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Nous avons besoin de :
Actions doubles.
Nous avons construit ci-dessus une action :
(200)
et une anti-action :
(201)
La première peut faire référence à un vecteur colonne m :
(202) m' = g x m
et la seconde à un vecteur ligne n :
(203) n' = n x g-1
m appartient à un certain espace M
n appartient à un autre espace N.
Formons le scalaire :
(204) S = n m Notons que :
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
... Nous dirons que les deux actions considérées sont duales. De même, les deux espaces M et N, auxquels appartiennent m et n, sont des espaces duaux : N = M* ou M = N*
Généralement, on dit que si m est un vecteur, n est son covecteur.
Le préfixe co est caractéristique de la dualité. Comme l’a noté Souriau, la dualité existe en politique et il ajoute :
- La dualité était présente dans le marxisme-léninisme, dès le départ. Pensez au communiste et au muniste.
Adoptons une autre perspective. Supposons que nous ayons une action, et que nous voulions construire sa duale.
Schématiquement :
(206)
... Afin de former un produit scalaire avec le vecteur colonne m, n doit être un vecteur ligne. Ces deux vecteurs doivent donc être définis par le même nombre d’échelons scalaires :
(207)
puis nous cherchons l’action duale :
(208)
n' = Ag(n) de telle sorte que le produit scalaire :
(209)
reste invariant. Il faut avoir :
(210)
n' m' = n m Nous avons :
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
dont la solution est :
(213) Ag(n) = n x g-1
**Vers la construction de l’action essentielle, ou action coadjointe d’un groupe sur son espace moment **( après Souriau ).
Nous cherchons une action du groupe sur son « espace moment ». Nous allons la construire comme la duale d’une anti-action :
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
... Dans la section précédente, m était un vecteur. Mais dans (214), il s’agit d’une matrice. Nous allons prendre une matrice dépendant d’un certain nombre de paramètres : { m1 , m2 , . . . . , mn }
Nous devons imaginer un ensemble dual d’échelons scalaires : { n1 , n2 , . . . . , nn }
afin que :
(215)
Schématiquement :
(216)
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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We need :
Dual actions.
We have built, above, an action :
(200)
an anti-action :
(201)
The first can refer to any column vector m :
(202) m' = g x m
and the second to any line vector n :
(203) n' = n x g-1
m belong to a certain space M
n belongs to another space N.
Form the scalar :
(204) S = n m Notice that :
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
...We will say that the two considered actions are dual. Similarly the two spaces M and N, to which belong m and n are dual spaces : N = M* or M = N*
Usually, we say that if m is a vector, n is its covector.
The prefix co is typical of the duality. As noticed by Souriau, the duality exists in politics and he adds :
- The duality was present in the Marxism Leninism, from the begining. Think about the munist and the communist.
Take another point of view. Suppose we have one action, and we want to build its dual.
Schematically :
(206)
...In order to form a scalar product with the colum-vector m , n must be a line-vector. Then these two vector must be defined by the same number of scalars :
(207)
then we search the dual action :
(208)
n' = Ag(n) so that the scalar product :
(209)
be invariant. We must have :
(210)
n' m' = n m We have :
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
whose solution is :
(213) Ag(n) = n x g-1
**Towards building the essential action, or coadjoint action of a group on its momentum **( after Souriau ).
We search an action of the goup ont its "momentum space". We are going to built it as the dual of an anti-action :
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
...In the preceding section m was a vector. But in (214) it is a matrix. We will take a matrix, which depends on a certain number of parameters : { m1 , m2 , . . . . , mn }
We must imagine a dual set of scalars : { n1 , n2 , . . . . , nn }
so that :
(215)
Schematically :
(216)