grupy i działanie koadointowe pędu fizyki
| 9 |
|---|
Cząstki ze spinem.
Grupa Poincaré opisuje ruch relatywistyczny obiektu punktowego. Podobnie grupa Bargmanna, której wyrażenie zostanie podane później, opisuje ruch nierelatywistyczny obiektu punktowego, który wówczas nazywamy „masą punktową”.
Widzimy więc, że ta technika, obliczanie działania koadointowego grupy na przestrzeni pędów, pozwoliła odkryć ukryte elementy, cechy obiektu: składowe pędu.
To, co jest zaskakujące, to fakt, że ta metoda, zaproponowana przez Souriau, pozwala na pojawienie się kluczowych obiektów fizyki jako czysto geometrycznych obiektów. Zatem dokonał on niezwykłego dzieła geometryzacji fizyki.
Poza energią i pędem, inne składowe – „obracanie” i „przechodzenie” – zaskakują fizyka. Co to znaczy?
Wyrażenie składowych pędu oczywiście zależy od wybranego układu współrzędnych.
Najprościej będzie, jeśli krótko wrócimy do przypadku nierelatywistycznego, czyli do wyrażenia działania koadointowego, które wynikałoby z analizy grupy Bargmanna.
(111)
Tajemnicze wyrażenie. Do czego służy? Jak działa?
W tym ramce fizyk rozpozna kilka znanych mu obiektów:
(112)
to tylko dwie formy wektora prędkości { vx , vy , vz }, pierwsza jako macierz kolumnowa, druga jako macierz wierszowa. Iloczyn tych dwóch macierzy to skalar:
(113)
coś, co zaczyna przypominać energię kinetyczną.
m v to pęd.
Tradycyjny fizyk, rozważając dynamikę punktu materialnego, zna tylko trzy rzeczy:
- masę m
- pęd m v
- energię kinetyczną 1/2 mv²
Tak, ale prędkość względem czego?
Grupa to także punkt widzenia na rzeczy. Można więc albo założyć, że za pomocą grupy przemieszczamy obiekty (jak widzieliśmy przy grupie Euklidesa), względem obserwatora uznawanego za nieruchomego, albo, że obiekt jest nieruchomy, a my zmieniamy sposób obserwacji.
Jeśli przyjmiemy pierwszy punkt widzenia – przemieszczanie obiektów – w przypadku grup dynamicznych, czyli grup fizyki (w przeciwieństwie do grupy Euklidesa, gdzie czas nie pojawia się), musimy powiedzieć, że animujemy obiekty, nadając im prędkość v i energię E.
Jeśli przyjmiemy odwrotny punkt widzenia: że obiekt jest nieruchomy, a my się przemieszczamy – jaką wartość przypisać grupom?
Grupa Euklidesa oznaczałaby wówczas:
„Zobaczone z innego miejsca i pod innym kątem”.
„Z innego miejsca” to wektor przesunięcia:
(114)
„Zobaczone pod innym kątem” to macierz obrotu a, czyli obrót w przestrzeni (który można by wyrazić za pomocą kątów Eulera, choć nie zrobimy tego tutaj).
W przypadku grup dynamicznych ten punkt widzenia, ten sposób spojrzenia na „rzeczy”, musi być wzbogacony. Pozostając w kontekście grupy Bargmanna, wprowadzenie tej prędkości v oznacza, że obserwator, który obserwuje tę masę punktową z innego miejsca (wektor przesunięcia c) pod innym kątem (macierz obrotu a), jest również poruszający się względem tej punktowej masy uznanej za nieruchomą, z prędkością v.
Aby być kompletnym, aby jeszcze bardziej skomplikować sytuację, nie porusza się w tym samym czasie co cząstka, czyli obserwowana masa punktowa. Jest on przesunięty w czasie o wartość Dt. Innymi słowy: obserwuje ją z innego miejsca, ale to jest przestrzenny i czasowy „inny” punkt, odpowiadający wektorowi przesunięcia przestrzennego i czasowego:
(115)
Zajmując takie „odstąpienie” względem tej masy punktowej, co obserwuję? Po pierwsze: m' = m
Nie zmienia to jej masy.
Można uprościć sobie życie, anulując obrót. To już wystarczająco skomplikowane – obserwować masę punktową z innego miejsca, widzianej w innym czasie, przesuniętej, na rowerze z prędkością v. Czy naprawdę konieczne jest jeszcze obracanie głowy?
Nie. Niech a = 1.
Ale ten szczegół zwykle pomija się w obliczeniach. Działanie koadointowe, w tej specjalnej postaci, staje się:
(117)
Słowo „rozważać” należy tu rozumieć w swoim etymologicznym znaczeniu. Co robię, gdy rozważam sytuację, niebo, pole bitwy, film nagrany przez samolot szpiegowski?
Sędzia zapisze:
- Rozważając stan miejscowy...
Statyczne spojrzenie, odpowiadające grupie Euklidesa. Sędzia obserwuje obiekty z odległości c, w tym samym momencie (Dt = 0), w zasadzie nieruchome ( v = 0). W przypadku potrzeby pod danym kątem, „pod pewnym kątem”.
Generał, spacerujący w samolocie rozpoznawczym, to rodzaj sędziego, który się porusza (v # 0).
Ale dowód sztabowy, który ogląda film nagrany przez drona, stoi przed sytuacją przesuniętą w czasie. Musi powiedzieć:
- Rozważmy cel, widziany z tego punktu, w skręcie pod kątem, z taką prędkością, a ponadto takim, jakim był dwa godziny wcześniej...
Cel nie ma własnej szczególnej prędkości. Nie można go uznać za nieruchomy, nawet jeśli jest „stałą instalacją”. Nawet Ziemia się porusza, tak samo Słońce, galaktyka itd.