Astrofizyka i układy N-ciał

Projekt Epistémotron 1

Ogólne informacje o problemie N-ciał. Niektóre pojęcia z teorii kinetycznej gazów

Astrofizyka to w zasadzie nauka, której celem jest zrozumienie zjawisk zachodzących w kosmosie na różnych skalach. Na przykład sposób powstawania układu słonecznego, co samo w sobie jest fascynującym dziełem, które nigdy wcześniej nie zostało wykonane. Będzie to jednym z celów realizowanych w projekcie Epistémotron, a te prace będą konkretnym ugruntowaniem teorii opracowanej przez matematyka Jean-Marie Souriau.

Na większej skali znajdujemy dynamikę galaktyczną, która do tej pory była całkowicie nieprzezroczysta. Nie mamy żadnego modelu galaktyki. Nie wiemy, jak powstają te obiekty ani jak się rozwijają. Z czysto teoretycznego punktu widzenia te „układy N-ciał, samograwitujące” są opisywane przez układ równań różniczkowych (Vlasov plus Poisson). Do tej pory te podejścia (które obecni „teoretycy” nawet nie znają) również napotkały na ściany.

Rozwiązanie wydaje się polegać na nowym spojrzeniu na kosmos, będącym bliźniaczym. Ciekawym czytelnikom znajdzie on wstęp do tego tematu w dokumencie, który znajduje się na moim serwerze od wielu lat. W praktyce oznacza to rozważenie, że wszechświat ma dwa składniki:

• Cząstki o energii dodatniej, nasze
• Cząstki o energii ujemnej, bliźniacze.

Ponieważ E = m c², cząstki o energii ujemnej zachowują się tak, jakby miały masę ujemną. Otrzymamy więc następujący schemat dynamiki:

• Dwie masy dodatnie przyciągają się według prawa Newtona
• Dwie masy ujemne przyciągają się według prawa Newtona
• Dwie masy o przeciwnych znakach odpychają się według „anty-Newtona”

Dlaczego nie obserwujemy optycznie cząstek o energii ujemnej? Ponieważ interakcja między dwiema cząstkami o przeciwnych energiach poprzez interakcję elektromagnetyczną jest po prostu niemożliwa. Jak pokazał niedawno młody i błyskawiczny badacz, według teorii pól kwantowych, jeśli te dwie cząstki oddziaływałyby w ten sposób, musiałyby wymieniać „cząstki wirtualne” lub „nośniki”, które są fotonami o energii dodatniej i fotonami o energii ujemnej. Zajęcie się wszystkimi możliwymi interakcjami poprzez całkę po ścieżkach Feynmana prowadzi w tym przypadku do wyniku... zerowego. Interakcja jest więc po prostu niemożliwa, a cząstki bliźniacze pozostają dla nas niewidoczne. Mogłyby również przemieszczać się przez nas bez żadnej interakcji poza grawitacją (lub raczej antygrawitacją). Ta idea jest kluczem do rozwiązywania wielu dużych problemów współczesnej astrofizyki i kosmologii (efekt brakującej masy, krzywe rotacji galaktyk, powstawanie galaktyk, początek struktury wielkoskalowej wszechświata). Czytelnik znajdzie uproszczoną prezentację tych idei w mojej książce wydanej w 1997 roku:

Szczegółowe informacje, w tym odniesienia do niestabilności grawitacyjnej, można znaleźć w mojej komiksie „Miliard Milionów Słońc”, dostępnej na CD-ROM „Lanturlu1” w formacie PDF do druku (można zakupić wszystkie 18 komiksów wysyłając 16 euro do J.P. PETIT, u Jacques Legalland, Lou Garagai, 13770 Venelles.

W kosmosie działają różne mechanizmy poza grawitacją. Ale w dalszych rozważaniach skupimy się wyłącznie na tym jednym mechanizmie, pomijając wymianę promieniowania i produkcję energii przez fuzję. Badane systemy będą „układami N-ciał”, samograwitującymi, pływającymi w własnym polu grawitacyjnym. Widzimy, że aby zrozumieć zachowanie takiego systemu, trzeba krok po kroku analizować ruch każdej „mas punktowej” (o masie dodatniej lub ujemnej), sumując wektorowo wszystkie siły grawitacyjne, przyciągające i odpychające, pochodzące od pozostałych N-1 cząstek. Czas obliczeń będzie więc rosnąć brutalnie według N(N-1) lub N², jeśli N jest duże, co zawsze będzie miało miejsce.

W układzie planetarnym lub protoplanetarnym liczba obiektów jest stosunkowo mała i może być obsługiwana przez pojedynczy komputer „domowy”. Nie jest to jednak możliwe dla galaktyki. Nasza galaktyka składa się z setki do dwóch setek miliardów gwiazd, które można traktować jako punktowe masy. Ta masa gwiazd może być traktowana jako gaz, którego cząsteczkami są same gwiazdy, traktowane jako proste punktowe masy. Aby jak najbardziej zbliżyć się do „rzeczywistości”, należy rozważyć obsługę jak największej liczby punktowych mas. Te techniki zostały wdrożone już na początku lat sześćdziesiątych. Na szczęście szybkość komputerów i ich moc obliczeniowa nieustannie rosła. Mogłem więc przeprowadzić obliczenia na początku lat osiemdziesiątych na dużym komputerze, który w centrum niemieckim DAISY (akcelerator cząstek) zarządzał danymi eksperymentów. W tamtym czasie taka maszyna, uznawana za wyjątkowo potężną, mogła obsłużyć 5000 punktowych mas. Czytelnik znajdzie w powyższej książce kluczowe wyniki uzyskane podczas tej eksperymentacji numerycznej.

Okazuje się, że informatyka dokonała takich postępów w ciągu dwunastu lat, że te problemy mogą teraz być rozwiązywane na „domowych” maszynach dzięki znacznemu wzrostowi ich szybkości obliczeniowej (zegar w 2 gigahercach) i pamięci operacyjnej. Czytelnicy, jak Olivier le Roy, mogli więc odnaleźć niektóre istotne, proste aspekty, takie jak mechanizm niestabilności grawitacyjnej, programując własne maszyny w języku C++. Gdy w 2001 roku zrezygnowałem całkowicie z astrofizyki z powodu zmęczenia, te inicjatywy indywidualne skłoniły mnie do spróbowania ponownego uruchomienia badań opartych na działaniach... amatorów. W końcu, jak zauważył akademik i astrofizyk Jean-Claude Pecker po konferencji, którą wygłosiłem 25 lutego w College de France, jest zdumiewające i żałosne, że zespoły posiadające odpowiednie środki nie przyjęły tej idei, kontynuując bezradne eksperymenty z „chłodną ciemną materią”.

Czuję się więc zobowiązany dostarczyć wszystkim tym ludziom „chętnym do walki” wszystkich niezbędnych elementów, aby mogli postępować w tej drodze. Wiele obliczeń można wykonać na jednym komputerze z liczbą punktów mniejszą niż 2000–5000. To ogranicza pracę do symulacji dwuwymiarowych. W trzech wymiarach nie można traktować zbioru kilkudziesięciu tysięcy punktów jako „gazu”. Poza tym wyłania się fantastyczny projekt: połączenie N komputerów, wykorzystując technikę „obliczeń współdzielonych”. To będzie skomplikowany problem rozwojowy, czysta informatyka.

Zarządzanie problemem N-ciał.

Mamy punktowe masy i warunki początkowe, które sprowadzają się do sześciu liczb w trzech wymiarach (trzy współrzędne położenia i trzy składowe prędkości) oraz czterech w dwóch wymiarach (dwie współrzędne położenia i dwie składowe prędkości). Musimy również określić przestrzeń obliczeniową i zarządzać warunkami brzegowymi (komputer nie potrafi obsługiwać przestrzeni... nieskończonej). Następnie musimy jak najlepiej dobrać przedział obliczeniowy, krok czasowy Dt. Zaczniemy od bardzo uproszczonego obrazu. Wyobraźmy sobie przestrzeń obliczeniową 2D, nieskończoną. To, co matematycy nazywają R2. W tej przestrzeni umieszczamy N punktów z początkowymi położeniami i prędkościami. Weźmy jedną z cząstek (oznaczoną na czarno) i obliczmy wypadkową siłę (Fx, Fy, Fz) działającą na nią przez pozostałe N-1 cząstki. Następnie obliczymy nowe położenie i nową prędkość tej cząstki za pomocą rozwinięcia Taylora.

Natychmiast pojawia się problem: jak wybrać przedział czasowy Dt? Rozumowanie jest proste. Nie możemy zarządzać jednocześnie ruchem wszystkich N cząstek. Musimy „zamrozić” pole grawitacyjne na tym czasie Dt. Wykonajmy krok obliczeniowy i narysujmy trajektorie cząstek w tym „zamrożonym” polu, używając powyższego rozwinięcia Taylora. Ich ruch zmieni na końcu lokalną dystrybucję pola. Obliczenia będą poprawne, jeśli pole „nie zostanie zbyt mocno zmienione”. Na oko dystrybucja mas „nie będzie zbyt się zmieniać” w tym czasie Dt. Podajmy obraz 2D. Wyobraźcie sobie, że umieszczacie ołowiane kule na materacu piankowym. Zmienią one jego powierzchnię. Zbiór kul utworzy lokalnie zagłębienie. Mamy materialną reprezentację pola grawitacyjnego w postaci powierzchni. To również dobre obrazowanie dydaktyczne systemu „samograwitującego”, ponieważ kule poruszają się po powierzchni, którą same kształtują.

Analogią obliczeń będzie stworzenie innej „mapy”, obliczając przesunięcie wszystkich kul na tym zamrożonym, sztywnym materacu piankowym. Otrzymamy inną dystrybucję kul, którą następnie przyłożymy do identycznego materaca piankowego. Zacznie się wypływać. Uznajemy, że krok obliczeniowy jest wystarczająco mały, jeśli globalnie powierzchnie są zbliżone.

Zauważmy, że ten sam kryterium zastosowalibyśmy, gdybyśmy rozważali zbiór pięciu gwiazd tworzących mały skupisko, powiązany grawitacyjnie. W chwili t tworzą one pole grawitacyjne g(r,t). Możemy obliczyć przesunięcie każdej z nich przez czas i ponownie obliczyć to samo pole g'(r + Dt). Obliczenia będą poprawne, jeśli w tym przedziale czasu oba pola będą „dostatecznie zbliżone”.

Oczywiście, im mniejszy będzie krok, tym szybsze będą obliczenia, ale tym większa będzie błąd. W dalszych rozważaniach skupimy się na ewolucji systemów, gdzie N będzie duże i nawet jak największe. Minimalnie kilka tysięcy punktowych mas. Gdy będzie możliwe pracę w „obliczeniach współdzielonych”: kilka milionów punktowych mas (co otworzy nam drzwi do trójwymiarowej symulacji). Natychmiast widać, co celujemy: osiągnąć możliwość zarządzania tym zbiorem punktowych mas jak gazem cząstek. Ta idea wydaje się intuicyjna, jeśli chodzi o masę gazu międzygwiazdowego. Ale będzie to również prawdziwe dla całego zbioru gwiazd tworzących galaktykę. Nasza galaktyka zawiera od setki do dwustu miliardów gwiazd. Dziesięć razy więcej w galaktyce eliptycznej. Na skali naszego bliskiego postrzegania nasza galaktyka wydaje się bardzo rozrzedzona. Odległości między najbliższymi gwiazdami wynoszą kilka lat świetlnych. Ale to bardzo mała odległość w skali samej galaktyki, której średnica wynosi około sto tysięcy lat świetlnych. Sto lat świetlnych to jedna tysięczna średnicy galaktyki. A taki obszar zawiera dużą liczbę gwiazd. Na skali setki lat świetlnych galaktyka wydaje się masą gazową. W przeszłości, gdy dysponowaliśmy tylko narzędziami matematycznymi, próbowaliśmy opisać te obiekty funkcjami ciągłymi.

Naturalna ewolucja układu N-ciał.

Na razie mamy przestrzeń obliczeniową... nieskończoną. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w 2D. Możesz wizualizować stan systemu na swoim ekranie. Jeśli chcesz mieć jednocześnie informacje o położeniu i prędkości, możesz na przykład przedstawić punktowe masy jako ciemne plamki, łącząc je z małym odcinkiem, który reprezentuje wektor prędkości. Choć traktujesz te obiekty jako masy punktowe, nic nie stoi na przeszkodzie, byś zdecydował się na różne rozmiary punktów, w zależności od masy. Aby być bliższym rzeczywistości, możesz zdecydować się na małe czarne konfetti, których promień rośnie jak sześcian pierwiastka z masy.

Co z układem dwuciałowym? Z góry wydaje się to układem stabilnym. Myślę, że trzeba stworzyć własne programy, by samemu manipulować zjawiskami, mieć je pod oczami. Jeśli weźmiesz dwie masy M i m bardzo różne, otrzymasz odpowiednik planety krążącej wokół gwiazdy. Przypominam, że stosunek masy Słońca (2 × 10³⁰ kg) do masy Ziemi (6 × 10²⁴ kg) wynosi 333 333, trzyset tysięcy. Skoro Jowisz jest 317 razy cięższy od Ziemi, stosunek masy Słońca do masy Jowisza wynosi około 1000.

Zalecam w tym momencie zakup słownika astronomii u Larousse, gdzie znajdziesz mnóstwo wartości dotyczących praktycznie wszystkiego.

Jeśli zaczniesz od problemu dwuciałowego z „Słońcem” i „Jowiszem”, otrzymasz niemal prawa Keplera, jeśli umieścisz gwiazdę na odpowiedniej odległości (orbity Jowisza są w pobliżu 800 000 000 km). W astronomii rozważa się w jednostkach astronomicznych (UA). Jedna UA to średnia odległość Ziemia-Słońce, czyli 150 milionów km. Promień orbity Jowisza wynosi zatem 5,2 UA.

W tych warunkach gwiazda będzie praktycznie nieruchoma, podczas gdy w układzie dwuciałowym obie krążą wokół wspólnego środka masy. Wśród ćwiczeń: zmień stosunek mas, zbliż planetę do gwiazdy. Spróbuj zrozumieć, jak to działa, zawsze mając na uwadze wybór kroku czasowego „dostatecznie małego”, aby wynik był „znaczący”. Istnieją oczywiście gotowe programy, które dają coś takiego, i to od dziesięcioleci. Ale interesujące jest tworzenie rzeczy, do których można „włożyć ręce”. Przechodzimy do układu trójciałowego i tam zachowanie się systemu drastycznie się zmienia. Te układy są niestabilne. O ile nie umieścisz dwóch małych planet na orbicie wokół gwiazdy, jeśli masy są zbliżone, obiekty wirują i w końcu jeden z trzech członków trójki zostanie wyrzucony. Możesz to łatwo odtworzyć, regulując swoje parametry. Możesz wizualizować trajektorie i wektory prędkości, tworzyć animowane pliki GIF. Jestem pewien, że jeśli ktoś to zrobi, byłbym bardzo zadowolony, by ilustrować ten kurs jego pracą, cytując go. Mogę to zrobić sam. Niestety, komputery się bardzo zmieniły w porównaniu z czasem, gdy tworzyłem zaawansowane programy wspomagane komputerowo. Ale dzisiaj, jeśli nie manipulujesz C++, jesteś tylko starym krewetkowcem. Przyznam szczerze, że wszystko zawsze pisałem w BASIC skompilowanym. Nie znam nawet Pascal! Trzeba by się do tego zabrać. Ale w tej chwili mamy dwa statki w budowie, dwa modeliki, przeznaczone do zdalnego sterowania (jeśli ktoś chce aktywnie uczestniczyć, nie ma problemu...). Jeden to statek peruwiański z 5000 lat temu, rodzaj tratwy typu Kon-Tiki z „garasami” z płetwami, a drugi próba przedstawienia statku egipskiego z Starożytnego Państwa (2300 p.n.e.). Brakuje mi czasu, by nauczyć się Pascala, więc polegę na czytelnikach, by dostarczyli ilustracje do tego kursu, ewentualnie animowane.

Układy z więcej niż dwoma ciałami są niestabilne. Dowodem na to jest fakt, że gwiazdy, które widzisz na niebie, są po połowie samotne, po połowie (w przybliżeniu) układy podwójne lub z więcej niż dwiema gwiazdami. Tylko dwa pierwsze są stabilne. Według tego, co wiemy, gwiazdy nie rodzą się pojedyncze, ale w skupiskach. Paradoksalnie, to dość nowa idea. Pamiętam uwagę, którą zrobił mi mój przyjaciel Pierre Guérin, który zmarł 15–20 lat temu:

*- Jeśli powiesz, że Słońce urodziło się w skupisku, zrobisz nieprzyjemną wizję dla astrof