Matematyka geometria powierzchnia topologia

Jak przekształcić powierzchnię Cross Cap

w powierzchnię Boya (prawą lub lewą, według wyboru)

przechodząc przez powierzchnię Steinerową.

Włoski: Andrea Sambusetti, Uniwersytet Rzymski

../../Crosscap_Boy1.htm

27 września - 25 października 2003

Strona 2

Oto „powierzchnia Cross Cap” (taką, jaką byście ją odkryli na obrazach z rzeczywistości wirtualnej). Ma dwa punkty szczytowe, które są wierzchołkami linii samoprzecięcia. Można ją stworzyć, zaciskając balonik z klinów do wąsów. Można też stworzyć jej reprezentacje wielościenne. Ta poniżej będzie nas szczególnie interesować.

Na tabeli 4 znajduje się najtrudniejszy element do opanowania. Wydaje mi się niemożliwe, by ktoś dobrze zrozumiał te obiekty, patrząc tylko na rysunki. Zrób model. Prosto mówiąc, ciągnie się punkt szczytowy C2 „w głąb powierzchni” (co, między innymi, nie ma żadnego sensu, ponieważ, jak pewnie zauważyliście, powierzchnia Cross Cap jest jednostronna: nie ma zewnętrznej i wewnętrznej strony). Kontynuując, powierzchnia „przecina samą siebie”, a zbiór samoprzecięć uzupełnia się, nieco zaokrąglając, krzywą w kształcie ósemki. W międzyczasie powstał punkt potrójny T.

Powierzchnia staje się bardziej zrozumiała w wersji wielościennej, a poniżej powiększono niektóre elementy, by pokazać, co prowadzi do przekształcenia tego obiektu w powierzchnię Steinerową (patrz symulacja rzeczywistości wirtualnej), której najprostsza wersja wielościanowa polega na połączeniu czterech sześcianów (tu widać tylko trzy).

Tabela 5: wersja wielościanowa po lewej, zaokrąglona po prawej. Strzałka przechodzi przez punkt, który chcemy „ściągnąć”. Niżej widać początek operacji ściągania.

Tabela 6: ściąganie jest wykonane i tworzy punkt osobliwy B. W rzeczywistości, ponieważ ściągamy z obu stron (żeby zaoszczędzić czas), powstają dwa punkty osobliwe S1 i S1, a następnie dwa punkty szczytowe. W tym momencie bez kartonu, nożyce i taśmy klejącej macie kłopot.

Tabela 7: po prostu przesunięto różne punkty szczytowe. Jeśli punkt C2 jest „widoczny”, to znacznie trudniej będzie zidentyfikować punkty C3 i C4 jako szczytowe. A jednak są one tam, na końcach linii samoprzecięcia. Nad punktem C3 znajduje się po prostu to, co nazwałem „pozycjonem”, czyli punktem, w którym skupia się krzywizna dodatnia (punkt, w którym skupia się krzywizna ujemna nazywam „negacjonem”). Delikatnie deformując ten obiekt, dochodzimy do wersji wielościennej powierzchni Steinerowej (wynalezioną przez Steiner w Rzymie; patrz jego ilustracja w rzeczywistości wirtualnej).

Zatem gra się skończyła. Istnieje wiele rodzajów powierzchni, w zależności od zasad, które się przyjmują. Powierzchnie, które się nie samoprzecinają, nazywane są „embeddings” (kuli lub torusa w R3). Gdy natomiast samoprzecinają się, ale płaszczyzna styczna zmienia się ciągle bez degeneracji, nazywane są immersionami. Przykład: butelka Kleina w jej klasycznej reprezentacji. W R3 nie istnieje reprezentacja butelki Kleina jako embeddingu: musi się samoprzecinać. Immersje mają zbiory samoprzecięć bez punktów szczytowych. Te zbiory są ciągłymi krzywymi, które mogą się przecinać w punktach podwójnych lub potrójnych. Obserwacja: kulę można zrealizować jako immersion (która nie jest embeddingiem), poprzez jej samoprzecięcie. To właśnie sposób, w jaki można ją odwrócić (patrz metoda A. Phillipsa, 1967, której kluczowym krokiem jest podwójne nakrycie powierzchni Boya; patrz też B. Morin i J.P. Petit, 1979, gdzie jako model centralny przyjęto model „czterech uszu” Morina, którego poniżej widzicie reprezentację wielościanową, którą wymyśliłem kilka lat temu).

Schemat montażu tego obiektu z papieru i nożyce

Jeśli rozszerzymy zasady gry, dopuszczając, by te obiekty miały także punkty szczytowe, otrzymujemy summersiony (Cross Cap, powierzchnia Steinerowa). Nie wiem, czy słowo „summersion” jest poprawne, ale ponieważ nie znalazłem matematyka, który mógłby mi to wyjaśnić, uznałem za zabawne wymyślenie nowego terminu, tymczasowo, aż do momentu, gdy pojawi się ekspert. Tak więc powierzchnia Cross Cap i powierzchnia Steinerowa są summersionami „płaszczyzny rzutowej”.

Wszystko powiedziane, po dwudziestu pięciu latach działalności i moich rozczarowaniach w zakresie magnetycznej hydrodynamiki, zacząłem te prace, ponieważ wydawały się najbardziej odległe od jakichkolwiek zastosowań wojskowych. Ale, jak mi zauważył mój stary przyjaciel Mihn, słowo „summersion” może prowadzić do nieporozumienia i wywołać u marynarki wojennej wrażenie, że poprzez te badania próbuję ukryć postępy w zakresie napędu podwodnego.

Zasada „tworzenia-rozwiązania” par punktów szczytowych pozwala przechodzić z jednej summersiony obiektu do drugiej, i właśnie to właśnie zrobiliśmy, pokazując, że Cross Cap i powierzchnia Steinerowa są dwiema summersionami tego samego obiektu, znanego jako płaszczyzna rzutowa. Nie próbujcie sobie wyobrazić „płaszczyzny rzutowej”. Ten obiekt można zrozumieć tylko poprzez różne reprezentacje. Co do słowa „rzutowa”, to tylko jedno z tysiąca wymyślonych przez matematyków, by zniechęcić tych, którzy chcą wejść do ich zamkniętego kręgu. Zanichelli nie będzie wam pomocny w matematyce.

Pozostaje nam zobaczyć, jak przejść do powierzchni Boya, która jest immersioną płaszczyzny rzutowej

Poprzednia strona Następna strona

Wróć do indeksu „Przekształcanie Cross Cap w Boya”

Wróć do sekcji Nowości Wróć do sekcji Przewodnik Wróć do Strony głównej

Liczba odwiedzin od 25 października 2003 roku:

Obrazy