grupy i działanie przyczynowe fizyki pęd
| 4 |
|---|
... Zauważmy w tym momencie, że zaproponowany dziecku system nie jest bezbłędny. Działa poprawnie tylko wtedy, gdy dostępne przedmioty to te, które zostały sprzedane razem z samym grą. Zauważmy, że komórka „cylindry” pozwala wprowadzać cylindry o tym samym promieniu, ale różnych długościach, a także złączki, piersi, kluczyk do szafki itp...
... Logicznie dziecko, które przeszło przez ten proces uczenia się grup, może wnioskować, że kluczyk do szafki i cylinder to przedmioty tej samej rodziny. To prawda, w sensie, że te przedmioty mają wspólną właściwość „wchodzi do tego otworu”.
... Moja córka, kiedy była znacznie młodsza, prowadziła bardzo interesujące eksperymenty na temat grup, używając jako okna wejściowego, jako filtra, wejścia do mojego komputera. Aby odtworzyć jej metodę, trzeba było całkowicie rozłożyć urządzenie po wyłączeniu z eksploatacji, co jednak było racjonalne. Dziś nadal bardzo interesuje się grupami. Ale nie są to te same grupy, a te wybory mi nie przypadają do gustu.
... Wróćmy do naszego chłopca z wcześniejszego fragmentu. Po kilku miesiącach wprowadzisz tego samego chłopca do grupy Galileusza, rzucając mu przedmioty i zachęcając do ich chwycenia. Wtedy forma przedmiotów nie ma już znaczenia, ważną jest ich ruch. Zmieniamy grupę. Dla niemowlęcia przedmiot (o wystarczająco małej wielkości, by mógł go chwycić) staje się porównywalny do jego środka masy. Jest to „punkt-masa”, „punkt materialny”. Grupa Galileusza zarządza dynamiką punktów materialnych.
Klasyfikacja odbywa się wtedy według typów ruchu.
-
To mogę chwycić.
-
To nie mogę chwycić.
... Oceniając warunki początkowe – położenie i wektor prędkości – na oko, niemowlę musi rozpoznać typ ruchu, z którym się spotyka, i przewidzieć.
... Stając się dorosłym, może grać w tenis, stale wykorzystując grupę Galileusza, która, podobnie jak grupa Euklidesa, jest macierzą kwadratową. Ponieważ piłki tenisowe poruszają się z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła, nie będzie potrzebował korzystać z grupy Poincarégo (jeszcze jednej macierzy kwadratowej, która zarządza relatywistycznym ruchem punktów materialnych).
... Mimo to punkty materialne obsługiwane przez grupę Galileusza nie są już punktami grupy Euklidesa – mają atrybuty. Specjalista z fizyki matematycznej, który pracuje z grupą Galileusza, nie mówi już o punktach materialnych, ale o ruchach. To, co chce sklasyfikować, to ruchy. Wtedy napotykamy na istotny aspekt fizyki cząstek elementarnych: szukamy przypisania opisu fenomenologicznego:
Powiedz mi, jak się poruszają, a powiem ci, kim jesteś.
... Nie pytamy już, „z czego składa się cząstka”, ale jak się prowadzi. Tak więc cząstki obojętne nie zachowują się tak samo jak cząstki naładowane elektrycznie. Należą do różnych gatunków. Posiadają różne atrybuty.
... Nasze niemowlę, stając się fizykiem wysokich energii, może codziennie analizować zdjęcia z komory pęcherzykowej.
Zdjęcia uzyskane za pomocą komory pęcherzykowej (Schem..) ...Zdjęcie po lewej: proton, neutron i elektron przeszły przez pole komory. Komora jest poddana polu magnetycznemu prostopadłemu do płaszczyzny rysunku. Neutron, nie mający ładunku elektrycznego, nie przejawia zainteresowania. Idzie prosto. Cząstki naładowane mają bardzo różne promienie obiegu (promień Larmora). Lekkie elektrony obracają się znacznie bardziej ostro w polu magnetycznym prostopadłym do kierunku ich toru niż ciężkie protony. A oba obracają się w przeciwnych kierunkach.
Zbiór ruchów w polu magnetycznym, zarządzany przez...
Ale tej grupy jeszcze nie ma. Gdybyś ją znalazł, zrobiłbyś szczęśliwych ludzi.
... W każdym razie nasz człowiek, analizując zdjęcia, odkrywa trasy należące do różnych zbiorów ruchów.
-
To idzie prosto – to neutron.
-
To skręca w prawo powoli – to proton.
-
To skręca ostro w lewo – to elektron.
... Zdjęcie po prawej: elektron i antyelektron, które urodziły się z tego samego promieniowania (kreska), przyjmują symetryczne trasy, co świadczy o tym, że mają przeciwne ładunki elektryczne.
Klasyfikacja gatunków według zachowania, jako zbiory ruchów.
Pęd.
... Ten czysto geometryczny obiekt może być rozważany jako zbiór atrybutów. Pomijamy na razie cząstki naładowane – wrócimy do tego później. „Punkt materialny relatywistyczny” posiada atrybuty pogrupowane według tego, co matematyk Jean-Marie Souriau, lider w dziedzinie fizyki matematycznej, nazwał pędem powiązanym z grupą Poincarégo.
Atrybuty punktu materialnego relatywistycznego to:
-
Energia E
-
Pęd p – Wir l (powiązany ze spinem)
-
Przejście f
„Pęd” ma zatem postać:
J = { E , p , l , f }
Uwaga poboczna:
... Od tego momentu przyjmujemy, że w dalszych rozważaniach oznaczamy wielkości skalarne małymi literami, a wielkości niemal skalarne (macierze kwadratowe, macierze wierszowe, macierze kolumnowe) – grubymi literami.
... Uwaga: można wtedy wykonywać wszystkie mnożenia macierzowe wiersz-kolumna, manipulując małymi lub grubymi literami, co jest bardzo wygodne. Podajmy przykład. Działanie elementu grupy Euklidesa 2D miało postać:
Wprowadzając:
otrzymamy bardziej skondensowaną postać:
g przyjmuje teraz postać macierzy, samą w sobie złożonej z podmacierzy:
-
a to macierz kwadratowa o wymiarach (2,2).
-
c to wektor-kolumna (wektor przesunięcia) o wymiarach (2,1).
-
0 to wektor-wiersz o wymiarach (1,2):
Zazwyczaj grubym 0 oznacza się indywiduum wektorów wierszowych lub kolumnowych.
Działanie ma wtedy postać:
Ponieważ a r oznacza a × r (ale z czasem pomija się znak mnożenia macierzowego).
Koniec uwagi, powrót do tematu pędu. Wróćmy do wyrażenia pędu w przypadku punktu materialnego relatywistycznego.
J = { E , p , l , f }
E to skalar (energia).
p to wektor pędu.
l i f (grube litery) to inne wektory (lx, ly, lz) i (fx, fy, fz): „wir” i „przejście”.
... W trakcie własnych badań, które przedstawimy na tym podstronie Geometrical Physics B (grupy dynamiczne fizyki), problem polega właśnie na wyprowadzeniu innych „atrybutów” cząstek elementarnych jako składowych bardziej złożonego pędu (ładunki: elektryczny, barionowy, leptonowy, tauonowy oraz współczynnik giromagnetyczny).
... To właśnie Souriau w latach siedemdziesiątych stworzył metodę pozwalającą na wyłonienie składowych pędu punktu materialnego z grupy, która go zarządza (w przypadku relatywistycznym – grupa Poincarégo). Zob. książkę: Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973
Silna aspiryna zalecana.
... Trudno iść dalej bez wykorzystania dość obszernego, a czasem skomplikowanego aparatu matematycznego. Może to zrobić się później, na stronie, jeśli pojawią się entuzjastycy, w stylu „Wszystko, co zawsze chcieliście wiedzieć o grupach, ale nigdy nie śmiećcie zapytać”.
