Przekształcenie crosscap w powierzchnię Boya poprzez powierzchnię Steinerowską
Jak przekształcić crosscapę w powierzchnię Boya (lewo- lub prawostronną, według wyboru), przechodząc przez powierzchnię Steinerowską.
27 września – 25 października 2003
strona 2
Oto crosscap (taka, jaką poznałeś na obrazach z rzeczywistości wirtualnej). Ma ona dwa punkty kuspidalne ograniczające linię samoprzecięcia. Można ją stworzyć, ściskając balon za pomocą wężownicy. Można jednak również zbudować jej reprezentacje wielościenne. Ta z dołu szczególnie nas interesuje.
Na tej planszy 4 znajduje się najtrudniejszy moment do zrozumienia. Wydaje mi się niemal niemożliwe, by zwykły człowiek zrozumiał te obrazy tylko patrząc na rysunki. Zbuduj te makietki. Dokładnie: przyciągamy punkt kuspidalny C2 „do wnętrza powierzchni” (co w rzeczywistości nie ma sensu, ponieważ, jak pewnie zauważyłeś od razu, crosscap jest jednostronna. Przy dalszym nacisku powierzchnia przekracza się samą siebie, a zbiór samoprzecięć uzupełnia się „w kształcie ósemki” krzywą. W tym momencie powstaje punkt potrójny T.
Powierzchnia jest bardziej zrozumiała w wersji wielościennej, a w dole powiększyliśmy niektóre elementy, by pokazać, co skłania nas do przekształcenia tego obiektu w powierzchnię Steinerowską (patrz rzeczywistość wirtualna), której najprostsza wersja wielościanowa polega na połączeniu czterech sześcianów (tu widać tylko trzy).
Plansza 5: lewa strona – wielościan, prawa strona – „rondouillard”. Strzałka przechodzi przez miejsce, które „ściśniemy”. Na dole – początek ściśnięcia.
Plansza 6: ściśnięcie wykonane poprzez stworzenie punktu osobliwego B. W rzeczywistości, ponieważ ściśniesz z obu stron, by zaoszczędzić czas, powstają dwa punkty osobliwe S1 i S1, a następnie dwie pary punktów kuspidalnych. Bez kartonu, noży i taśmy klejącej jesteś w kłopoczach.
Plansza 7: po prostu przesunięto różne punkty kuspidalne. Jeśli punkt C2 jest „oczywisty”, to trudniej będzie zidentyfikować punkty C3 i C4 jako punkty kuspidalne. Są jednak one obecne na końcu linii samoprzecięcia. Nad punktem C3 znajduje się po prostu to, co nazwałem „pozycoinem” – punktem skupienia krzywizny dodatniej (punkt skupienia krzywizny ujemnej to „negacoin”). Delikatne zniekształcenie tego obiektu prowadzi do wielościennej formy powierzchni Steinerowskiej (powierzchnia czwartego stopnia wynaleziona przez Steiner w Rzymie. Zobacz jej prezentację w rzeczywistości wirtualnej).
Zatem, sprawa jest załatwiona. Istnieje wiele rodzajów powierzchni, w zależności od przyjętych zasad. Powierzchnie, które nie przecinają same siebie, nazywamy zanurzeniami (kuli, torusa w R3). Gdy przecinają się, ale styczna zmienia się ciągle, nazywamy je wciśnięciami. Przykład: butelka Kleina w jej klasycznej reprezentacji. Nie istnieje w R3 zanurzenie butelki Kleina. Musi się ona koniecznie przecinać. Wciśnięcia mają zbiory samoprzecięć wolne od punktów kuspidalnych. Te krzywe są ciągłe, ale mogą się przecinać, a w punktach przecięcia mogą występować punkty podwójne lub potrójne. Uwaga: kula może być przedstawiona jako wciśnięcie, po prostu poprzez jej samoprzecięcie. To właśnie w ten sposób udało się ją odwrócić (A. Phillips, 1967, z centralnym krokiem pokrycie dwuwarstwowe powierzchni Boya; B. Morin i J.P. Petit, 1979, z centralnym modelem model czterokłobowy Morina, którego poniżej przedstawiam w wersji wielościennej, którą wymyśliłem kilka lat temu.
Plan montażu tego obiektu przy użyciu wycinania
Jeśli rozszerzymy zasady gry, zakładając, że te obiekty mają punkty kuspidalne, otrzymujemy podmiany (crosscap, powierzchnia Steinerowska). Nie wiem, czy to właściwe słowo, ale skoro nie znalazłem żadnego matematyka, który mógłby mnie rozjaśnić, uznałem, że zabawne jest wymyślenie takiego słowa, tymczasowo, aż do momentu, gdy pojawi się ekspert z geometrii. Tak więc crosscap i powierzchnia Steinerowska byłyby podmianami „płaszczyzny rzutowej”.
Wszystko powiedziane: po moich niepowodzeniach w dziedzinie MHD przez dwadzieścia pięć lat rozpocząłem te prace, ponieważ wydawały mi się jak najbardziej odległe od jakichkolwiek zastosowań wojskowych. Ale, jak zauważył mój stary przyjaciel Mihn, słowo „podmiana” może być mylące i sugerować Floty Narodowej, że poprzez te badania próbuję ukryć jakąś przełomową postać w zakresie napędu podwodnego.
Zasada „tworzenia-likwidacji” par punktów kuspidalnych pozwala przejść od jednej podmiany obiektu do drugiej, i właśnie to zrobiliśmy, pokazując, że crosscap i powierzchnia Steinerowska są dwiema podmianami tego samego obiektu zwanego płaszczyzna rzutowa. Nie próbuj się zastanawiać, jak wygląda „płaszczyzna rzutowa”. Ten obiekt można pojąć tylko poprzez jego różne reprezentacje. Co do słowa „płaszczyzna rzutowa” – to tylko jedno z tysiąca innych słów wymyślonych przez matematyków, by zdezorientować tych, którzy chcą wejść do ich zamkniętego kręgu. Larousse nie będzie Ci w matematyce żadną pomocą.
Pozostaje nam teraz przejść do powierzchni Boya, która jest wciśnięciem płaszczyzny rzutowej
Poprzednia strona Następna strona
Powrót do spisu treści „Przekształcenie crosscap w powierzchnię Boya”
Powrót do przewodnika Powrót do strony głównej
Liczba odwiedzin od 25 października 2003 roku:
Obrazy
