Przekształcenie crosscap w powierzchnię Boya poprzez powierzchnię Steinerowską
Jak przekształcić crosscapę w powierzchnię Boya (lewo- lub prawostronną, według wyboru), przechodząc przez powierzchnię Steinerowską.
27 września – 25 października 2003
strona 2
Oto crosscap (taka, jaką poznałeś na obrazach w rzeczywistości wirtualnej). Ma ona dwa punkty kuspidalne ograniczające linię samoprzecięcia. Można ją stworzyć, ściągając balon za pomocą węża do włosów. Można też zbudować jej reprezentacje wielościenne. Ta z dołu będzie szczególnie nas interesować.
Na tej tablicy 4 znajduje się najtrudniejszy moment do zrozumienia. Wydaje mi się niemal niemożliwe, by zwykły człowiek zrozumiał te rysunki tylko patrząc na nie. Zrób te makietki. Dokładnie: ciągniesz punkt kuspidalny C2 „w głąb powierzchni” (co nie ma żadnego sensu, ponieważ, jak pewnie zauważyłeś od razu, crosscap jest jednostronna. Przy dalszym nacisku powierzchnia przekrzyżuje się sama i zbiór samoprzecięć uzupełnia się „w kształcie ósemki” krzywą. W tym momencie powstaje punkt potrójny T.
Powierzchnia jest łatwiejsza do zrozumienia w wersji wielościennej, a na dole powiększyliśmy niektóre elementy, by pokazać, co skłania nas do przekształcenia tego obiektu w powierzchnię Steinerowską (patrz rzeczywistość wirtualna), której najprostsza wersja wielościanowa polega na połączeniu czterech sześcianów (tu widać tylko trzy).
Tablica 5: lewy wielościan, prawy „w kształcie ósemki”. Strzałka przechodzi przez miejsce, które „ściągamy”. Na dole początek ściągnięcia.
Tablica 6: ściągnięcie wykonane poprzez stworzenie punktu osobliwego B. W rzeczywistości, ponieważ ściągamy z obu stron, by oszczędzić czas, powstają dwa punkty osobliwe S1 i S1, a następnie dwie pary punktów kuspidalnych. Bez kartonu, noży i taśmy klejącej jesteś w kłopoczach.
Tablica 7: po prostu przesunięto różne punkty kuspidalne. Jeśli punkt C2 jest „oczywisty”, to trudniej będzie zidentyfikować punkty C3 i C4 jako punkty kuspidalne. Są jednak one na końcu linii samoprzecięcia. Nad punktem C3 znajduje się po prostu to, co nazwałem „pozykoinem”, czyli punktem skupienia krzywizny dodatniej (punkt skupienia krzywizny ujemnej to „negakoin”). Delikatnie deformując ten obiekt, otrzymujemy wersję wielościanową powierzchni Steinerowskiej (powierzchnia czwartego stopnia wynaleziona przez Steiner w Rzymie. Zobacz jej prezentację w rzeczywistości wirtualnej).
Zatem wszystko jest gotowe. Istnieje wiele rodzajów powierzchni, w zależności od przyjętych zasad. Powierzchnie, które nie przecinają same siebie, nazywane są zanurzeniami (kuli, torusa w R3). Gdy przecinają się, ale płaszczyzna styczna zmienia się ciągle, nazywane są wstrzyknięciami. Przykład: butelka Kleina w jej klasycznej reprezentacji. Nie istnieje w R3 zanurzenie butelki Kleina. Musi się ona koniecznie przecinać. Wstrzyknięcia mają zbiory samoprzecięć wolne od punktów kuspidalnych. Te krzywe są ciągłe, ale mogą się przecinać, a w punktach przecięcia mogą występować punkty podwójne lub potrójne. Uwaga: kula może być przedstawiona jako wstrzyknięcie, po prostu przez jej samoprzecięcie. To właśnie w ten sposób udało się ją odwrócić (A. Phillips, 1967, z centralnym krokiem pokrycie dwuwarstwowe powierzchni Boya; B. Morin i J.P. Petit, 1979, z centralnym modelem model czterokładek Morina, którego poniżej przedstawiam w wersji wielościennej, którą wymyśliłem kilka lat temu.
Plan montażu tego obiektu z użyciem wycinania
Jeśli rozszerzymy zasady gry, zakładając, że te obiekty mają punkty kuspidalne, otrzymujemy podmiany (crosscap, powierzchnia Steinerowska). Nie wiem, czy to właściwe słowo, ale skoro nie znalazłem żadnego matematyka, który mógłby mnie rozjaśnić, uznałem za zabawne wymyślenie nowego terminu, tymczasowego, aż do momentu, gdy pojawi się ekspert z geometrii. W ten sposób crosscap i powierzchnia Steinerowska byłyby podmianami „płaszczyzny rzutowej”.
Wszystko powiedziane: po moich porażkach w dziedzinie MHD przez dwadzieścia pięć lat rozpocząłem te prace, ponieważ wydawały mi się jak najbardziej oddalone od jakichkolwiek zastosowań wojskowych. Ale, jak zauważył mój stary przyjaciel Mihn, słowo „podmiana” może być mylące i sugerować marynarce, że poprzez te badania próbuję ukryć jakąś rewolucję w zakresie napędu podwodnego.
Zasada „tworzenia-likwidacji” par punktów kuspidalnych pozwala przejść od jednej podmiany obiektu do drugiej, i właśnie to zrobiliśmy, pokazując, że crosscap i powierzchnia Steinerowska to dwie podmiany tego samego obiektu, zwanego „płaszczyzną rzutową”. Nie próbuj się zastanawiać, jak wygląda „płaszczyzna rzutowa”. Ten obiekt można pojąć tylko poprzez jego różne reprezentacje. Co do słowa „płaszczyzna rzutowa” – to tylko jedno z tysięcy słów wymyślonych przez matematyków, by zdezorientować tych, którzy chcieliby wejść do ich zamkniętego kręgu. Larousse nie będzie Ci pomocny w matematyce.
Pozostaje nam teraz przejść do powierzchni Boya, która jest wstrzyknięciem płaszczyzny rzutowej
Poprzednia strona Następna strona
Powrót do spisu treści „Przekształcenie crosscap w powierzchnię Boya”
Powrót do przewodnika Powrót do strony głównej
Liczba odwiedzin od 25 października 2003 roku:
Obrazy
