (J.S.) na makiecie pozwoliły na przybliżenie funkcji a(m), A(m) i B(m). Powierzchnia została następnie wykreślona na komputerze „Apple-II”, a otrzymane przekroje dla Z = stała pozwoliły potwierdzić tożsamość topologiczną z powierzchnią Boya. Uzyskano ją jedynie kosztem eksperymentacji numerycznej (J.S.), która pozwoliła wyeliminować parzyste pary osobliwości (pojawienie się par punktów cuspidałnych).
**...**Zdecydowaliśmy się przyjąć: (1) A(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)
(3)
**...**W układzie X1 O Z1 współrzędne środka elipsy Em są: (4)
(5)
**...**W tym samym układzie współrzędne punktu na elipsie są dane przez: (6)
(7)
a współrzędne x, y, z dane są przez:
(8)
