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Quelle est la solution ?
...Si, comme le suggère J.M. Souriau, Dieu, dans sa sagesse infinie, n'avait pas créé de particules de masse et d'énergie négatives et n'avait pas empêché les physiciens d'utiliser des éléments antichrones, la théorie ne pourrait pas traiter les symétries PT et CPT.
Nous présentons une solution alternative dans :
J.P. Petit et P. Midy : "Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 4 : Le groupe jumeau. Description géométrique de l'antimatière de Dirac. Interprétations géométriques de l'antimatière après Feynman et le soi-disant théorème CPT". Physique Géométrique B, 4, 1998.
...Afin d'éviter les collisions entre particules à énergie positive et négative, nous divisons l'espace d'évolution en deux plis, formant le quotient du groupe par son sous-groupe orthochrone. Nous obtenons une géométrie jumelle.
Nous introduisons un indice de pli f = ± 1
f = +1 correspond au pli F
f = -1 correspond au pli F*.
Le groupe jumeau est :
(400)
...Il s'agit toujours d'un groupe à huit composantes. Nous voyons que les éléments ( m = -1 ), qui correspondent à la symétrie PT, s'accompagnent d'une permutation de pli : f -----> - f
...L'espace des moments est toujours composé de quatre secteurs, mais les secteurs à énergie négative correspondent aux mouvements de particules dans le pli F*.
(401)
Les symétries suivantes sont :
(402) Nous pouvons maintenant définir le nouveau "champ de jeu". (403)
Le champ de jeu : un espace à deux plis ( F** et F*) associé à un espace des moments à deux secteurs** ( E > 0** et E < 0 ).
(404)
Mouvements de la matière ordinaire. Action des éléments orthochrones du groupe, avec l = 1. Charges inchangées.
**Action coadjointe d'un élément du groupe ( **l = -1 ; m = 1 ) sur le moment associé au mouvement de la matière normale : le nouveau mouvement correspond à l'antimatière de Dirac.
...Sur la figure, la ligne M1 représente le mouvement de la matière orthochrone normale. Nous représentons des lignes droites car notre groupe ne tient pas compte des champs de force, comme les champs gravitationnels ou électromagnétiques. Il ne modélise que le comportement de particules isolées, points massiques chargés.
Nous choisissons un élément dans la zone grise, correspondant à une matrice ( l = -1 ; m = 1 ). La valeur ( l = -1 ) change les signes de tous les z i. Ils deviennent négatifs. Le nouveau chemin se situe dans le deuxième secteur, correspondant à l'antimatière. Comme l m = -1, les charges sont inversées. Mais comme le temps n'est pas inversé, l'énergie et la masse de la particule restent positives.
Ceci est une description géométrique de (l'antimatière orthochrone) après Dirac.
...Deux autres secteurs doivent être explorés. Dans le troisième, nous examinons l'effet d'un élément ( l = -1 ; m = -1 ) sur le moment et le mouvement.
( l = -1 ) inverse les {z i}. Selon notre définition géométrique, ce nouveau mouvement correspond à l'antimatière, car il a lieu dans le deuxième secteur de l'espace { z 1,z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, x, y , z , t }.
( m = -1 ) donne une symétrie PT, inverse les signes de ( x, y , z , t )
Mais ( l m = +1 ) laisse les charges inchangées.
Ceci est l'antimatière "symétrique PT", de sorte qu'il s'agit d'une description géométrique de l'antimatière après Feynman.
Le mouvement a lieu dans le deuxième secteur de l'espace, dans le pli F*.
(406)
( l = -1 ; m = -1 ) **éléments transforment le mouvement de la matière normale en mouvement d'antimatière **(symétrie z) d'un objet symétrique PT, évoluant à l'envers dans le temps. Description géométrique de la vision de Feynman de l'antimatière. Ne correspond pas entièrement à celle de Dirac : masse négative et énergie négative.
Les derniers éléments correspondent au secteur ( l= 1 ; m = -1 )
( l = 1 ) --- > le mouvement est toujours dans le secteur de la matière :
pas de symétrie z.
( m = -1 ) s'accompagne d'une symétrie PT. La particule évolue à l'envers dans le temps.
( l = -1 ) : symétrie C. Les charges sont inversées.
...Ceci est de la matière symétrique CPT, de sorte qu'elle correspond à une interprétation géométrique du soi-disant "théorème CPT", qui affirme que le symétrique CPT d'une particule devrait être identique à cette particule. Ce n'est pas vrai. Ce mouvement correspond à un mouvement antichrone. La particule évolue à l'envers dans le temps, de sorte que (action coadjointe) sa masse et son énergie deviennent* négatives* .
...Le mouvement d'une particule qui est le symétrique CPT d'une particule normale a lieu dans le pli F*.
(407)
( l = 1 ; m = - 1 ) cas. Correspond au symétrique CPT. Mais l'action coadjointe donne une masse et une énergie négatives. Le symétrique CPT d'une particule de matière est une particule de matière, mais avec une masse négative.
Index Théorie des Groupes Dynamiques
Version originale (anglais)
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What is the solution ?
...If, as suggested by J.M.Souriau, God, in his infinite wisdom, did not create negative mass and energy particles and prevent physicist to use antichron elements, the theory cannot deal with PT and CPT symmetries.
We present a alternative solution in :
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's anti-matter. Geometrical interpretations of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem". Geometrical Physics B, 4, 1998.
...In order to prevent collisions between positive an negative energy particles, we split the evolution space into two folds, which forms the quotient of the group by its orthochron sub-group. We get a twin geometry.
We introduce a fold indix f = ± 1
f = +1 corresponds to the fold F
f = - 1 corresponds to the fold F*.
The Twin-group is :
(400)
...It is still a eight components group. We see that ( m = - 1 ) elements, which correspond to PT-symmetry, go with a fold commutation : f -----> - f
...The momentum space is still composed by four sectors, but negative energy sectors corresponds to particle's movements in the F* fold.
(401)
The subsequent symetries are :
(402) We can now define the new "playing field". (403)
The playing field : a two folds ( F** and F*) space, associated to a two sectors momentum space** ( E > 0** and E < **0 ).
(404)
Movements of ordinary matter. Action of orthochron elements of the group, with l = 1. Charges unchanged.
**Coadjoint action of a ( **l = -1 ; m = 1 ) element of the group on the momentum associated to the movement of normal matter : the new movement corresponds to Dirac's anti-matter.
...On the figure, the line M1 figures the movement of normal, orthochron matter. We figure straight lines because our group does not take account of force field, like gravitational or electromagnetic field. It only runs the behaviour of lonely particles, charged mass-points.
We chose an element in the grey area, corresponding to a ( l = -1 ; m = 1 ) matrix. The ( l = - 1 ) value changes the signs of all the z i. They become negative. The new path is in the second sector, corresponding to anti-matter. As l m = - 1 the charges are reversed. But as time is not reversed, the energy and the mass of the particle remains positive.
*This is a geometric description of ( orthochron ) anti-matter after Dirac.
*
...Two more sectors has to be explored. On the third we examine the impact of ( l = - 1 ; m = - 1 ) element on the momentum and movement.
( l = - 1 ) reverses the {z i}. According to our geometric definition this new movement corresponds to anti-matter, for it takes place in the second sector of space { z 1,z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, x, y , z , t }.
( m = - 1 ) gives a PT-symmetry, reverses the signs of ( x, y , z , t )
But ( l m = + 1 ) keeps the charges unchanged.
This is "PT-symmetric anti-matter", so that it is a geometric description of anti-matter after Feynmann.
The movement takes place in the second space sector, in the fold F*.
(406)
( l = -1 ; m = -1 ) **elements transform movement of normal matter into movement of anti-matter **(z-Symmetry) of PT-symmetrical object, runing bacward in time. Geometric description of Feynmann's vision of anti-matter. Does not identify vompletely with Dirac's one : negative mass and negative energy.
The last elements correspond to the sector ( l= 1 ; m = -1 )
( l = 1 ) --- > the movement is still in the matter's sector :
no z-Symmetry.
( m = -1 ) goes with a PT-symmetry. The particule runs backward in time.
( l = -1 ) : C-Symmetry. The charges are reversed.
...This is CPT-symmetrical matter, so that it corresponds to a geometrical interpretation of the so-called "CPT theorem", which asserts that the CPT-symmetric of a particle should be identical to that particle. That's not true. This movement corresponds to an antichron movement. The particle goes backward in time, si that (coadjoint action) its mass and energy become* negative* .
...The movement of a particle which is the CPT-symmetrical of a normal particle takes place in the fold F*.
(407)
( l = 1 ; m = - 1 ) case. Corresponds to CPT-symmetry. But the coadjoint action gives negative mass and energy. The CPT-symmetric of a particle of matter is a particule of matter, but with negative mass.