Cosmologie Trou noir problématique.
Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France Pour correspondance :
Résumé
En partant du modèle dit de trou noir, considéré comme une interprétation physique de la géométrie de Schwarzschild, nous réexaminons le problème du sort d'une étoile à neutrons lorsqu'elle dépasse sa limite de stabilité. Nous présentons d'abord un nouvel outil géométrique : la géométrie hypertorique, à travers des exemples en 2D et 3D (section 2). Nous montrons que les pathologies associées aux métriques, découlant de leur élément de ligne exprimé dans un système de coordonnées donné, peuvent être corrigées par un choix plus approprié formulé en termes de « topologie locale ». Par exemple, nous montrons que dans les deux exemples donnés, la surface plane 2D et l'hypersurface 3D dont les groupes d'isométrie sont O2 et O3, ne sont pas simplement connexes.
Nous étendons la méthode à la géométrie de Schwarzschild. Nous montrons que les singularités peuvent être entièrement éliminées en considérant une hypersurface espace-temps non simplement connexe. Nous donnons à la géométrie de Schwarzschild une signification physique différente : un pont reliant deux univers, le nôtre et un univers jumeau.
Nous montrons que le « gel du temps », pilier du modèle de trou noir, est une simple conséquence d'un choix arbitraire d'un marqueur de temps particulier. En utilisant un autre marqueur, inspiré des travaux d'Eddington (1924), nous dérivons un scénario complètement différent, impliquant un entraînement radial (similaire à l'entraînement azimutal du métrique de Kerr). Nous montrons que la solution de Schwarzschild peut être interprétée comme un « pont spatial », reliant deux univers, deux espaces-temps, agissant comme un pont à sens unique. Nous montrons que le temps de transit d'une particule-test est fini et court, ce qui rend immédiatement le modèle classique de trou noir problématique.
En étendant le groupe d'isométrie de la métrique de Schwarzschild, nous montrons que les deux univers sont énantiomorphes (symétriques par P) et possèdent des marqueurs de temps opposés (t* = - t). En utilisant un outil de théorie des groupes : l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments, nous donnons une signification physique à cette « inversion du temps », à travers la surface de gorge sphérique, la sphère de Schwarzschild : lorsqu'une particule de masse positive traverse le pont spatial, sa contribution au champ gravitationnel est inversée : m* = -m (comme l'a montré J.M. Souriau en 1974, l'inversion du marqueur de temps est équivalente à l'inversion de la masse et de l'énergie).
Comme la question du sort d'une étoile à neutrons déséquilibrée reste un problème ouvert, nous présentons un projet de modèle alternatif : le transfert hyperspatial d'une partie de sa matière à travers un pont spatial, cette matière s'écoulant vers l'univers jumeau à une vitesse relativiste.
En passant, nous rappelons quelques défauts bien connus du modèle de Kruskal, notamment le fait qu'il n'est pas asymptotiquement lorentzien à l'infini.
Nous suggérons de considérer la géométrie de Schwarzschild comme une hypersurface plongée dans un espace à dix dimensions. En reliant ce travail à des travaux antérieurs fondés sur la théorie des groupes, nous construisons un modèle symétrique CPT. La dualité matière-antimatière est conservée dans les deux plis. Lorsqu'une matière est transférée vers l'univers jumeau, elle subit une symétrie CPT et sa masse (sa contribution au champ gravitationnel) est inversée. Mais elle reste de la matière. De même, l'antimatière s'écoulant dans le pont spatial reste de l'antimatière, avec une masse opposée, car l'inversion du marqueur de temps, comme l'a montré Souriau, implique l'inversion de la masse.
- Le modèle de trou noir.
Les étoiles à neutrons ne peuvent pas dépasser une masse critique, proche de 2,5 masses solaires. Pour des masses plus élevées, leur matière ne peut plus supporter la pression interne énorme due à la force gravitationnelle. Alors, s'ensuit un effondrement gravitationnel. Pendant longtemps, les théoriciens ont tenté de décrire le sort d'un tel objet. En examinant la métrique de Schwarzschild, ci-après exprimée en termes de
coordonnées, où Rs est le rayon de Schwarzschild dit « de Schwarzschild » (1),
on imaginait que cette solution de l'équation d'Einstein :
(2) S = 0
avec un second membre nul pouvait résoudre le problème. En effet, si t est choisi comme « temps cosmique d'un observateur extérieur », le temps de chute libre d'une particule-test suivant une « géodésique radiale », depuis un point éloigné de la sphère de Schwarzschild r = Rs, est trouvé infini, tandis que ce temps de chute libre Ds, exprimé en temps propre, reste fini. Alors la « description physique » est la suivante :
-
L'objet (une étoile à neutrons ayant dépassé sa limite de stabilité) subit un effondrement gravitationnel. Sa masse tombe rapidement vers « le centre géométrique du système », décrit comme une « singularité centrale ». Ce phénomène s'étend sur une durée finie Ds, en termes de temps propre s.
-
Mais, pour un « observateur extérieur », situé à une certaine distance de l'objet, ce processus semble « figé dans le temps ». En outre, la sphère de Schwarzschild est une surface de décalage vers le rouge infini (en raison de la nullité du terme gtt de la métrique en r = Rs).
C'est le modèle d'un trou noir sphériquement symétrique.
r est identifié à une « distance radiale », ce qui signifie qu'on peut penser à « ce qui se trouve à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild ». Grossièrement, cela signifie qu'on suppose que la « topologie locale » est « sphérique » : à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, on suppose qu'une « petite sphère est située », et ainsi de suite, jusqu'au « centre géométrique » de l'objet.
Plus tard, le modèle a été étendu à la géométrie axialement symétrique (métrique de Kerr). Mais cette extension n'apporte aucune modification conceptuelle fondamentale. C'est pourquoi nous allons nous concentrer dans la suite sur les systèmes sphériquement symétriques (nous pensons que cette étude pourra ultérieurement être étendue à la métrique de Kerr).
Il est un peu étrange qu'un objet aussi dense puisse être décrit par une solution des équations (2), qui a priori fait référence à une portion vide de l'Univers où il n'y a pas de matière-énergie.
Si l'on conserve la description (un choix particulier de coordonnées), de nombreuses difficultés surgissent. Par exemple, lorsque r tend vers Rs, le terme grr tend vers l'infini.
La signature de la métrique, exprimée avec ce choix particulier de coordonnées, est : ( + - - - ) pour r > Rs ( - + - - ) pour r < Rs
Lorsqu'une particule-test pénètre à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, sa masse devient imaginaire et sa vitesse supérieure à celle de la lumière : elle devient une tachyone.
En considérant le changement de signature, certaines personnes ont dit :
- Pas de problème : à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, r devient simplement le temps et t la distance radiale.
Un cosmologiste français, Jean Heidmann, a coutume de dire : « Quand on pense aux trous noirs, il faut abandonner tout bon sens ».
En passant, il y a très peu de candidats aux trous noirs, ce qui est le point le plus troublant. En effet, les supernovae, les naines blanches et les étoiles à neutrons avaient été prédites avant d'être observées. Par exemple, Fritz Zwicky a présenté le modèle de supernova dans une célèbre conférence donnée au Caltech en 1931, avant que personne ne l'ait observé. Mais des années après des années, le modèle a été confirmé et nous connaissons maintenant des centaines de ces objets. Même chose pour les étoiles à neutrons en rotation, identifiées aux pulsars. Pourquoi si peu de trous noirs observés ?
Quoi qu'il en soit, les astrophysiciens croient que les trous noirs existent, même s'il y a si peu de données observationnelles à leur sujet. Ils « utilisent » des modèles de « géants trous noirs », supposés se trouver au centre des galaxies ou des amas de galaxies, pour « expliquer » certaines de leurs caractéristiques dynamiques énigmatiques.
Dans la suite, nous souhaitons suggérer un sort différent pour les étoiles à neutrons ayant dépassé leur limite de stabilité. Commençons par présenter de nouveaux outils géométriques.
- Géométrie hypertorique.
Considérons la métrique riemannienne g, en deux dimensions, dont l'élément de ligne, écrit avec un ensemble de deux coordonnées [ r , j ] est :
(3)
où :
est défini sur R, modulo 2 .
Rs est une constante.
Cette métrique devient asymptotiquement euclidienne lorsque r tend vers l'infini :
(4)
Dans ce système particulier de coordonnées, la signature est : ( + , + ) pour r > Rs ( - , + ) pour r < Rs
Le déterminant :
(5)
devient infini pour r = Rs . Montrons que cela est dû à ce choix particulier de coordonnées. Introduisons le changement de coordonnées suivant :
(6)
L'élément de ligne devient (7)
dont le déterminant associé est :
(8)
Il ne s'annule plus pour toutes les valeurs (ce qui montre par ailleurs que, dans une métrique, la nullité du déterminant de l'élément de ligne dépend du choix du système de coordonnées, comme l'a montré Eddington en 1924 (réf.[10]) pour la métrique de Schwarzschild). Lorsque tend vers zéro (ce qui correspond à
ce déterminant tend vers :
varie de -infini à +infini, ce qui équivaut à r ³ Rs
La métrique g, quelle que soit le système de coordonnées choisi, décrit une surface, un objet à deux dimensions. Cette dernière possède son système de géodésiques, fondamentalement invariant par rapport aux coordonnées. Étudions ce système dans un système de coordonnées via les équations de Lagrange. Introduisons la fonction F suivante :
(9)
Les équations de Lagrange correspondantes sont :
(10)
(11)
L'équation (11) donne :
(12)
h étant positif, négatif ou nul. En outre, si dans (3) on divise les deux membres par , on obtient, classiquement :
(13)
à partir de laquelle on peut dériver l'équation différentielle qui décrit les géodésiques planes, dans le système de coordonnées :
(14)
La condition |h| £ r, selon (12), signifie que la valeur absolue du cosinus de l'angle entre la tangente à la géodésique et le vecteur radial est £ 1.
Maintenant, plaçons la surface dans R3, en ajoutant une coordonnée d'immersion supplémentaire z. Nous choisissons des coordonnées cylindriques
La surface est axialement symétrique par rapport à l'axe z.
Les géodésiques ( = constante) sont les lignes méridiennes de cette surface, où :
(15)
ce qui donne immédiatement l'équation de la courbe méridienne de cette surface, plongée dans R3. Il s'agit de la parabole :
(16)
La figure 1 montre une vue en 3D de cette surface, plongée dans R3, accompagnée d'une géodésique et de sa projection sur un plan avec des coordonnées polaires.
Cette surface n'est pas simplement connexe. Parmi les orbites du groupe d'isométrie O2, on trouve un cercle de périmètre minimal : le cercle de gorge (p = 2 Rs).
Fig. 1 : La surface, plongée dans R3
et sa représentation dans un système de coordonnées.
Sur la figure 2, plusieurs géodésiques sont montrées, dans ce système de représentation.
Fig. 2 : Représentation de certaines géodésiques. Fig 3 : Une géodésique particulière, traversant le cercle de gorge.
Remarquez que cette représentation des géodésiques dans un plan n'est pas isométrique. Si nous mesurons la longueur sur ce plan, elle ne correspond pas à la longueur mesurée sur la surface.
Si nous imposons que la longueur dS soit réelle, nous voyons qu'elle détermine ce que nous pourrions appeler la topologie locale. Appelons une telle structure géométrique un pont toroïdal. Nous pouvons aussi dire que cette surface possède une topologie toroïdale locale. Elle possède une seule pliure, pouvant être considérée comme un ensemble de deux demi-pliures bornées, les deux étant collées le long de leurs bords circulaires le long du cercle de gorge, dont le périmètre est 2 Rs. Ces cercles ne sont pas des lignes géodésiques (sauf cette géodésique très particulière qui est le cercle de gorge, la seule fermée). Sur chaque demi-pliure, lorsque la distance par rapport au « pont toroïdal » tend vers l'infini, la métrique tend vers la métrique euclidienne (2). Sur la figure 2, correspondant à une représentation [ r , ] , les parties supérieures des géodésiques traversant le cercle de gorge sont représentées par des lignes continues, tandis que les parties correspondant à l'autre demi-pliure sont représentées par des lignes pointillées. Notez qu'une demi-pliure correspond à ( ) , d'où l'autre correspond à ( ) . Le cercle de gorge correspond à = 0 . Résumé Page suivante
Version originale (anglais)
Cosmology Questionable black hole.
Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France For correspondance :
Abstract
Starting from the so called black hole model, considered as a physical interpretation of Schwarzschild geometry, we reconsider the problem of the fate of a neutron star when it overcomes its limit of stability. We first present a new geometric tool : hypertoric geometry, through 2d and 3d examples (section 2). We show that pathlogies associated to metrics, arising from their line element expressed in a given coordinate system can be cured through a more suitable choice phrased in terms of "local topology". For example we show that in the two given examples, the 2d surface and 3d hypersurface, whose isometry groups are O2 ans O3, are not simply connected.
We extend the method to Schwarzschild geometry. We show that singular features can be fully eliminated, considering not simply connected space time hypersurface. We give the Schwarzschild geometry a different physical significance : a bridge linking two universes, ours and a twin universe.
We show that the "freeze of time", keystone of the black hole model, is a simple consequence of an arbitrary peculiar time marker choice. Using another one, inspired by Eddington's work (1924) we derive a completely different scenario, implying a radial frame dragging (similar to the azimutal frame dragging of the Kerr metric). We show that the Schwarzschild solution can be interpreted as a "space bridge", linking two universes, two space-times, working as a one way bridge. We show that the transit time of a test particle is finite and short, which immediately makes the classical black hole model questionable.
Extending the isometry group of the Schwarzschild metric we show that the two universes are enantiomorphic (P-symmetric) and own opposite time markers (t* = - t). Using a groups' tool : the coadjoint action of a group on its momentum space, we give the physical significance of this "time inversion", through the spherical throat surface, the Schwarzschild sphere : when a positive mass particle passes through the space bridge, its contribution to the gravitational field is inversed : m* = -m (as shown by J.M.Souriau in 1974, the inversion of the time marker is equivalent to mass and energy inversions).
As the question of the fate of a destabilized neutron star becomes a still open problem, we present a project of an alternative model : the hyperspatial transfer of a part of its matter, through a space bridge, this matter flowing towards the twin universe at relativistic velocity.
By the way we recall some well-known defects of the Kruskall model, particularly the fact that it is not symptotically Lorentzian at infinite.
We suggest to consider Schwarzschild geometry as an hypersurface imbeded in a ten dimensional space. Linking the present work to former ones, based on group theory, we build a CPT symmetric model. The matter antimatter duality holds in both folds When matter is transfered towards twin Unverse, it undergoes a CPT-symmetry and its mass (its contribution to the gravitional field) is reversed. But its is still matter. Similarly, antimatter flowing in space bridge remains antimatter, with opposite mass, for the inversion of the time marker, as shown by Souriau, implies the inversion of the mass.
- The black hole model.
Neutron stars cannot exceed a critical mass, close to 2.5 solar masses. For higher masses, their material cannot stand any longer the huge internal pressure due to gravitational force. Then gravitational collapse occurs. For a long time, theoreticians tried to describe the fate of such an object. Looking at the Schwarzschild metric, hereafter expressed in terms of
coordinates, where Rs is the so called Schwarzschild radius (1)
people imagined that this solution of the Einstein's equation :
(2) S = 0
with zero second member could solve the problem. In effect, if t is chosen as " the cosmic time of an "external observer", the free fall time of a test-particle, following a "radial geodesic", from any distant point from the Schwarzschild sphere r = Rs is found to be infinite, while this free fall time Ds, expressed in proper time remains finite. Then the "physical description" is the following :
-
The object (a neutron star which overcomes its limit of stability) undergoes a gravitational collapse. Its mass falls rapidly towards "the geometric center of the system", described as a "central singularity". This phenomenon extends over a finite duration Ds, in terms of proper time s.
-
But, for an "external observer", located at some distance from the object, this process looks to be "frozen in time". Furthermore the Schwarzschild sphere is an infinite redshift surface (due to the nullity of the gtt term of the metric at r = Rs).
This is the model of a spherically symmetric black hole.
r is identified to a "radial distance", which means that one can think about "what's inside the Schwarzschild sphere". Roughly speaking, it means that one assumes that the "local topology" is "spherical" : Inside the Schwarschild sphere, a "smaller sphere is supposed to be located", an so on, up to the "geometrical center" of the object.
Later the model was extended to axially symmetric geometry (Kerr metric). But this extension brings no fundamental conceptual change. That's for we are going to concentrate in the following on spherically symmetric system (we think that this study could be later extended to the Kerr metric).
It is a little bit strange that such very dense object can be decribed through a solution of equations (2), which a priori refers to an empty portion of the Universe where there is no matter-energy.
If one keeps the
description (a peculiar choice of coordinates), many difficulties arise. For example, when r tends to Rs the grr term tends to infinite.
The signature of the metric, expressed with this peculiar choice of coordinates is : ( + - - - ) for r > Rs ( - + - - ) for r < Rs
When a test particle penetrates inside the Schwarzschild's sphere its mass becomes imaginary and the its velocity larger that the light velocity : it becomes a tachyon.
Considering the change of signature, some people said :
- No problem : Inside the Schwarzschild's sphere r just becomes the time an
Remarquons que cette représentation des géodésiques dans un plan
n’est pas isométrique. Si l’on mesure la longueur dans ce plan, elle ne correspond pas à la longueur telle qu’elle est mesurée sur la surface.
Si l’on impose que la longueur ( dS ) soit réelle, on constate qu’elle détermine ce que l’on pourrait appeler la topologie locale. Appelons une telle structure géométrique un pont toroïdal. On peut également dire que cette surface possède une topologie toroïdale locale. Elle possède un seul pli, qui peut être considéré comme l’union de deux demi-plis bornés, les deux étant collés le long de leurs bordures circulaires, le long du cercle du col, dont le périmètre est ( 2R_s ). Ces cercles ne sont pas des lignes géodésiques (à l’exception de ce géodésique particulier qu’est le cercle du col, le seul fermé). Sur chaque demi-pli, lorsque la distance par rapport au « pont toroïdal » tend vers l’infini, la métrique tend vers la métrique euclidienne (2). Sur la figure 2, correspondant à une représentation en ([r, \theta]), les portions supérieures des géodésiques traversant le cercle du col ont été représentées par des lignes continues, tandis que les portions correspondant à l’autre demi-pli ont été représentées par des lignes pointillées. Remarquons qu’un demi-pli correspond à ((\theta \in [0, \pi])), d’où l’autre correspond à ((\theta \in [\pi, 2\pi])). Le cercle du col correspond à (\theta = 0). Résumé Page suivante
Cosmologie Trou noir problématique.
Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France Pour correspondance :
Résumé
En partant du modèle dit de trou noir, considéré comme une interprétation physique de la géométrie de Schwarzschild, nous réexaminons le problème du sort d'une étoile à neutrons lorsqu'elle dépasse sa limite de stabilité. Nous présentons d'abord un nouvel outil géométrique : la géométrie hypertorique, à travers des exemples en 2D et 3D (section 2). Nous montrons que les pathologies associées aux métriques, découlant de leur élément de ligne exprimé dans un système de coordonnées donné, peuvent être corrigées par un choix plus approprié formulé en termes de « topologie locale ». Par exemple, nous montrons que dans les deux exemples donnés, la surface plane 2D et l'hypersurface 3D dont les groupes d'isométrie sont O2 et O3, ne sont pas simplement connexes.
Nous étendons la méthode à la géométrie de Schwarzschild. Nous montrons que les singularités peuvent être entièrement éliminées en considérant une hypersurface espace-temps non simplement connexe. Nous donnons à la géométrie de Schwarzschild une signification physique différente : un pont reliant deux univers, le nôtre et un univers jumeau.
Nous montrons que le « gel du temps », pilier du modèle de trou noir, est une simple conséquence d'un choix arbitraire d'un marqueur de temps particulier. En utilisant un autre marqueur, inspiré des travaux d'Eddington (1924), nous dérivons un scénario complètement différent, impliquant un entraînement radial (similaire à l'entraînement azimutal du métrique de Kerr). Nous montrons que la solution de Schwarzschild peut être interprétée comme un « pont spatial », reliant deux univers, deux espaces-temps, agissant comme un pont à sens unique. Nous montrons que le temps de transit d'une particule-test est fini et court, ce qui rend immédiatement le modèle classique de trou noir problématique.
En étendant le groupe d'isométrie de la métrique de Schwarzschild, nous montrons que les deux univers sont énantiomorphes (symétriques par P) et possèdent des marqueurs de temps opposés (t* = - t). En utilisant un outil de théorie des groupes : l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments, nous donnons une signification physique à cette « inversion du temps », à travers la surface de gorge sphérique, la sphère de Schwarzschild : lorsqu'une particule de masse positive traverse le pont spatial, sa contribution au champ gravitationnel est inversée : m* = -m (comme l'a montré J.M. Souriau en 1974, l'inversion du marqueur de temps est équivalente à l'inversion de la masse et de l'énergie).
Comme la question du sort d'une étoile à neutrons déséquilibrée reste un problème ouvert, nous présentons un projet de modèle alternatif : le transfert hyperspatial d'une partie de sa matière à travers un pont spatial, cette matière s'écoulant vers l'univers jumeau à une vitesse relativiste.
En passant, nous rappelons quelques défauts bien connus du modèle de Kruskal, notamment le fait qu'il n'est pas asymptotiquement lorentzien à l'infini.
Nous suggérons de considérer la géométrie de Schwarzschild comme une hypersurface plongée dans un espace à dix dimensions. En reliant ce travail à des travaux antérieurs fondés sur la théorie des groupes, nous construisons un modèle symétrique CPT. La dualité matière-antimatière est conservée dans les deux plis. Lorsqu'une matière est transférée vers l'univers jumeau, elle subit une symétrie CPT et sa masse (sa contribution au champ gravitationnel) est inversée. Mais elle reste de la matière. De même, l'antimatière s'écoulant dans le pont spatial reste de l'antimatière, avec une masse opposée, car l'inversion du marqueur de temps, comme l'a montré Souriau, implique l'inversion de la masse.
- Le modèle de trou noir.
Les étoiles à neutrons ne peuvent pas dépasser une masse critique, proche de 2,5 masses solaires. Pour des masses plus élevées, leur matière ne peut plus supporter la pression interne énorme due à la force gravitationnelle. Alors, s'ensuit un effondrement gravitationnel. Pendant longtemps, les théoriciens ont tenté de décrire le sort d'un tel objet. En examinant la métrique de Schwarzschild, ci-après exprimée en termes de
coordonnées, où Rs est le rayon de Schwarzschild dit « de Schwarzschild » (1),
on imaginait que cette solution de l'équation d'Einstein :
(2) S = 0
avec un second membre nul pouvait résoudre le problème. En effet, si t est choisi comme « temps cosmique d'un observateur extérieur », le temps de chute libre d'une particule-test suivant une « géodésique radiale », depuis un point éloigné de la sphère de Schwarzschild r = Rs, est trouvé infini, tandis que ce temps de chute libre Ds, exprimé en temps propre, reste fini. Alors la « description physique » est la suivante :
-
L'objet (une étoile à neutrons ayant dépassé sa limite de stabilité) subit un effondrement gravitationnel. Sa masse tombe rapidement vers « le centre géométrique du système », décrit comme une « singularité centrale ». Ce phénomène s'étend sur une durée finie Ds, en termes de temps propre s.
-
Mais, pour un « observateur extérieur », situé à une certaine distance de l'objet, ce processus semble « figé dans le temps ». En outre, la sphère de Schwarzschild est une surface de décalage vers le rouge infini (en raison de la nullité du terme gtt de la métrique en r = Rs).
C'est le modèle d'un trou noir sphériquement symétrique.
r est identifié à une « distance radiale », ce qui signifie qu'on peut penser à « ce qui se trouve à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild ». Grossièrement, cela signifie qu'on suppose que la « topologie locale » est « sphérique » : à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, on suppose qu'une « petite sphère est située », et ainsi de suite, jusqu'au « centre géométrique » de l'objet.
Plus tard, le modèle a été étendu à la géométrie axialement symétrique (métrique de Kerr). Mais cette extension n'apporte aucune modification conceptuelle fondamentale. C'est pourquoi nous allons nous concentrer dans la suite sur les systèmes sphériquement symétriques (nous pensons que cette étude pourra ultérieurement être étendue à la métrique de Kerr).
Il est un peu étrange qu'un objet aussi dense puisse être décrit par une solution des équations (2), qui a priori fait référence à une portion vide de l'Univers où il n'y a pas de matière-énergie.
Si l'on conserve la description (un choix particulier de coordonnées), de nombreuses difficultés surgissent. Par exemple, lorsque r tend vers Rs, le terme grr tend vers l'infini.
La signature de la métrique, exprimée avec ce choix particulier de coordonnées, est : ( + - - - ) pour r > Rs ( - + - - ) pour r < Rs
Lorsqu'une particule-test pénètre à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, sa masse devient imaginaire et sa vitesse supérieure à celle de la lumière : elle devient une tachyone.
En considérant le changement de signature, certaines personnes ont dit :
- Pas de problème : à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, r devient simplement le temps et t la distance radiale.
Un cosmologiste français, Jean Heidmann, a coutume de dire : « Quand on pense aux trous noirs, il faut abandonner tout bon sens ».
En passant, il y a très peu de candidats aux trous noirs, ce qui est le point le plus troublant. En effet, les supernovae, les naines blanches et les étoiles à neutrons avaient été prédites avant d'être observées. Par exemple, Fritz Zwicky a présenté le modèle de supernova dans une célèbre conférence donnée au Caltech en 1931, avant que personne ne l'ait observé. Mais des années après des années, le modèle a été confirmé et nous connaissons maintenant des centaines de ces objets. Même chose pour les étoiles à neutrons en rotation, identifiées aux pulsars. Pourquoi si peu de trous noirs observés ?
Quoi qu'il en soit, les astrophysiciens croient que les trous noirs existent, même s'il y a si peu de données observationnelles à leur sujet. Ils « utilisent » des modèles de « géants trous noirs », supposés se trouver au centre des galaxies ou des amas de galaxies, pour « expliquer » certaines de leurs caractéristiques dynamiques énigmatiques.
Dans la suite, nous souhaitons suggérer un sort différent pour les étoiles à neutrons ayant dépassé leur limite de stabilité. Commençons par présenter de nouveaux outils géométriques.
- Géométrie hypertorique.
Considérons la métrique riemannienne g, en deux dimensions, dont l'élément de ligne, écrit avec un ensemble de deux coordonnées [ r , j ] est :
(3)
où :
est défini sur R, modulo 2 .
Rs est une constante.
Cette métrique devient asymptotiquement euclidienne lorsque r tend vers l'infini :
(4)
Dans ce système particulier de coordonnées, la signature est : ( + , + ) pour r > Rs ( - , + ) pour r < Rs
Le déterminant :
(5)
devient infini pour r = Rs . Montrons que cela est dû à ce choix particulier de coordonnées. Introduisons le changement de coordonnées suivant :
(6)
L'élément de ligne devient (7)
dont le déterminant associé est :
(8)
Il ne s'annule plus pour toutes les valeurs (ce qui montre par ailleurs que, dans une métrique, la nullité du déterminant de l'élément de ligne dépend du choix du système de coordonnées, comme l'a montré Eddington en 1924 (réf.[10]) pour la métrique de Schwarzschild). Lorsque tend vers zéro (ce qui correspond à
ce déterminant tend vers :
varie de -infini à +infini, ce qui équivaut à r ³ Rs
La métrique g, quelle que soit le système de coordonnées choisi, décrit une surface, un objet à deux dimensions. Cette dernière possède son système de géodésiques, fondamentalement invariant par rapport aux coordonnées. Étudions ce système dans un système de coordonnées via les équations de Lagrange. Introduisons la fonction F suivante :
(9)
Les équations de Lagrange correspondantes sont :
(10)
(11)
L'équation (11) donne :
(12)
h étant positif, négatif ou nul. En outre, si dans (3) on divise les deux membres par , on obtient, classiquement :
(13)
à partir de laquelle on peut dériver l'équation différentielle qui décrit les géodésiques planes, dans le système de coordonnées :
(14)
La condition |h| £ r, selon (12), signifie que la valeur absolue du cosinus de l'angle entre la tangente à la géodésique et le vecteur radial est £ 1.
Maintenant, plaçons la surface dans R3, en ajoutant une coordonnée d'immersion supplémentaire z. Nous choisissons des coordonnées cylindriques
La surface est axialement symétrique par rapport à l'axe z.
Les géodésiques ( = constante) sont les lignes méridiennes de cette surface, où :
(15)
ce qui donne immédiatement l'équation de la courbe méridienne de cette surface, plongée dans R3. Il s'agit de la parabole :
(16)
La figure 1 montre une vue en 3D de cette surface, plongée dans R3, accompagnée d'une géodésique et de sa projection sur un plan avec des coordonnées polaires.
Cette surface n'est pas simplement connexe. Parmi les orbites du groupe d'isométrie O2, on trouve un cercle de périmètre minimal : le cercle de gorge (p = 2 Rs).
Fig. 1 : La surface, plongée dans R3
et sa représentation dans un système de coordonnées.
Sur la figure 2, plusieurs géodésiques sont montrées, dans ce système de représentation.
Fig. 2 : Représentation de certaines géodésiques. Fig 3 : Une géodésique particulière, traversant le cercle de gorge.
Remarquez que cette représentation des géodésiques dans un plan n'est pas isométrique. Si nous mesurons la longueur sur ce plan, elle ne correspond pas à la longueur mesurée sur la surface.
Si nous imposons que la longueur dS soit réelle, nous voyons qu'elle détermine ce que nous pourrions appeler la topologie locale. Appelons une telle structure géométrique un pont toroïdal. Nous pouvons aussi dire que cette surface possède une topologie toroïdale locale. Elle possède une seule pliure, pouvant être considérée comme un ensemble de deux demi-pliures bornées, les deux étant collées le long de leurs bords circulaires le long du cercle de gorge, dont le périmètre est 2 Rs. Ces cercles ne sont pas des lignes géodésiques (sauf cette géodésique très particulière qui est le cercle de gorge, la seule fermée). Sur chaque demi-pliure, lorsque la distance par rapport au « pont toroïdal » tend vers l'infini, la métrique tend vers la métrique euclidienne (2). Sur la figure 2, correspondant à une représentation [ r , ] , les parties supérieures des géodésiques traversant le cercle de gorge sont représentées par des lignes continues, tandis que les parties correspondant à l'autre demi-pliure sont représentées par des lignes pointillées. Notez qu'une demi-pliure correspond à ( ) , d'où l'autre correspond à ( ) . Le cercle de gorge correspond à = 0 . Résumé Page suivante
Version originale (anglais)
Cosmology Questionable black hole.
Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France For correspondance :
Abstract
Starting from the so called black hole model, considered as a physical interpretation of Schwarzschild geometry, we reconsider the problem of the fate of a neutron star when it overcomes its limit of stability. We first present a new geometric tool : hypertoric geometry, through 2d and 3d examples (section 2). We show that pathlogies associated to metrics, arising from their line element expressed in a given coordinate system can be cured through a more suitable choice phrased in terms of "local topology". For example we show that in the two given examples, the 2d surface and 3d hypersurface, whose isometry groups are O2 ans O3, are not simply connected.
We extend the method to Schwarzschild geometry. We show that singular features can be fully eliminated, considering not simply connected space time hypersurface. We give the Schwarzschild geometry a different physical significance : a bridge linking two universes, ours and a twin universe.
We show that the "freeze of time", keystone of the black hole model, is a simple consequence of an arbitrary peculiar time marker choice. Using another one, inspired by Eddington's work (1924) we derive a completely different scenario, implying a radial frame dragging (similar to the azimutal frame dragging of the Kerr metric). We show that the Schwarzschild solution can be interpreted as a "space bridge", linking two universes, two space-times, working as a one way bridge. We show that the transit time of a test particle is finite and short, which immediately makes the classical black hole model questionable.
Extending the isometry group of the Schwarzschild metric we show that the two universes are enantiomorphic (P-symmetric) and own opposite time markers (t* = - t). Using a groups' tool : the coadjoint action of a group on its momentum space, we give the physical significance of this "time inversion", through the spherical throat surface, the Schwarzschild sphere : when a positive mass particle passes through the space bridge, its contribution to the gravitational field is inversed : m* = -m (as shown by J.M.Souriau in 1974, the inversion of the time marker is equivalent to mass and energy inversions).
As the question of the fate of a destabilized neutron star becomes a still open problem, we present a project of an alternative model : the hyperspatial transfer of a part of its matter, through a space bridge, this matter flowing towards the twin universe at relativistic velocity.
By the way we recall some well-known defects of the Kruskall model, particularly the fact that it is not symptotically Lorentzian at infinite.
We suggest to consider Schwarzschild geometry as an hypersurface imbeded in a ten dimensional space. Linking the present work to former ones, based on group theory, we build a CPT symmetric model. The matter antimatter duality holds in both folds When matter is transfered towards twin Unverse, it undergoes a CPT-symmetry and its mass (its contribution to the gravitional field) is reversed. But its is still matter. Similarly, antimatter flowing in space bridge remains antimatter, with opposite mass, for the inversion of the time marker, as shown by Souriau, implies the inversion of the mass.
- The black hole model.
Neutron stars cannot exceed a critical mass, close to 2.5 solar masses. For higher masses, their material cannot stand any longer the huge internal pressure due to gravitational force. Then gravitational collapse occurs. For a long time, theoreticians tried to describe the fate of such an object. Looking at the Schwarzschild metric, hereafter expressed in terms of
coordinates, where Rs is the so called Schwarzschild radius (1)
people imagined that this solution of the Einstein's equation :
(2) S = 0
with zero second member could solve the problem. In effect, if t is chosen as " the cosmic time of an "external observer", the free fall time of a test-particle, following a "radial geodesic", from any distant point from the Schwarzschild sphere r = Rs is found to be infinite, while this free fall time Ds, expressed in proper time remains finite. Then the "physical description" is the following :
-
The object (a neutron star which overcomes its limit of stability) undergoes a gravitational collapse. Its mass falls rapidly towards "the geometric center of the system", described as a "central singularity". This phenomenon extends over a finite duration Ds, in terms of proper time s.
-
But, for an "external observer", located at some distance from the object, this process looks to be "frozen in time". Furthermore the Schwarzschild sphere is an infinite redshift surface (due to the nullity of the gtt term of the metric at r = Rs).
This is the model of a spherically symmetric black hole.
r is identified to a "radial distance", which means that one can think about "what's inside the Schwarzschild sphere". Roughly speaking, it means that one assumes that the "local topology" is "spherical" : Inside the Schwarschild sphere, a "smaller sphere is supposed to be located", an so on, up to the "geometrical center" of the object.
Later the model was extended to axially symmetric geometry (Kerr metric). But this extension brings no fundamental conceptual change. That's for we are going to concentrate in the following on spherically symmetric system (we think that this study could be later extended to the Kerr metric).
It is a little bit strange that such very dense object can be decribed through a solution of equations (2), which a priori refers to an empty portion of the Universe where there is no matter-energy.
If one keeps the
description (a peculiar choice of coordinates), many difficulties arise. For example, when r tends to Rs the grr term tends to infinite.
The signature of the metric, expressed with this peculiar choice of coordinates is : ( + - - - ) for r > Rs ( - + - - ) for r < Rs
When a test particle penetrates inside the Schwarzschild's sphere its mass becomes imaginary and the its velocity larger that the light velocity : it becomes a tachyon.
Considering the change of signature, some people said :
- No problem : Inside the Schwarzschild's sphere r just becomes the time an t the radial distance.
A french cosmologist, Jean Heidmann, uses to say : "when we think about black holes, we have to give up any common sense".
By the way, they are very few black hole candidates, which is the most the more puzzling point. In effect, supernovæ, white dwarfs and neutron stars where predicted before they were observed. Ford example, Fritz Zwicky presented the supernova model, in a famous lecture given in Caltech in 1931 before anyone was observed. But years after years the model was confirmed and we now known hundreds of them. Same thing for rotating neutron stars, identified to pulsars. Why so few observed black holes ?
Anyway, astrophysicists believe than black holes do exist, even if ther is so few observational data about them. They "use" models of "giant black goles", supposed to be located at the center of galaxies or clusters of galaxies, to "explain" some of their puzzling dynamicals features.
In the following, we would like to suggest a different fate for neutrons stars which overcome their limit of stability. Let us start to introduce new geometrical tools.
- Hypertoric geometry.
Consider the following riemanian metric g , in two dimensions, whose line element, written with a set of two coordinates [ r , j ] is :
(3)
where :
is defined on R, modulo 2 .
Rs is a constant.
This metric becomes asymptotically euclidean when r tends to infinite :
(4)
In this peculiar
coordinates system the signature is : ( + , + ) for r > Rs ( - , + ) for r < Rs
The determinant :
(5)
becomes infinite for r = Rs . Let us show that this is due to this peculiar choice of coordinates. Introduce the following change of coordinate :
(6)
The line element becomes (7)
whose associated determinant is :
(8)
It no longer vanishes for all values (which by the way shows that, in a metric, the nullity of the line element's determinant depends on the choice of the coordinate system, as evidenced by Eddington in 1924 (ref.[10]) for Schwarzschild's metric). When tends to zero (which corresponds to
this determinant tends to :
varies from - infinite to + infinite which is equivalent to r ³ Rs
The metric g ,whatever the chosen coordinates system is, describes a surface, a two dimensional object. This last owns its geodesic system, basically coordinate-invariant. Let us study this system in a
coordinates system through Lagrange equations system. Introduce the following F function :
(9)
The corresponding Lagrange equations are :
(10)
(11)
The equation (11) gives :
(12)
h being positive, negative or zero. In addition if in (3) we divide the two members by , we get, classically :
(13)
from which we may derive the differential equation which describes the plane geodesics, in the
coordinates system :
(14)
The condition IhI £ r , according to (12), means that the absolute value of the cosine of the angle between the tangent to the geodesic and the radial vector is £ 1.
Now let us imbed the surface in R3, adding an imbedding additional coordinate z. We choose cylindrical coordinates
The surface is axisymmetric with respect to the z-axis.
The ( = constant ) geodesics are the meridian lines of this surface, where :
(15)
which immediatly gives the equation of the meridian curve of this surface, as imbedded in R3. It is the parabola :
(16)
Figure 1 shows a 3d view of this surface, as imbedded in R3, plus one geodesic and its projection on a plane with
polar coordinates.
This surface is not simply connected. Among the orbits of the isometry group O2 we find a minimum perimeter circle: the throat circle (p = 2 Rs).
Fig. 1 : The surface, as imbedded in R3
**and its representation in a **
coordinate system.
On figure 2 several geodesics are shown, in this
representation system.
**Fig. 2 : ** representation of some geodesics. **Fig 3 **: A peculiar geodesic, crossing the throat circle.
Notice that this representation of geodesics in a plane
is not isometric. Is we measure the length on this plane, it does not correspond to the length as measured on the surface.
If we impose the length dS to be real, we see that it determines what we could call the local topology . Let us call such geometric structure a toroidal bridge . We can also say that this surface owns a *local toroidal topology *. It owns a single fold, which can be considered as a set of two bounded half-folds, the two being glued along their circular borders along the throat circle, whose perimeter is 2 Rs . These circles are not geodesic lines (except thhis very peculiar geodesic which is the throat circle, the only closed one). On each half-fold, when the distance with respect to the "toroidal bridge" tends to infinite the metric tends to the euclidean one (2). On the figure 2, corresponding to a [ r , ] representation, the upper portions of the geodesics crossing the throat circle have been figured as a continuous lines, while the portions corresponding to the other half-fold have been figured as dotted lines. Notice that one half-fold corresponds to ( ) , whence the other corresponds to ( ) . The throat circle corresponds to = 0 . Summary Next page