Matematyka geometria powierzchnie topologia

Jak przekształcić powierzchnię Cross Cap
w powierzchnię Boya (prawą lub lewą, według wyboru)
przechodząc przez powierzchnię Steinerów.

Włoski: Andrea Sambusetti, Uniwersytet Rzymski

../../Crosscap_Boy1.htm

27 września - 25 października 2003

Strona 2

Oto „powierzchnia Cross Cap” (taką właśnie byście ją odkryli na obrazach wirtualnych). Ma dwa punkty szczytowe, które są wierzchołkami linii samoprzecięcia. Można ją wytworzyć zaciskając balonik z klinów do fryzury. Można jednak również stworzyć jej reprezentacje wielościenne. Ta poniżej będzie nas szczególnie interesować.

Na tabeli 4 znajduje się najtrudniejszy element do nauczenia. Wydaje mi się niemożliwe, by ktoś dobrze zrozumiał te obiekty tylko patrząc na rysunki. Zrób model. Prosto mówiąc, ciągnie się punkt szczytowy C2 „w głąb powierzchni” (co, między innymi, nie ma żadnego sensu, ponieważ, jak pewnie zauważyliście, powierzchnia Cross Cap jest jednostronna: nie ma zewnętrznej i wewnętrznej strony). Kontynuując, powierzchnia „przecina samą siebie”, a zbiór samoprzecięć uzupełnia się, nieco zaokrąglając, krzywą w kształcie ósemki. W efekcie powstał punkt potrójny T.

Powierzchnia staje się bardziej zrozumiała w wersji wielościennej, a poniżej powiększono niektóre elementy, by pokazać, co prowadzi do przekształcenia tego obiektu w powierzchnię Steinerową (patrz symulacja wirtualna), której najprostsza wersja wielościanowa polega na połączeniu czterech sześcianów (tu widać tylko trzy).

Tabela 5: wersja wielościanowa po lewej, okrągła po prawej. Strzałka przechodzi przez punkt, który „ściśnemy”. Niżej: początek operacji ściśnienia.

Tabela 6: ściśnienie zostaje wykonane i tworzy punkt osobliwy B. W rzeczywistości, ponieważ ściśnemy z obu stron (żeby zaoszczędzić czas), powstają dwa punkty osobliwe S1 i S1, a następnie dwa punkty szczytowe. W tym momencie bez kartonu, nożyce i taśmy klejącej, macie kłopoty.

Tabela 7: po prostu przeniesiono różne punkty szczytowe. Jeśli punkt C2 jest „widoczny”, to znacznie trudniej będzie zidentyfikować punkty C3 i C4 jako szczytowe. A jednak są one tam, na końcach linii samoprzecięcia. Nad punktem C3 znajduje się po prostu to, co nazwałem „pozyno” – punkt, w którym skupia się krzywizna dodatnia (punkt, w którym skupia się krzywizna ujemna nazywam „negyno”). Delikatnie deformując ten obiekt, dochodzimy do wersji wielościennej powierzchni Steinerowej (wykonanej przez Steiner w Rzymie; patrz jego ilustracja w wersji wirtualnej).

Zatem gra się skończyła. Istnieje kilka rodzajów powierzchni, w zależności od zasad, które się przyjmują. Powierzchnie, które się nie przecinają, nazywane są „embeddings” (kuli lub torusa w R3). Gdy natomiast się przecinają, ale płaszczyzna styczna zmienia się ciągle bez degeneracji, nazywane są immersionami. Na przykład: butelka Kleina w jej klasycznej reprezentacji. W R3 nie istnieje reprezentacja butelki Kleina jako embeddingu: koniecznie się przecina. Immersje mają zbiory samoprzecięć bez punktów szczytowych. Te zbiory są ciągłymi krzywymi, ale mogą się przecinać w punktach podwójnych lub potrójnych. Obserwacja: kulę można przedstawić jako immersion (która nie jest embeddingiem), przez jej samoprzecięcie. To właśnie sposób, w jaki można ją odwrócić (patrz metoda A. Phillipsa, 1967, której kluczowym krokiem jest podwójne nakrycie powierzchni Boya; patrz też B. Morin i J.P. Petit, 1979, gdzie jako model centralny przyjęto model „czterech uszu” Morina, którego poniżej widzicie wersję wielościanową, którą wymyśliłem kilka lat temu).

Schemat montażu tego obiektu z papieru i nożyce

Jeśli rozszerzymy zasady gry, dopuszczając, by te obiekty miały również punkty szczytowe, otrzymujemy summersiony (Cross Cap, powierzchnia Steinerowa). Nie wiem, czy „summersion” to właściwe słowo, ale skoro nie znalazłem matematyka, który by mi to wyjaśnił, uznałem, że zabawne jest wymyślenie takiego terminu, przynajmniej tymczasowo, dopóki nie pojawi się ekspert. Tak więc powierzchnia Cross Cap i powierzchnia Steinerowa są summersionami „płaszczyzny rzutowej”.

Wszystko wzięte, po dwudziestu pięciu latach działalności i rozczarowaniach w dziedzinie magnetyczno-hydrodynamicznej, zacząłem te prace, ponieważ wydawały się najbardziej odległe od jakichkolwiek zastosowań wojskowych. Ale, jak mi zauważył mój stary przyjaciel Mihn, słowo „summersion” może prowadzić do nieporozumień i wywoływać wojenną myśl, że poprzez te badania próbuję ukryć postępy w zakresie napędu podwodnego.

Zasada „tworzenia-rozwiązania” par punktów szczytowych pozwala przejść od jednej summersiony obiektu do drugiej, i właśnie to właśnie zrobiliśmy, pokazując, że Cross Cap i powierzchnia Steinerowa są dwiema summersionami tego samego obiektu, znanego jako płaszczyzna rzutowa. Nie próbujcie sobie wyobrazić „płaszczyzny rzutowej”. Ten obiekt można zrozumieć tylko poprzez różne reprezentacje. Co do słowa „rzutowa”, to tylko jedno z tysięcy wymyślonych przez matematyków, by odstraszyć tych, którzy chcieliby wniknąć do ich zamkniętego kręgu. Zanichelli nie będzie wam pomocny w matematyce.

Pozostaje nam zobaczyć, jak przejść do powierzchni Boya, która jest immersioną płaszczyzny rzutowej

Poprzednia strona Następna strona

Wróć do indeksu „Przekształcanie Cross Cap w Boya”

Wróć do sekcji Nowości Wróć do sekcji Przewodnik Wróć do Strony głównej

Liczba odwiedzin od 25 października 2003 roku :

Obrazy