f4301 Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 2 :
Description géométrique de l'antimatière de Dirac
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy ** Observatoire de Marseille ---
Résumé :
...Nous étendons le groupe précédent à un ensemble à quatre composantes orthochrones. Cette opération donne une interprétation géométrique de l'antimatière après Dirac.
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1) Introduction :
...Dans un article précédent [1], nous avons présenté une description des particules élémentaires dans un espace à dix dimensions, c’est-à-dire l’espace-temps (x,y,z,t) plus six dimensions supplémentaires :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
Nous avons présenté un groupe à 16 dimensions, extension du sous-groupe orthochrone de Poincaré, agissant sur :
-
son espace des moments à 16 dimensions
-
son espace de mouvement à 10 dimensions.
Les six composantes supplémentaires du moment ont été identifiées aux charges des particules :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
de sorte que le moment devient :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } où Jp représente le moment classique, issu du sous-groupe orthochrone de Poincaré :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
d’après J.M. Souriau [1].
Nous avons établi le lien entre les espèces de moments et les espèces de mouvement, suggérant que :
-
Le mouvement de la matière correspond au secteur { z i > 0 }.
-
Le mouvement de l’antimatière correspond au secteur { z i < 0 }.
-
Le mouvement des photons correspond au plan { z i = 0 }.
Tout cela doit maintenant être justifié.
2) Introduction d’un groupe à quatre composantes. Géométrisation de l’antimatière de Dirac.
...Le groupe précédent à 16 dimensions avait deux composantes, correspondant aux deux composantes orthochrones du groupe de Lorentz, Ln (composante neutre) et Ls, avec :
(5) Lo (sous-groupe orthochrone) = Ln U Ls
Notre groupe était une extension du sous-groupe orthochrone de Poincaré :
(6) Go = Gn U Gs
et nous l’avons noté :
(7)
L’action coadjointe correspondante était :
(8)
avec :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Dans un tel groupe, aucun élément ne transforme le mouvement d’un point matériel en celui d’un point d’antimatière, ni inversement. Selon la définition choisie de l’antimatière, via une :
(10) Symétrie z : {z i} ----> {- z i}
un élément devrait inverser les dimensions supplémentaires. Avec :
(11)
nous pouvons écrire le groupe précédent sous une forme plus compacte :
(12)
Il contient l’élément neutre :
(13)
La matrice qui inverse les dimensions supplémentaires est le commuteur orthochrone suivant :
(14)
Nous pouvons dupliquer le groupe précédent par l’opération :
(15) go x goc
Ce qui est équivalent à écrire le nouveau groupe à quatre composantes, dont les éléments sont :
(16)
L’action coadjointe correspondante est :
(17)
Nous voyons que ( l = - 1 ) inverse les charges. Dans ce cas, l'inversion des dimensions supplémentaires :
(18) Symétrie z : {z i} ----> {- z i}
va de pair avec une :
(19)
Symétrie C (ou conjugaison de charge) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
ce qui correspond à la description de l’antimatière de Dirac [4], de sorte que ce travail représente une géométrisation de l’antimatière selon Dirac.
Version originale (anglais)
f4301 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 :
Geometrical description of Dirac's antimatter
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy** Observatoire de Marseille ---
Abstract :
...vWe extend the precedent group to a four-components orthochron set. This operation gives a geometrical interpretation of antimatter after Dirac.
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1) Introduction :
...In a former paper [1] we have presented a description of elementary particles ins a ten-dimensional space, i.e. space-time (x,y,z,t) plus six additional dimensions :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
We presented a 16-dimensions group, an extension of the Poincaré orthochron subgroup, acting on :
-
its 16-dimensions momentum space
-
its 10-dimensional movement space.
The six additional components of the momentum have been identified to the charges of the particles :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
so that the momentum becomes :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } where Jp represent the classical moment, from the orthochron Poincaré sub-group :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
after J.M.Souriau [1].
We have figured the link between the species of moments and the species of movement, suggesting that :
-
The movement of matter corresponds to { z i > 0 } sector.
-
The movement of antimatter corresponds to { z i < 0 } sector.
-
The movement of photons corresponds to { z i = 0 } plane.
All that must be now justified.
2) Introducing a four components group. Geometrization of Dirac's antimatter.
...The precedent 16-dimensional group had two components, correspondong to the two orthochron components of the Lorentz group, Ln ( neutral component ) and Ls , with :
(5) Lo ( orthochron sub-group ) = Ln U Ls
Our group was an extension of the orthochron Poincaré sub-group :
(6) Go = Gn U Gs
and we wrote it :
(7)
The corresponding coadjoint action was :
(8)
with :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...In such a group no element transforms the movement of a matter mass-point into the movement of an antimatter mass-point, and vice versa. According to the chosen definition of antimatter, through a :
(10) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
some element should reverse the additional dimensions. With :
(11)
we can write the precedent group into a more compact form :
(12)
It contains the neutral element :
(13)
The matrix that reverses the additional dimensions is be the following orthochron commuter :
(14)
We can duplicate the precedent group through the operation :
(15) go x goc
It is equivalent to write the new four component group, whose element is :
(16)
The corresponding coadjoint action is :
(17)
We see that ( l = - 1 ) reverses the charges. In that case the inversion of the additional dimensions :
(18) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
goes with a :
(19)
C-symmetry (or charge conjugation ) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
which corresponds to Dirac's description of antimatter [4], so that the present paper represents a geometrization of antimatter after Dirac.