f5101 Analityczne przedstawienie powierzchni Boya J.P. Petit i J. Souriau .
**...**Poniżej reprodukcja notatki opublikowanej w „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris”, podpisanej przez J.P. Petit i J. Souriau, pochodzącej z 1981 roku.
**...**Ten projekt ma swoją historię. Aż do wydania mojego albumu „Topologicon” przez wydawnictwo Belin w serii „Aventures d'Anselme Lanturlu” w 1985 roku, przedstawienia powierzchni Boya w publikacjach specjalistycznych były rzadkie. Spotykało się tu i ówdzie zdjęcia modeli wykonanych z gipsu lub z drutu do klatki dla kur. Charles Pugh z wydziału matematyki Uniwersytetu Berkeley jest niezaprzeczalnym światowym ekspertem od drutu do klatek. To właśnie tym materiałem uzyskał on znaczącą nagrodę finansową, wykonując makietę opisującą odwrócenie sfery według Bernarda Morina, które następnie zostały digitalizowane przez Nelsona Maxa, by zostać przekształcone w film, który można znaleźć w każdym wydziale matematyki na świecie.
**...**Jednak uważam, że drut do klatek to materiał niewyrazisty, szczególnie dla tak wysokich tematów naukowych. Poznając plastycznika o imieniu Max Sauze, nauczyłem się techniki wykorzystywania miedzianego drutu, który był zarówno elastyczny, jak i sztywny. Max zręcznie spajał go, starając się nie przegrzewać, by nie powstawały w materiale niepożądane naprężenia.
**...**Mój przyjaciel Jacques Boulier, znany jako Vasselin, był wtedy profesorem na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence. W jednym roku zaproponował mi, bym zastąpił jednego z jego wykładowców, który wyjechał za granicę – zgodziłem się i prowadziłem zajęcia na pół etatu razem z Sauze. Gdy ja wymyślałem przedmioty, Max je spajał. Nasze studenci, kręcąc się wokół nas, zaciekawieni, starały się nam naśladować. W tym roku ta część École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence stała się jakby fabryką produkcji szeregowej powierzchni matematycznych.
**...**Jeśli chcesz spróbować, nie jest to trudne. Potrzebujesz rolki miedzianego drutu, powiedzmy o średnicy 1,5 mm, maksymalnie 2 mm, oraz nożyce do cięcia drutu. Z tymi narzędziami możesz wykonać obie rodziny krzywych tworzących każdą powierzchnię.
**...**Problem polega na odpowiednim kształtowaniu tych przedmiotów. Dobre jest możliwość przesuwania punktów połączeń, tam gdzie „meridiany” i „parallele” się przecinają. Dobrym rozwiązaniem jest po prostu związek dwóch drutów nitką do szycia. Jest to wystarczająco mocne, by przedmiot miał stałość, ale wystarczająco śliskie, by umożliwić deformacje i dopasowania.
**...**Tylko wtedy, gdy uznasz, że przedmiot jest matematycznie zgodny z Twoimi oczekiwaniami, możesz go przekazać osobie, która zręcznie posługuje się lutownicą srebrną i potrafi spajać, nie przegrzewając prętów – co Max robił z wyuczonym sztuki.
**...**Jednego dnia przyniosłem prototyp powierzchni Boya, odkrywszy, jak „meridiany” i „parallele” powinny się ułożyć. Wydawało się, że można osiągnąć, by „meridiany” wyglądały jak najbardziej jak rodzina elips.
**...**Max dokładnie skopiował ten przedmiot. Następnie udałem się do Souriau. Jego syn (który nigdy nie miał cierpliwości, by ukończyć studia fizyki) bawił się komputerem Apple II swojego ojca. Zapytałem go:
-
Jérôme, czy chciałbyś mieć publikację czystej matematyki pod swoim imieniem?
-
Cóż, dlaczego nie? Kogo trzeba zabić, żeby to osiągnąć?
-
Nikogo. Patrz na ten przedmiot. Weź linijkę kątową, zmierz te elipsy i spróbuj stworzyć półempiryczne przedstawienie tej powierzchni.
-
Można spróbować, daj...
**...**Dwa dni później było gotowe. Artykuł został szybko zaakceptowany w „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris” i opublikowany pod naszymi imionami: J.P. Petit i J. Souriau.
**...**Ale skoro ojciec nazywa się Jean-Marie, a syn Jérôme, wszyscy matematycy są przekonani, że to wspólna praca, którą wykonalibyśmy razem – ojciec Souriau i ja.
**...**Wykreślony na komputerze obraz powierzchni za pomocą prostego programu BASIC z kilku linijek zaskoczył wielu matematyków, którzy spodziewali się czegoś znacznie bardziej skomplikowanego. Sprawa miała nieprzyjemne konsekwencje. Matematyk Bernard Morin miał wtedy doktoranta, Apéry, syna Apéry-père, autora niezwykłego twierdzenia, że suma sześcianów liczb całkowitych jest liczbą niewymierną. W tym i tamtym...
**...**Nie wiedziałem o tym. Nasz postęp bardzo zaniepokoił Morina, zwłaszcza gdy powiedziałem mu wtedy naiwnie, że ta metoda pozwoli opisać powierzchnię czterokrzyżową, która uczyniła go sławnym – tę, którą Pugh zbudował z drutu do klatek, a następnie digitalizował Max itd.
Morin zmarszczył brwi:
- Nie, to niemożliwe!
**...**To zobaczymy później. Nadal jestem przekonany, że to nieprawda. Ale ta uwaga była odpowiednikiem słynnej repliki Archimedesa do rzymskiego żołnierza, który przeszkadzał mu w rozmyślaniach – Noli tangere circuleos meos!
Po francusku: „Nie dotykaj moich okręgów!”
Tutaj raczej było: „Nie dotykaj moich elips!”
**...**Później Apéry wykorzystał moje odkrycie, że można wyposażyć powierzchnię Boya w układ elipsoidalnych meridianów, by stworzyć pierwsze równanie implikowane tego obiektu:
f(x,y,z) = 0
**...**Morin, wściekły, że widział mnie jako niepokojącego elementu w jego własnych pracach matematycznych, nakazał Apéry'emu podkreślić w doktoracie, że to Sauze wymyślił pomysł z elipsami. Max tego nie zaprzeczył, ale to nieprawda. Dowodem jest moja piwnica: makietę, którą przyniosłem do Maxa, by ją dopracował.
**...**W końcu wszystko to jest dość śmieszne. Ta anegdota ma pokazać, że matematycy nie są mądrzejsi niż fizycy.
**...**Polytechnicien Colonna, pionier w dziedzinie grafiki komputerowej, wykorzystał nasze równania bez żadnego odniesienia do ich pochodzenia. Ale istnieje zabawny szczegół: jeśli widzisz na ekranie obrazy powierzchni Boya, a to „nasza”, to nieuchronnie pojawi się trzy lekkie „zgięcia” blisko bieguna. Błąd dopasowania równań. Jérôme, syn Souriau, zrobił to pośpiesznie, a ostatni delikatny uderzenie żelazkiem w pobliżu bieguna byłby niezbyt zbędne. To nadal można zrobić, jeśli kto chce.
**...**Ta historia powierzchni Boya nie jest jeszcze zakończona. Aby być kompletnym, wspomnijmy o jednej postaci: Carlo Bonomi, włoskim miliarderze. Poznałem go podczas wyprawy do Trójkąta Bermudzkiego (ale to zupełnie inna historia). Płynęliśmy wtedy szybko na jego jachcie, z rósztym luksusem, który mógłby zabraknąć tchu, szukając zaginionej piramidy, o której wspominał pewien Charles Berlitz w jednym ze swoich książek. Piramidy nie znaleźliśmy, a ledwo nie zostaliśmy zjedzeni przez liczne rekinie, które nawiedzały te miejsca. Jeśli masz atlas, to miejsce, gdzie miała się znajdować ta przeklęta „Atlantycka Piramida”, leży na południowym zachodzie od rafy o nazwie Cay Sal Balk, pięćdziesiąt mil na południe od Kuby.
**...**Miedzy nurkowaniami i kolacjami z ikry, zaproponowałem Bonomiemu finansowanie intensywnej produkcji powierzchni Boya. Mu się spodobało, a sprawa miała dalszy rozwój. Powiedzmy, że powierzchnia Boya, która ozdabia salę matematyki w Palais de la Découverte w Paryżu, została zapłacona przez Bonomi i wykonana przez Sauze. Finansista planował wystawę, wykonując przedmioty z pełnego złota. Ale sprawa nie miała dalszego rozwoju. Zaskoczony jego długim milczeniem, zadzwoniłem do jego biur w Mediolanie. Niestety, zaangażowany w skandal loży P2, został aresztowany, a jego zainteresowanie topologią ucierpiało nieodwracalnie.
**...**Powierzchnia dwuwarstwowa powierzchni Boya, obraz płaszczyzny rzutowej P², to sfera S² (patrz „Topologicon”). Pugh zbudował ten pokrycie z dwóch warstw drutu do klatek, przedmiot w każdym względzie znaczny, choć – jak powiedziałem – wolę osobistym miedziany drut i przedstawienie „meridiany-paralele”. Ale nawet w matematyce czystej:
- De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Zanim przedstawię notatkę, ostatnia anegdota. Charles Pugh zbudował więc siedem modeli z drutu do klatek, co przyniosło mu znaczną nagrodę, opisując kolejne etapy odwrócenia sfery, o których będzie mowa, gdy znajdę pięć minut, by to umieścić na stronie, i które zawieszone były na suficie stołówki wydziału matematyki Uniwersytetu Berkeley.
**...**Matematycy ze świata przyjeżdżali więc pielgrzymkami, by zachwycać się tą niezwykłą sekwencją. Jednak jednej nocy modele zostały skradzione, a nikt nie wie, co stało się z tymi siedmioma przedmiotami, które były przecież całkowicie niemożliwe do sprzedaży. Który kolekcjoner przyjąłby taką transakcję? Chyba że bogaty amator, częściowo esteta, częściowo matematyk, finansował operację, by przechować je w skrytce zabezpieczonej, ciesząc się jedynie tym, że jest jedynym człowiekiem, który może oglądać ósmą czudowność świata, nawet jeśli została wykończona z drutu do klatek.
**...**Pugh, mimo doskonałej znajomości materiału, nie miał odwagi, by rozpocząć nową serię.
**...**Jak już wspomnieliśmy na początku strony, życie samego Werner Boya nadal pozostaje tajemnicą. Po wynalezieniu powierzchni, do której przywiązał swoje imię, całkowicie zniknął z życia po opuszczeniu uczelni. Mimo poszukiwań Hilberth nie mógł odnaleźć jego śladu, a nawet miejsce jego pochówku pozostaje nieznane.
**...**Wróćmy do matematyki. Notatka poniżej jest stosunkowo łatwa do przeczytania. Z formuł 1 do 8 każdy uczeń liceum, który się obudził, może stworzyć piękne obrazy i sprawdzić, czy przekroje zgadzają się z rysunkiem 5.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 października 1981) Seria 1 – 269
GEOMETRIA. – Analityczne przedstawienie powierzchni Boya. Notatka Jean-Pierre Petit i Jérôme Souriau, przedstawiona przez André Lichnérowicz.
Przedstawiamy analityczne przedstawienie powierzchni Boya, umożliwiające jej wykreślenie.
1. WSTĘP.
**...**Powierzchnia wynaleziona w 1901 roku przez matematyka Werner Boya, ucznia Hilbertha, jest dobrze znana wśród matematyków. Może pełnić kluczową rolę w odwróceniu sfery (patrz [1] i [2]).
**...**W 1979 roku (J.P.P.) zbudował makietę z drutu metalowego, wykazując położenia linii meridianowych powierzchni. Druga praca przeprowadzona w 1980 roku wspólnie z rzeźbiarzem Maxem Sauze pozwoliła na odtworzenie drugiej makietki, gdzie krzywe były umieszczone w płaszczyznach i wydawały się zbliżone do elips. Na podstawie takiej makietki wydawało się możliwe stworzenie przedstawienia analitycznego powierzchni o topologii powierzchni Boya, której meridiany byłyby elipsami przechodzącymi przez jeden biegun.
2. JAK WYTWORZYĆ POWIERZCHNIĘ BOYA ZA POMOCĄ ELIPS.
**...**Ustawmy biegun w początku układu współrzędnych. W tym punkcie powierzchnia będzie styczna do płaszczyzny (XOY). Będzie miała oś OZ jako oś symetrii trójkrotnej (patrz rysunek 1). Krzywe meridianowe są więc elipsami leżącymi w płaszczyznach Pm. Niech OX1 będzie rzutem płaszczyzny Pm na płaszczyznę XOY. Oznaczmy przez m kąt (OX, OX1). W tej płaszczyźnie Pm umieśćmy drugą oś OZ1 prostopadłą do OX1. Oznaczmy przez a kąt (OZ, OZ1).
Rys. 1 i Rys. 2
**...**Pierwszym parametrem tej reprezentacji analitycznej będzie kąt m. Kąt a traktujemy jako funkcję m (będzie ona określona później). W płaszczyźnie Pm narysujmy teraz elipsę styczną do OX1 w punkcie O (patrz rysunek 2). Weźmiemy osie tej elipsy równoległe do dwusiecznych kąta X1OZ1. Oznaczmy przez A(m) i B(m) wartości osi tej elipsy. Elipsa Em będzie generowana przez drugi wolny parametr q.
**...**Podsumowując, otrzymamy współrzędne X(m,q), Y(m,q), Z(m,q punktu bieżącego powierzchni.
**...**W tej podejściu półempirycznym pomiary wykonane przez (J.S.) na makiecie pozwoliły przybliżyć funkcje a(m), A(m) i B(m). Powierzchnia została następnie wykreślona na komputerze „Apple-II”, a otrzymano przekroje dla Z = stała. Analiza tych przekrojów pozwoliła potwierdzić tożsamość topologiczną z powierzchnią Boya. Uzyskano ją jedynie kosztem eksperymentacji numerycznej (J.S.), która pozwoliła wyeliminować niepożądane pary osobliwości (powstawanie par punktów kuspidalnych).
**...**Zdecydowaliśmy się przyjąć: (1) A(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)
(3)
**...**W układzie X1 O Z1 współrzędne środka elipsy Em są: (4)
(5)
**...**W tym samym układzie współrzędne punktu bieżącego elipsy to: (6)
(7)
a współrzędne x, y, z dane są przez:
(8)
