grupy i działanie koadjointne pędu fizyki
| 6 |
|---|
Nie będziemy pisać składowych pędu grupy Bargmanna. Schematycznie zapiszmy pęd grupy Bargmanna w następujący sposób:
JB = { skalar m, oraz inne składowe pędu }
Działanie koadjointne wskazuje, jak transformują się poszczególne składowe pędu. Jednak to działanie koadjointne zaczyna się prostą relacją:
(63) m' = m
Działanie koadjointne grupy Bargmanna na jej pęd zaczyna się od zachowania masy, która tym samym otrzymuje czysto geometryczny status.
Konstrukcja działania koadjointnego grupy Poincarégo na swoim przestrzeni pędów Jp**.**
Jeśli już się całkowicie zgubiłeś, nie przejmuj się. To normalne, a z każdą kolejną stroną będzie coraz trudniej. Nie wiem już dokładnie, do kogo w tym momencie się odnoszę. Prawdopodobnie do fizyków teoretyków lub matematyków, ale zapewne nie do cieśli-ciepłowników. Jednak uczeń szkoły wyższej lub student fizyki, który będzie się trzymał, może to śledzić. To nic innego jak macierze.
Wszystko zaczyna się od grupy macierzy 4×4, które tworzą grupę Lorentza, której elementem jest L.
Są one definiowane aksjomatycznie za pomocą macierzy G:
(64)
zgodnie z:
(65) tL G L = G
z wykorzystaniem transpozycji macierzy L.
Macierze L tworzą grupę.
Dowód.
Elementem neutralnym jest L = 1:
Niech L1 i L2 będą dwoma elementami zbioru. Sprawdźmy, czy iloczyn L1L2 należy do grupy. Jeśli tak:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Ale:
t( A B ) = t B t A
Zatem:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Następnie obliczmy odwrotność macierzy L. Zaczynamy od aksjomatycznej definicji elementów L:
tL G L = G
Mnożymy z prawej strony przez L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Mnożymy z lewej strony przez G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Zatem odwrotnością macierzy L jest:
L-1 = G tL G
Stąd:
(66)
wektor przestrzeni-czasu. Macierz G pochodzi z metryki Minkowskiego, którą można teraz zapisać (dla c = 1):
(67)
Ćwiczenie: wykazać, że macierz odwrotna spełnia:
(68)
Wprowadzamy następnie wektor przesunięcia czasoprzestrzennego:
(69)
Z którego tworzymy element gp grupy Poincarégo:
(70)
Ćwiczenie: wykazać, że to tworzy grupę i obliczyć macierz odwrotną:
(71)
Poniżej wektor styczny do grupy, element jej „algebry Liego”:
(72)
Na tej podstawie obliczymy działanie odwrotne:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Z racji wygody obliczeniowej zauważmy, że:
(74) G d L
jest macierzą antysymetryczną. Oznaczmy ją jako:
(75)
zatem:
(76)
Niech:
(77)
Na tej podstawie zbudujemy działanie odwrotne:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Po wszystkich obliczeniach otrzymamy przekształcenie:
(79)
Jeśli chcesz pominąć tę część prostych obliczeń macierzowych, przejdź do równania (80), na dole strony.
(79a)
(79b)
stąd składowe działania odwrotnego:
(79c)
ale:
(79d)
zatem:
(79e)
ale GG = 1, więc:
(79f)
stąd otrzymujemy przekształcenie:
(79g)
co stanowi szukaną działanie odwrotne, przekształcenie:
(80)
