Przekształcenie crosscap w powierzchnię Boya poprzez powierzchnię Steinerów
Jak przekształcić crosscapę w powierzchnię Boya (prawą lub lewą, według wyboru), przechodząc przez powierzchnię Steinerów.
27 września 2003
strona 4
Poniżej przedstawiono model pod innym kątem:
Rysunek 14: Powtarzamy tę samą operację, tworząc trzecie „ucho” krzywej samoprzecięcia. W wersji wielościennej ma ona postać trzech kwadratów o wspólnym wierzchołku: punkcie potrójnym T.
Rysunek 15: Obracając obiekt, otrzymujemy wersję wielościenne powierzchni Boya, którą wcześniej zaprojektowałem i przedstawiłem w Topologiconie (gdzie znajduje się rozcięcie umożliwiające jej zbudowanie).
Ostatni rysunek: próbuję przedstawić powierzchnię Steinerów (czwartego stopnia, podczas gdy powierzchnia Boya jest szóstego stopnia), która się wykręca i przekształca w powierzchnię Boya.
Widzimy, że w „kółku” trzeba mieć sporo doświadczenia, by zrozumieć obiekt. Nasz wzrok bardzo się niepokoi, gdy chodzi o zrozumienie obiektu, w którym na jednej linii widzenia nakładają się więcej niż dwie powierzchnie. Dlatego wartość wielościennej wersji polega na tym, że pozwala zwykłym ludziom zrozumieć przekształcenia uznawane za zaawansowane w geometrii, ponieważ ludzie sami wykonują modele. W trakcie tego można zauważyć, że w zależności od wybranych par punktów kuspidalnych otrzymujemy powierzchnię Boya „prawą” lub „lewą” (słowa całkowicie dowolne). Płaszczyzna rzutowa wchodzi w powierzchnię w dwóch „enantiomorficznych” wersjach, lustrzanych. Widzimy, że można przejść od prawej powierzchni Boya do lewej poprzez model „środkowy”, czyli powierzchnię Steinerów.
Byłoby pewnie miło, gdyby takie rysunki zostały opublikowane w „Pour la Science” lub „La Recherche”. Ale od dwudziestu lat jestem „zakazany do publikacji” w tych czasopismach z powodu „odchylenia ownieńskiego”. Dziękuję, panowie Hervé This i Philippe Boulanger. Nie liczę już artykułów tego typu, które wysłałem do tych czasopism i które zostały mi uprzejmie zwrócone. W końcu przyzwyczaja się się do swojego stanu wykluczenia.
Na marginesie: w Francji istnieje „Nagroda Alemberta” przeznaczona do wyróżniania autorów książek popularnonaukowych z matematyki. Historię opowiedział mi członek komisji, która miała decydować, komu ma się przypaść nagroda (jest przecież trochę pieniędzy). Dialog:
-
Ależ czy nie możemy przyznać nagrody Panu Petit? Ma znakomite dzieła, takie jak „Geometricon”, „Czarna Dziura” i „Topologicon”.
-
Tak, ale nie zrobił tylko tych albumów.
-
O czym pan mówi?
-
Pisał też „Ścianę Milczenia”.
-
Ach, w takim razie...
Tak, „Ściana Milczenia”, wydana w 1983 roku, to album poświęcony MHD. A jak każdy wie, ta podejrzana nauka ma zaletę, albo raczej sztuczkę, polegającą na tym, że pozwala talerzom latać z prędkością naddźwiękową bez wybuchu.
Ukryj tę naukę, żebym jej nie widział
W moich kartonach mam wersję „przeciwienia sześcianu”, piękną z modelu centralnego o niezwykłej wytworności, który nie jest wersją wielościennej wersji Morina. Wszystko moje. Kiedyś, pewnego dnia...
22 października 2003: nie tłoczy się tu wielu ludzi, jeśli mogę wierzyć liczbie zliczanej przez licznik. Dnia 13 października 2003 roku wygłosiłem seminarium w CMI (Centrum Matematyki i Informatyki w Château-Gombert-Marseille) na zaproszenie Trotmana. W trakcie mogłem ułożyć kolekcję około trzydziestu modeli z papieru, które wkrótce będą dostępne jako pierwsze, ponieważ zostały sfotografowane przez Christophe Tardy.
Podczas wykładu powstaje określona atmosfera. Na poniższym zdjęciu geometryk wyraża swoje zdumienie.
Na tle widoczne są części modeli wystawionych. W pewnym momencie zadałem pytanie:
*- Kto z was już widział powierzchnię Steinerów? Podnieście rękę. *
Nikt jej nigdy nie widział. Uważałem więc za konieczne przedstawić obiekt w wersji wirtualnej na laptopie, który przywiozłem, stworzony w współpracy z Christophe Tardy, inżynierem, i Frédéric Descamp, z Instytutu Laue-Langevin w Grenoble (ILL). Jasnym było, że ta prezentacja zaskakuje publiczność, niezwykle rzadko widzącą matematyczne powierzchnie wirujące dowolnie.
Dwa panele z kartonu, widoczne na pierwszym planie, umożliwiły przedstawienie kolejności modeli w logicznej kolejności. Modele „zielony i żółty” ilustrują w wersji wielościennej kluczowy element tworzenia i niszczenia pary punktów kuspidalnych. Najdalszy biały obiekt to wersja wielościenne powierzchni crosscap, która najpierw przekształca się w wersję wielościenne powierzchni Steinerów, a następnie, w dowolnym momencie, w powierzchnię Boya „prawą” lub „lewą”.
Analiza modeli wywołała różne uwagi wśród publiczności. Jeden z geometryków zapytał:
*- Jeśli idąc w tym kierunku możemy przejść od crosscap do Boya, to czy nie powinniśmy móc odwrócić proces i przekształcić Boya w crosscap? *
Odpowiedziałem twierdząco. Zmęczony, mój rozmówca dodał:
*- Jeśli na etapie powierzchni Steinerów się zatrzymamy, to możemy ponownie przejść do powierzchni Boya w lustrzanym odbiciu. *
Zgodziłem się po raz drugi. Ale niestety nikt nie zaoferował się, by wyjaśnić ten dziwny świat, w którym powierzchnie zamknięte są wyposażone w punkty kuspidalne, tworzone lub niszczone parami, a całość stanowi rodzaj rozszerzenia świata zanurzeń. Słowo „submersje” wydaje się tu odpowiednie. Jeśli czytelnik znajdzie jakieś wyjaśnienia, będą one mile widziane.
Krzywizna skupiona w punkcie kuspidalnym
Obliczamy ją, sumując kąty w wierzchołku i porównując tę sumę z sumą euklidesową: 2π.
Na górze i z lewej strony przedstawiono jedną z wielu wersji wielościennej punktu kuspidalnego. Rozbieranie obiektu (z prawej strony) prowadzi do sumy przekraczającej sumę euklidesową 2π o wartość 2α. Wynika stąd, że skupiona krzywizna kątowa w otoczeniu tego punktu C wynosi –2α. Jeśli kąt α jest równy π/2, to krzywizna ujemna wynosi c (rys. na dole i z lewej). W rzeczywistości krzywizna skupiona w punkcie kuspidalnym może przyjmować nieskończenie wiele wartości. Na dole i z prawej strony zwiększamy sumę kątów, a krzywizna staje się < 2α. Zwiększamy krzywiznę ujemną.
Przy odwrotnym podejściu możemy osiągnąć dość zaskakujący wynik: uczynić krzywiznę (kątową) skupioną w punkcie C... równą zero:
Możemy teraz rozpocząć od wersji wielościennej crosscap z dwoma punktami kuspidalnymi, z których każdy ma krzywiznę ujemną równą –π:
Istnieje osiem „pozycjonów” o wartości +π/2. Dodajmy cztery inne „pozycjony” o krzywiznie +π/4 i cztery „negacjony” o krzywiznie –π/4.
Dodajmy jeszcze dwa punkty kuspidalne o krzywiznie –π.
Suma: 2π
Dzieląc tę całkowitą krzywiznę przez 2π, otrzymujemy charakterystykę Eulera-Poincarégo wszystkich wersji płaszczyzny rzutowej (takich jak powierzchnia Boya).
Podczas mojego wykładu wspomniałem o sztuce i sposobie przestawiania dwóch punktów kuspidalnych crosscap, używając odwrócenia sfery. Nie pamiętam, czy to gdzieś umieściłem na mojej stronie. To taki bałagan. Muszę to gdzieś poszukać, inaczej umieścię to gdzieś. To dość zabawne. W każdym razie ta prezentacja nie podobała się jednemu z uczestników seminarium.
- Nie rozumiem, dlaczego Pan Petit używa takiego skomplikowanego sprzętu, by udowodnić symetrię łączącą dwa punkty kuspidalne crosscap. Jest znacznie prostsze.
I narysował na tablicy sferę zgniotą przez dwie rurki, które połączył, tworząc w ten sposób zbiór samoprzecięć w postaci odcinka ograniczonego dwoma punktami kuspidalnymi, jak w crosscapie. Niestety, i ten człowiek zauważył, że to nie jest crosscap.
- Co to w takim razie jest? Zapytał ktoś.
To po prostu sfera z dwoma punktami kuspidalnymi. Jeśli je złączymy, otrzymamy linię samoprzecięcia, która staje się prostym okręgiem. A w lewym dolnym rogu (na przekroju) otrzymujemy zanurzenie sfery, które wystarczy przekształcić w jej zanurzenie. Możemy również przejść do wersji wielościennej tej powierzchni:
Jest dwustronna, a krzywizna wynosi 2π.
Można więc się dobrze bawić tymi „submersjami”. Weźmy zanurzenie torusa, które polega na obracaniu znaku „nieskończoność” lub „ósemki” wokół osi.
Technika łączenia punktów kuspidalnych pozwoli nam bardzo szybko osiągnąć standardowe zanurzenie torusa, jak pokazano w kolejnych rysunkach.
Ale rzeczy czasem nie są tak proste i oczywiste. Weźmy na przykład sferę, którą zgniatamy między dwoma odcinkami, które tym razem mają długości mniejsze niż średnica. Otrzymujemy nadal dwa punkty kuspidalne.
Ponieważ można na niej umieścić pasek Möbiusa, powierzchnia jest jednostronna. Przedstawiono jej wersję wielościenne, która pozwala obliczyć całkowitą krzywiznę. Wychodzi zero. Jeśli się nie mylę, byłaby to butelka Kleina. Znamy zazwyczaj najbardziej klasyczne zanurzenie, gdzie linia samoprzecięcia jest prostym okręgiem. Ale istnieją inne, takie jak ta. Przyznam, że jeszcze nie znalazłem sposobu, jak przekształcić ten obiekt w zanurzenie butelki Kleina. Nie wiem też, czy różne zanurzenia należą do tego samego grupy homotopii (sfera ma tylko jedną). Zdaje się, że nie, ponieważ torus może być zanurzony czterema różnymi sposobami, które nie mogą być połączone regularną homotopią. Aż do tej pory bawiłem się przekształcaniem tej powierzchni, tworząc dwa dodatkowe punkty kuspidalne i otrzymując w ten sposób dwie crosscap połączone rurką. Po ich rozcięciu otrzymujemy charakterystykę Eulera-Poincarégo równą zero.
Ta „dziwna powierzchnia” powinna móc zostać przekształcona w jedno z zanurzeń butelki Kleina. Ale które? W każdym razie oto jedno z nich, uzyskane przez obrót „ósemki” wokół osi i dodatkowy półobrót:
Wróć do spisu treści „Przekształcanie crosscap w powierzchnię Boya”
Wróć do przewodnika Wróć do strony głównej
Liczba odwiedzin od 6 października 2003 roku: