univers jumeau astrophysique et cosmologie Matière fantôme matière astrophysique.6. Structure en spirale.(p3)
- Comment définir les conditions initiales pour une simulation numérique en 2D.
Construction d'une solution 2D du type Eddington pour le couple d'équations de Poisson + Vlasov.
Les solutions non uniformes (elliptiques) de l'équation de Vlasov ont été intensivement étudiées depuis longtemps en 3D. Dans ce qui suit, nous considérons des mouvements et des positions en 2D, de sorte qu'il faut construire la solution elliptique auto-consistante en 2D de l'équation de Vlasov.
Écrivons l'équation de Vlasov :
(1)
où :
(2)
f (x , y , u , v , t ) est la fonction de distribution de la vitesse. L'équation (1) est écrite en notation tensorielle dyadique, en termes de vitesse particulière (résiduelle ou thermique) C = ( u , v ).
<V> est la vitesse macroscopique. m est la masse d'une particule.
**** est le vecteur position ( x , y ).
..
Les lettres en gras représentent des vecteurs. Le dernier terme de l'équation (2) représente le produit scalaire de deux tenseurs dyadiques (voir référence [20]). Introduisons maintenant une solution 2D elliptique du type Eddington :
(3)
où C est la vitesse résiduelle, la vitesse thermique. Dans des conditions d'état stationnaire, l'équation de Vlasov devient :
(4)
En combinant avec la solution de Vlasov, on obtient :
(5)
Il s'agit d'un polynôme d'ordre trois en les composantes u et v de la vitesse thermique C. Une solution apparaît :
(6)
Alors :
(7)
À partir des termes d'ordre trois, on obtient :
(8)
À partir des termes d'ordre deux (9)
En combinant, on obtient le système suivant :
(10)
Soit :
(11)
Alors :
(12)
La fonction de distribution devient :
(13)
où C est la composante radiale de la vitesse thermique C et Cp sa composante azimutale. On obtient alors :
(14)
Dans la solution classique (tridimensionnelle) d'Eddington, on avait un ellipsoïde de vitesses dont l'axe majeur pointait vers le centre du système. Voir la figure 6.
Fig. 6 :** Ellipsoïde de vitesses correspondant** à une solution de type Eddington.
Dans la présente solution elliptique 2D du type Eddington, on obtient une ellipse de vitesses dont l'axe majeur est constant et pointe vers le centre du système. Au centre, l'ellipse de vitesses devient un cercle (distribution de Maxwell-Boltzmann en 2D de la vitesse). Comme le montrera plus loin, son axe majeur < Cv > (vitesse thermique radiale moyenne) est constant par rapport à la distance radiale v. Son axe transverse
(vitesse thermique azimutale moyenne) tend vers zéro à l'infini. Voir la figure 7.
Fig. 7 :** Évolution de l'ellipse de vitesses, dans la solution 2D du type Eddington,** en fonction de la distance au centre du système.****
Version originale (anglais)
twin universe astrophysics and cosmology Matter ghost matter astrophysics.6. Spiral structure.(p3)
- How to define the initial conditions for a 2d numerical simulation.
Building a 2d Eddington-like solution of the couple Poisson + Vlasov equations .
The non-uniform (elliptical) solutions of the Vlasov equation have been intensively studied since a long time, in 3d. In the following we deal with 2d movements and locations, so that we have to build the 2d self-consistent elliptical solution of the Vlasov equation.
Let us write the Vlasov equation :
(1)
where :
(2)
f (x , y , u , v , t ) is the distribution function of the velocity. The equation (1) is written using dyadics tensors notation, in terms of peculiar (residual or thermal) velocity C = ( u , v ).
<V> is the macroscopic velocity. m is the mass of a particle.
**** is the position vector ( x , y ).
..
The bold letters represent vectors. The last term of the equation (2) represents the scalar product of two dyadic tensors (see reference [20]). Now we introduce an elliptic Eddington-like 2d solution :
(3)
Where C is the residual, the thermal velocity. In steady-state condition, the Vlasov equation becomes :
(4)
Combining with the Vlasov solution, we get :
(5)
This is a third order polynom with respect to the component u and v of the thermal velocity C . A solution arises :
(6)
Then :
(7)
From the third order terms, we get :
(8)
From the second order terms (9)
Combining, we get the following set :
(10)
Let :
(11)
Then :
(12)
The distribution function becomes :
(13)
Where C is the radial component of the thermal velocity C and Cp its azimutal component. Then we get :
(14)
In the classical (three-dimensional) Eddington solution, we had an ellipsoïd of velocities, whose major axis pointed towards the center of the system. See figure 6.
Fig. 6 :** Ellipsoid of velocities corresponding** to an Eddington-type solution.
In the present 2d elliptic Eddindton-like solution we get a vellocity ellipse, whose major axis is constant and points towards the center of the system. At the center the velocity ellipse becomes a circle (2d Maxwell-Boltzmann distribution of the velocity). As will be shown further its major axis < Cv > (mean radial thermal velocity ) is constant versus the radial distance v . Its transverse axis
(mean azimutal thermal velocity) tends to zero at infinite. See figure 7.
Fig. 7 :** The evolution of the velocity ellipse, in the 2d Eddington-like solution,** versus distance from the center of the system.****