Przekształcenie crosscap w powierzchnię Boya poprzez powierzchnię Steinerów
Jak przekształcić crosscapę w powierzchnię Boya (prawą lub lewą, według wyboru), przechodząc przez powierzchnię Steinerów.
27 września 2003
strona 4
Pokażemy teraz model z innego kąta:
Rysunek 14: Powtarzamy tę samą operację, tworząc trzecie „ucho” krzywej samoprzecięcia. W wersji wielościennej ma ona postać trzech kwadratów mających wspólny wierzchołek: punkt potrójny T.
Rysunek 15: obracając obiekt, odkrywamy wersję wielościenne powierzchni Boya, którą wcześniej zaprojektowałem i przedstawiłem w Topologiconie (gdzie znajduje się wykrojona wersja umożliwiająca jej zbudowanie).
Ostatni rysunek: próbuję przedstawić powierzchnię Steinerów (czwartego stopnia, podczas gdy powierzchnia Boya jest szóstego stopnia), która się wykręca i przekształca w powierzchnię Boya.
Widzimy, że w „zakręcie” trzeba mieć sporo doświadczenia, by zrozumieć obiekt. Nasz wzrok bardzo się niepokoi, gdy trzeba zrozumieć obiekt, w którym na jednej linii widzenia nakładają się więcej niż dwie powierzchnie. Dlatego wartość wersji wielościennej polega na tym, że pozwala zwykłym ludziom zrozumieć przekształcenia, które w geometrii są uznawane za skomplikowane, ponieważ ludzie sami wykonują modele. W trakcie tego zauważamy, że w zależności od wyboru par punktów cuspidałnych otrzymujemy powierzchnię Boya „prawą” lub „lewą” (słowa całkowicie dowolne). Płaszczyzna rzutowa wchodzi w sposób „enantiomorficzny”, w lustrzanym odbiciu. Widzimy, że można przejść od prawej powierzchni Boya do lewej poprzez model „środkowy”, czyli powierzchnię Steinerów.
Byłoby pewnie miło, gdyby takie rysunki zostały opublikowane w „Pour la Science” lub „La Recherche”. Ale od dwudziestu lat jestem „zakazany do publikacji” w tych czasopismach z powodu „zaburzeń owniowych”. Dziękuję Panom Hervé This i Philippe Boulanger. Nie liczę już artykułów tego typu, które wysłałem do tych czasopism, które zostały mi uprzejmie zwrócone. W końcu przyzwyczaja się się do swojego statusu wykluczonego.
Na marginesie: w Francji istnieje „Nagroda Alemberta” przeznaczona do wyróżniania autorów książek popularnonaukowych z matematyki. Historię opowiedział mi członek komisji decydującej, kto ma otrzymać nagrodę (jest tam nawet trochę pieniędzy). Dialog:
-
Ależ czy nie moglibyśmy przyznać nagrody Panu Petit? Ma wspaniałe książki, takie jak Géométricon, Czarna Dziura i Topologicon.
-
Tak, ale nie tylko te albumy napisał.
-
Na co się powołujesz?
-
Pisał też Mur Ciszy.
-
Ach, w takim razie...
Tak, Mur Ciszy, wydany w 1983 roku, to album poświęcony MHD. A jak każdy wie, ta tajemnicza nauka ma zaletę, albo może złośliwość, polegającą na tym, że pozwala talerzom lotniczym poruszać się z prędkością naddźwiękową bez wybuchu.
Ukryj tę naukę, żebym jej nie widział
W moich kartonach mam wersję „odwrócenia sześcianu”, piękną z modelu centralnego o niezwykłej urodzie, która nie jest wersją wielościennej wersji Morina. Wszystko moje. Kiedyś...
22 października 2003: nie tłoczy się tu wielu ludzi, jeśli mogę wierzyć liczbie w liczniku. Dnia 13 października 2003 roku wygłosiłem seminarium w CMI (Centrum Matematyki i Informatyki w Château-Gombert-Marseille) na zaproszenie Trotmana. W ramach tego mogłem ułożyć kolekcję około trzydziestu modeli z papieru, które wkrótce będą dostępne w wersji pierwszej, ponieważ zostały sfotografowane przez Christophe Tardy.
Gdy wygłasza się seminarium, powstaje pewna atmosfera. Na poniższym zdjęciu geometryk wyraża swoje niedowierzanie.
Na tle, część modeli wystawionych. W pewnym momencie zadałem pytanie:
*- Kto z was już widział powierzchnię Steinerów? Podnieście rękę. *
Nikt jej nigdy nie widział. Uważałem więc za potrzebne przedstawić ten obiekt w wersji wirtualnej na laptopie, który przywiozłem, stworzony w współpracy z Christophe Tardy, inżynierem, i Frédéric Descamp, z Instytutu Laue Langevin w Grenoble (ILL). Jasne, ta prezentacja zaskoczyła publiczność, mało przyzwyczajoną do tego, by matematyczne powierzchnie wirowały dowolnie.
Dwa panele z papieru, widoczne na pierwszym planie, umożliwiły przedstawienie kolejności modeli w logicznej kolejności. Modele „zielony i żółty” ilustrują w wersji wielościennej kluczowy narzędzie tworzenia i niszczenia pary punktów cuspidałnych. Najdalszy biały obiekt to wersja wielościenne Cross Cap, która najpierw przekształca się w wersję wielościenne powierzchni Steinerów, jeden metr dalej, a potem dowolnie w powierzchnię Boya „prawą” lub „lewą”.
Analiza modeli wywołała różne uwagi wśród publiczności. Jeden z geometryków zapytał:
*- Jeśli idąc w tym kierunku możemy przejść od Cross Cap do Boya, to czy nie powinniśmy móc odwrócić proces i przekształcić Boya w Cross Cap? *
Odpowiedziałem twierdząco. Zmęczeni, moja rozmówca dodał:
*- Jeśli na etapie powierzchni Steinerów zatrzymamy się, to możemy ponownie rozpocząć proces i uzyskać powierzchnię Boya w lustrzanym odbiciu. *
Ponownie potwierdziłem. Ale niestety nikt nie zgłosił się, by wyjaśnić ten dziwny świat, w którym powierzchnie zamknięte są wyposażone w punkty cuspidałne, tworzone lub niszczone parami, a całość stanowi rodzaj rozszerzenia świata immersji. Słowo „submersje” wydaje się tu odpowiednie. Jeśli czytelnik znajdzie jakieś wyjaśnienia, będą one mile widziane.
Krzywizna skupiona w punkcie cuspidałnym
Obliczamy ją, sumując kąty w wierzchołku i porównując tę sumę z sumą euklidesową: 2π.
Na górze i z lewej strony pokazano jedną z wielu wersji wielościennej punktu cuspidałnego. Rozbieranie obiektu (po prawej) prowadzi do sumy przekraczającej sumę euklidesową 2π o wartość 2α. Stąd wynika, że krzywizna kątowa skupiona wokół tego punktu C wynosi –2α. Jeśli kąt α jest równy π/2, to krzywizna ujemna wynosi c (na dole i z lewej). W rzeczywistości krzywizna skupiona w punkcie cuspidałnym może przyjmować nieskończenie wiele wartości. Na dole i z prawej strony zwiększamy sumę kątów, a krzywizna staje się < –2α. Zwiększamy krzywiznę ujemną.
Przy odwrotnym podejściu można osiągnąć dość zaskakujący efekt: uczynić, by krzywizna (kątowa) skupiona w punkcie C była... zerowa:
Możemy teraz rozpocząć od wersji wielościennej Cross Cap z dwoma punktami cuspidałnymi, z których każdy ma krzywiznę ujemną równą –π:
Istnieje osiem „pozycji” o wartości +π/2. Dodajmy cztery inne „pozycje” o krzywiznie +π/4 oraz cztery „negacjony” o krzywiznie –π/4.
Dodajmy jeszcze dwa punkty cuspidałne o krzywiznie –π.
Suma: 2π
Dzieląc tę całkowitą krzywiznę przez 2π, otrzymujemy charakterystykę Eulera-Poincarégo wszystkich wersji płaszczyzny rzutowej (takich jak powierzchnia Boya).
Podczas mojego wystąpienia wspomniałem o sztuce i sposobie wymiany dwóch punktów cuspidałnych Cross Cap, wykorzystując odwrócenie sfery. Nie pamiętam, czy to gdzieś umieściłem na mojej stronie. To taki bałagan. Muszę to gdzieś poszukać, inaczej umieścię to gdzieś. To dość zabawne. W każdym razie ta prezentacja nie podobała się jednemu z uczestników seminarium.
- Nie rozumiem, dlaczego Pan Petit używa takiego skomplikowanego narzędzia, by wykazać symetrię łączącą dwa punkty cuspidałne Cross Cap. Można to zrobić znacznie prościej.
I narysował na tablicy sferę zgniotkowaną przez dwie pręty, które połączył, tworząc rzeczywiście zbiór samoprzecięć w postaci odcinka ograniczonego dwoma punktami cuspidałnymi, jak w przypadku Cross Cap. Niestety, i ten człowiek to zrozumiał, to nie jest Cross Cap.
- O, ale co to w takim razie? Zapytał ktoś.
To po prostu sfera z dwoma punktami cuspidałnymi. Jeśli je złączymy, otrzymamy linię samoprzecięć, która staje się prostym okręgiem. A w lewym dolnym rogu (w przekroju) otrzymujemy wersję zanurzenia sfery, którą wystarczy przekształcić w jej zanurzenie. Można również przejść do wersji wielościennej tej powierzchni:
Jest dwustronna, a krzywizna wynosi 2π.
Można więc się dobrze bawić tymi „submersjami”. Weźmy zanurzenie torusa, które polega na obrocie znaku „nieskończoność” lub „ósemki” wokół osi.
Technika łączenia punktów cuspidałnych pozwoli nam bardzo szybko osiągnąć standardowe zanurzenie torusa, jak pokazano w kolejnych rysunkach.
Ale czasem rzeczy nie są tak proste i oczywiste. Weźmy na przykład sferę, którą zgniatamy między dwoma odcinkami, które tym razem mają długość mniejszą niż średnica. Nadal otrzymujemy dwa punkty cuspidałne.
Ponieważ można w niej umieścić pasek Möbiusa, powierzchnia jest jednostronna. Pokazano jej wersję wielościenne, która umożliwia obliczenie całkowitej krzywizny. Wychodzi zero. Jeśli się nie mylę, byłaby to bula Kleina. Zazwyczaj znamy tylko najbardziej klasyczne zanurzenie, gdzie linia samoprzecięć jest prostym okręgiem. Ale istnieją inne, takie jak ta. Przyznaję, że jeszcze nie znalazłem sposobu, by przekształcić ten obiekt w zanurzenie butelki Kleina. Nie wiem też, czy różne zanurzenia należą do tego samego grupy homotopii (sfera ma tylko jedną). Zdaje się, że nie, ponieważ torus można zanurzyć czterema różnymi sposobami, które nie można połączyć regularną homotopią. Aż do tej pory bawiłem się przekształcaniem tej powierzchni, tworząc dwa dodatkowe punkty cuspidałne, otrzymując wtedy dwie Cross Cap połączone rurką. Po ich rozcięciu otrzymujemy charakterystykę Eulera-Poincarégo równą zero.
Ta „dziwna powierzchnia” powinna móc zostać przekształcona w jedno z zanurzeń butelki Kleina. Ale które? W każdym razie oto jedno uzyskane przez obrót „ósemki” wokół osi i dodatkowy półobrót:
Wróć do spisu treści „Przekształcanie Cross Cap w Boya”
Wróć do przewodnika Wróć do strony głównej
Liczba odwiedzin od 6 października 2003 roku: