Odwrócenie sfery i wcięcie butelki Kleina

Odwrócenie sfery

7 grudnia 2004

strona 1

Wprowadzenie.

Będziemy rozważać w dalszej części zamknięte powierzchnie, takie jak sfera, torus i inne. Są to powierzchnie w sensie, w jakim ich rozumie zwykły człowiek, czyli obiekty dwuwymiarowe przedstawiane w trójwymiarowym przestrzeni euklidesowej R3, czyli naszej przestrzeni poznawczej. Takie powierzchnie mogą być przedstawiane na różne sposoby. Jeśli nie przecinają same siebie, mówimy, że są zanurzone (w R3). Jeśli się przecinają, mówimy o wcięciu, a ten punkt przecięcia oznacza istnienie zbioru samoprzecięć (self-intersection).

W przypadku zanurzeń zakładamy, że płaszczyzna styczna zmienia się ciągle, a powierzchnia nie ma osobliwości, jak np. szczyt stożka. Nasze powierzchnie będą regularne.

W przypadku wcięć żądamy, by wzdłuż linii samoprzecięć płaszczyzny styczne do powierzchni, które się przecinają, były różne.

Świat geometrii, taki, jaki go postrzega matematyk, jest dość inny niż świat fizyczny. To, że powierzchnie mogą się samoprzecinać, nie stanowi dla niego żadnego problemu. Świat fizyczny nie pozwala na takie rzeczy. Jednak w świecie metafizycznym jest to możliwe. W Biblii czytamy, że gdy umarli odbudują się, będą mieli „ciała chwalebne”. Mogą wtedy przechodzić przez wszystko i w zasadzie mogą się samoprzecinać. Tak więc, gdy nadejdzie czas Ostatniego Sądu, jeśli spacerujesz po Rzymie w postaci ciała chwalebnej, zgubiłeś się i szukasz Piazza Navona, możesz być pokuszony, by zapytać o drogę innego zmartwychwstałego, który wygląda jak ty. Załóżmy, że osoba, którą pytasz, idzie w kierunku przeciwnym do tej placy. W zwykłym świecie fizycznym musiałby się obrócić, by wskazać kierunek. Ale jeśli porusza się w postaci ciała chwalebnej, nie musi się obracać. Może wskazać palcem na swoje pępki i przejść przez siebie. Gdy jego dłoń pojawi się ponownie z tyłu, nie będzie miał nic innego do zrobienia, jak powiedzieć: „tamto”. Wchodząc ramieniem przez brzuch stworzył w swoim ciele zbiór samoprzecięć składający się z dwóch okręgów, który zniknie, gdy przyjmie normalną konfigurację.

Jeśli człowiek zamknie usta, założy kleszcze na nos, by zasłonić go, i zignoruje inne naturalne otwory, jego powłoka ciała przyjmuje topologię sfery S2. Wyobraźmy sobie istotę zmartwychwstałą w postaci ciała chwalebnej, której naturalne otwory są zasłonięte. Wiemy, że może się samoprzecinać, czyli że jej powłoka może przejść z sytuacji zanurzenia do sytuacji wcięcia. Jednym z problemów metafizycznych, które się pojawiły, było pytanie, czy zmartwychwstała postać w postaci ciała chwalebnej może się odwrócić, nie powodując złożenia.

Mała uwaga na marginesie. Magicy wiedzą, jak używać „magicznych okręgów”, które mogą się przenikać „magicznie”. Można wyobrazić sobie przedstawienie powierzchni za pomocą „magicznego siatki”, gdzie dwie powierzchnie, przedstawione tu jedna czarna, a druga różowa, mogą się przenikać bez trudności.

Magiczna siatka

W każdym razie trzeba przyznać, że często nie ma wielkiej różnicy między matematyką a magią. Przez dwadzieścia lat temu stworzyłem komiks: Topologicon. Jest on teraz wyczerpany i niemożliwy do znalezienia, poza jako przedmiot kolekcjonerski. Na jednej ze stron można było zobaczyć to:

Niestety wydawnictwo Belin postanowiło porzucić tę serię. Trzeba przyznać, że przy koszcie produkcji nieco ponad jeden euro, sprzedaż albumów po 13 euro (plus koszty wysyłki), w sprzedaży korespondencyjnej, nie odpowiada bardzo jasnej strategii handlowej, zwłaszcza jeśli chodzi o czarno-białe wydania, skoro zysk wynosił ponad 92% ceny sprzedaży.

Rozważmy sferę S2 zanurzoną w R3. Zakładamy, że jej powierzchnia zewnętrzna jest szara, a wnętrze ma kolor stary róż. Możemy naciskać dwa punkty antypodalne, które nazwiemy dowolnie „biegunem północnym” i „biegunem południowym”, aż do ich zetknięcia w jednym punkcie. Można to zrobić np. z donutem. Gdy chodzi o matematyczny donut (nie wiemy, czy donuty odbudowują się jako ciała chwalebne), po zetknięciu się dwóch biegunów, mogą się samoprzeciąć wzdłuż krzywej samoprzecięć, która ma kształt okręgu. Z góry powiemy, że ta powierzchnia doznała katastrofy typu Do.

Można być pokuszony, by spróbować odwrócić donut, sferę, kontynuując operację. Ale wtedy powstanie wybrzuszenie, które degeneruje się w brzydkie złożenie, bardziej precyzyjnie powierzchnię odwrócenia (rys. d).

Na początku lat pięćdziesiątych pytanie, czy można odwrócić metafizyczne donuty bez złożenia, pozostało nierozwiązane. W rzeczywistości wszyscy uważali, że jest to niemożliwe. Ale w 1957 roku matematyk Stephen Smale (otrzymał medal Fields, ale za zupełnie inny wynik) udowodnił, że różne wcięcia sfery S2 w R3 tworzą jedno zbiorowe, i że zawsze można znaleźć ciąg ciągłych deformacji wcięć (zwanych również regularną homotopią), który pozwala przejść od jednej konfiguracji do drugiej. Wniosek był taki, że można przejść za pomocą ciągłego ciągu wcięć od standardowego zanurzenia sfery S2 do zanurzenia antypodalnego. Inaczej mówiąc: można odwrócić sferę bez złożenia, pod warunkiem, że pozwoli się jej samodzielnie odwrócić.

Szefem Smale’a był Raoul Bott. Ten zapytał swojego ucznia, jak się do tego zabrać, a Smale odpowiedział, że nie ma pojęcia, ale że jego twierdzenie jest całkowicie niepodważalne. Smale nie widział w przestrzeni, ale mu to nie przeszkadzało (jak to często bywa u geometrów). I jeśli mówić szczerze, po udowodnieniu twierdzenia, nie przejmował się wcale sposobem, w jaki można by to zrealizować, i szybko zajął się innym tematem, zostawiając kolegów matematyków w zupełnym zdumieniu. Uważam, że to niezbyt sympatyczne, żeby stworzyć problem i zostawić ludzi, by sami znaleźli rozwiązanie, dziesięć lat później.

Trzeba przyznać, że trudno wyobrazić sobie wcięcia w głowie. Mimo to znamy powierzchnie, które można przedstawić w R3 tylko w ten sposób. Na przykład butelka Kleina.

Butelka Kleina

Została tu przedstawiona za pomocą siatki – układu współrzędnych składającego się z dwóch zestawów zamkniętych krzywych, podobnie jak torus. Można tak zaszyć butelkę Kleina bez powstawania osobliwości siatki. Ale jak widać, ta powierzchnia musi się samoprzecinać wzdłuż zamkniętej krzywej, okręgu. Nie można więc zanurzyć butelki Kleina w R3. Spróbowałem – nie udało się. Można ją tylko wciąć. Dzięki moim umiejętnościami rysowania możesz dość dobrze wyobrazić sobie ten obiekt. Ale gdy chodziło o odwrócenie sfery, trzeba było rozważyć znacznie bardziej skomplikowane konfiguracje. Sposób ich przedstawienia nie był najwygodniejszy. Niektórzy używali plasteliny. Gdy ich widziano rozmawiających na konferencjach, zazwyczaj odchodzili na bok i otwierali przed kolegami pudełka na buty lub kapelusze, zawierające obiekty bardziej lub mniej okrutne. Rysunek powyżej przypomina najwygodniejszy sposób budowania i manipulowania tymi obiektami: za pomocą „miedzianego drutu”, stopu, który jest wystarczająco giętki, by można go było wygiąć bez trudności, ale który nadal zachowuje elastyczność. Najlepszym sposobem jest więc wytworzenie punktów przecięć linii (zalecam drut o średnicy 2 mm), które przytwierdza się za pomocą nitów. Zaletą jest to, że można je przesuwać, przynajmniej do momentu, gdy obiekt przyjmie ostateczną formę. Następnie można zapobiec dalszemu przesuwaniu za pomocą kropki kleju.

W praktyce rzadko się zdarza, że trzeba używać butelek Kleina. Poniżej zdjęcie butelki Kleina, którą używam do własnych potrzeb.

Te obiekty, jeśli ma się choć trochę czucia formy, są dość piękne. Zrobiłem kilka, kiedy byłem profesorem rzeźby na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence. Ale przed przejściem do tej techniki było wiele prób, mieszając miękką drutę i karton, co dawało wyniki estetycznie bardzo wątpliwe. Pamiętam, że kiedyś musiałem jechać pociągiem z Marsylii do Paryża, by przynieść do mojego zmarłego przyjaciela, matematyka André Lichnérowicza, kilka powierzchni, które udało mi się odpowiednio przedstawić. W szczególności była tam powierzchnia Boya, na którą nakleiłem mapę skupioną wokół jednego bieguna. Na końcu powstał niesamowicie piękny obiekt, który przez dwadzieścia lat był wystawiony w sali pi w Palais de la Découverte w Paryżu. Ale rok temu dyrekcja Muzeum uznała, że ta powierzchnia przestała być modne, i teraz leży w piwnicy lub strzelnicy. Mam nadzieję, że nie została zgnieciona podczas transportu. Wszystko to, by powiedzieć, że teraz nie możesz zobaczyć powierzchni Boya nigdzie, poza książkami lub na CD-ROM-ie, na którym zapisane są moje 18 komiksów naukowych w formacie pdf, w tym Topologicon. Jak zdobyć ten CD-ROM.

Wróćmy jednak do mojej podróży z Marsylii do Paryża. Już miałem dwie walizki, i postanowiłem wziąć ze sobą trzy modele. Jedynym rozwiązaniem było zawieszenie ich na szyi. Ale kiedy przeszedłem przez hol dworca i zobaczyłem, jak ludzie na mnie patrzyli, zrozumiałem, że myślą, iż mam do czynienia z szalonym, który dostał z zakładu wypuszczenie. Byłoby bez sensu próbować im to wyjaśnić, i musiałem znosić to cierpienie z jak największą godnością.

Ciekawe jest, że ludzie budujący takie rzeczy są dość rzadki. W Ameryce był matematyk o imieniu Charles Pugh, pracujący w dziale matematyki Uniwersytetu Berkeley. Mam okazję ponownie o nim wspomnieć. Pugh był absolutnie genialny w robieniu siatek dla kur, ale ja zawsze wolałem technikę miedzianego drutu.

Wróćmy do tematu odwrócenia sfery. Pierwszy, który rozwiązał ten problem, był geometryk Anthony Phillips. Opublikował swój wynik, czyli ciąg rysunków, w numerze Scientific American w 1967 roku. Istnieje kilka sposobów odwrócenia sfery. Jednym z nich jest doprowadzenie każdego punktu sfery do pokrycia się z punktem antypodalnym. Wtedy przyjmuje ona kształt powierzchni Boya. Zawsze marzyłem o znalezieniu sponsora, by stworzyć piękną rzeźbę, która przedstawiałaby glob ziemski złożony w powierzchnię Boya. Nie mogąc stworzyć obiektu, zrobiłem ilustrację okładki Topologicon:

Złożony glob ziemski na powierzchni Boya

W takiej konfiguracji, jeśli wydrążysz dziurę na biegunie północnym, natychmiast wyjdzie się po drugiej stronie, na biegunie południowym, ponieważ te dwa punkty są antypodalne. Francuz, który wydrążyłby dziurę w piwnicy, znalazłby się w Nowej Zelandii itd.

Wersja znaleziona przez Anthony Phillips polegała na opisaniu sposobu, w jaki sfera przyjmuje postać dwuwarstwowej powierzchni nakładającej się na powierzchnię Boya, która oczywiście jest jednostronna. Gdybyśmy mieli magiczny produkt, przezroczystość, który nadałby powierzchniom zdolność do samoprzecinania się, wystarczyłoby połączyć każdy punkt z punktem antypodalnym za pomocą drutu, który skurczyłby się do długości zerowej. Gdy trudno jest przedstawić tę transformację, można jednak zainteresować się częścią sfery, np. jej sąsiedztwem równikowym. Tak właśnie zrobiono w poniższych animacjach. Ta powierzchnia, mająca dwa okrągłe brzegi, przypomina obudowę rowerową. Zaznaczono trzy promienie, połączone z punktami przeciwległymi. Przybliżając długość tych promieni do zera, ta dwustronna taśma przyjmie postać dwuwarstwowej powierzchni nakładającej się na taśmę Möbiusa z trzema półobrotami. Poniżej dwie dość surowe animacje. Lewa jest powolna, prawa szybka.

Ta taśma Möbiusa z trzema półobrotami to „sąsiedztwo równikowe” powierzchni Boya. Na tej taśmie owija się równik sfery.

„Równik” powierzchni Boya

Punkty biegunowe sfery pokrywają się z jednym biegunem powierzchni. Ta powierzchnia, podobnie jak butelka Kleina, nie może być zanurzona w R3. Może być tylko przedstawiona jako wcięcie. Ma wtedy zbiór samoprzecięć w kształcie trójłopatowej śruby, której końce przypominają „tarcze” trzech „uszu”. W poniższych ilustracjach znajdziesz elementy pomagające lepiej „odczytać” tę powierzchnię. W razie problemu, zdobądź Topologicon.

Na górze i po lewej stronie powierzchnia Boya. Ponieważ jest to powierzchnia jednostronna, nie można używać dwóch kolorów. W b zbiór samoprzecięć, trójlistny, przypominający łopaty śruby w b. Krzywa przecina się w jednym punkcie potrójnym T. Następujące rysunki mają pomóc czytelnikowi zorientować się.

Wszystko jest dobre, by ilustrować strukturę powierzchni: paski, montaż z częściami. Widzimy, że rzeźbiarz znalazłby w tym naprawdę fascynującym obiekcie swoje szczęście. Słowo na marginesie o historii. W 1901 roku student wielkiego niemieckiego matematyka Hilberta, Werner Boy, przedstawił mu powierzchnię, o której nikt wcześniej nie myślał. Wakacje były już blisko. Hilbert powiedział swojemu uczniowi:

*- Ten problem wydaje mi się interesujący. Jeśli chcesz, przyjdź mi z powrotem na wakacje, omówimy go. *

Wakacje minęły, ale na wakacje Boy nie wrócił. Po dwóch miesiącach Hilbert spróbował go znaleźć. Inni studenci podali mu adres, i Hilbert tam pojechał. Ale gospodyni powiedziała mu, że młody Werner Boy oddał klucze przed letnimi wakacjami i nie wrócił. Wszystkie poszukiwania, by go odnaleźć, okazały się bezskuteczne, tak samo jak poszukiwania członków jego rodziny. Zniknął całkowicie. Jeśli odwiedzisz Niemcy, nie spodziewaj się odwiedzić grobu tego sławnego wynalazcy: nie istnieje.

Na ostatnim rysunku, w dole i po prawej stronie, przedstawiono, w białym kolorze, samą powierzchnię Boya, a w szarych i różowych kolorach – obie strony sfery, która ją pokrywa. Punkty A i A' są antypodalne na tej sferze. Zrozumiałe jest więc, jak dwuwarstwowa powierzchnia nakładająca się na powierzchnię Boya może służyć do odwrócenia sfery. Załóżmy, że mamy ciąg transformacji, regularną homotopię, która pozwoliła przekształcić sferę różową z zewnątrz, szarą z wewnątrz, w tę figurę w dole i po prawej stronie. Wystarczy wtedy zamienić dwie warstwy (przez samoprzecięcie), w tym punkty A i A', a następnie wykonać te same transformacje w odwrotnej kolejności, by uzyskać zanurzenie antypodalne tej sfery, teraz z szarą stroną z zewnątrz.

W tej samej logice można się spodziewać, że torus może przyjąć postać dwuwarstwowej powierzchni nakładającej się na ... butelkę Kleina. Oto jak wygląda ta powierzchnia.

Dwuwarstwowa powierzchnia nakładająca się na butelkę Kleina

Jeśli uda się skonfigurować torus w ten sposób, wystarczy jeszcze raz zamienić sąsiednie warstwy po obu stronach butelki Kleina (nie przedstawione