grupy i działanie koadointowe pędu fizyki
| 8 |
|---|
(91)
To działanie koadointowe można zapisać w postaci macierzowej.
Macierz grupy Poincarégo to:
(92)
jej transpozycja to:
(93)
Rozważmy macierz:
(94)
To oznacza, że zamienimy pęd
(95) Jp = { M , P }
na postać macierzową i utworzymy iloczyn:
(96)
(97)
(98)
który mogę zidentyfikować z macierzą:
(99)
Jp jest więc pędem grupy Poincarégo, przedstawionym w postaci macierzowej. Działanie koadointowe ma postać:
(100)
Na ćwiczenie czytelnik może, opierając się na aksjomatach, sprawdzić, że to rzeczywiście działanie.
Pęd grupy Poincarégo można wyrazić następująco:
(101)
Ta macierz jest antysymetryczna (co oznacza, że jej główna przekątna składa się z zer). Macierz M to:
(102)
Wyraźmy ją:
(103)
Jest to rzeczywiście macierz antysymetryczna, założenie podane od początku, zależna od sześciu parametrów:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Trzy ostatnie ( fx , fy , fz ) to składowe wektora, wektora przesunięcia f:
(105)
Trzy pierwsze ( lx , ly , lz ) to niezależne składowe macierzy antysymetrycznej (3,3), obrotu l:
(106)
Stąd:
(107)
Wektor P to czterowektor pędu-energii:
(108)
Można teraz wyrazić pęd grupy Poincarégo w całej ogólności:
(109)
Sprawdzamy, że jest to obiekt o dziesięciu składowych (tyle samo, ile wymiarów grupy).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}