Odwrócenie sfery i wcięcie butelki Kleina

Odwrócenie sfery

7 grudnia 2004

strona 1

Wprowadzenie.

W dalszej części rozważymy zamknięte powierzchnie, takie jak sfera, torus i inne. Są to powierzchnie w sensie potocznym, czyli obiekty dwuwymiarowe przedstawiane w trójwymiarowym przestrzeni euklidesowej R3, która jest naszym przestrzenią mentalną reprezentacji. Te powierzchnie mogą być przedstawiane na różne sposoby. Jeśli nie przecinają same siebie, mówimy, że są zanurzone (w R3). Jeśli się przecinają, mówimy o wcięciu i ten punkt przecięcia będzie oznaczał obecność zbioru samoprzecięć (self-intersection).

W naszych zanurzeniach założymy, że płaszczyzna styczna zmienia się ciągle i że powierzchnia nie ma osobliwości, jak np. wierzchołek stożka. Nasze powierzchnie będą regularne.

W przypadku wcięć założymy, że wzdłuż linii samoprzecięć dwa płaszczyzny styczne do przekrywających się powierzchni są różne.

Świat geometrii, taki jak go postrzega matematyk, jest dość inny niż świat fizyczny. To, że powierzchnie mogą się samoprzecinać, nie przeszkadza mu wcale. Świat fizyczny nie pozwala na coś takiego. Ale staje się możliwe w świecie metafizycznym. W Biblii czytamy, że gdy umarli odbudują się, będą mieli „ciała chwalebne”. Mogą wtedy przechodzić przez wszystko i w zasadzie mogą się samoprzecinać. Tak więc, gdy nadejdzie czas Ostatecznego Sądu, jeśli spacerujesz po Rzymie w postaci ciała chwalebnej, zgubiłeś się i szukasz Piazza Navona, możesz mieć ochotę zapytać o drogę innego odbudowanego człowieka, który ma taką samą postać jak ty. Załóżmy, że osoba, którą pytasz, idzie w kierunku przeciwnym do tej placy. W zwykłej przestrzeni fizycznej musiałby się obrócić, by wskazać kierunek. Ale jeśli idzie w postaci ciała chwalebnej, nie musi się obracać. Może wskazać palcem na swoje pępki i sam się przejść. Gdy jego dłoń pojawi się z powrotem z tyłu, będzie miał tylko powiedzieć: „tamto jest drogą”. Wciągając rękę przez brzuch stworzył w swoim ciele zbiór samoprzecięć składający się z dwóch okręgów, który zniknie, gdy przyjmie normalną konfigurację.

Jeśli człowiek zamknie usta, przyłoży kleszcze do nosa, by go zatkować, i zaniedba inne naturalne otwory, jego powierzchnia ciała przyjmie topologię sfery S2. Wyobraźmy sobie istotę odbudowaną w formie ciała chwalebnej, której naturalne otwory są zatkane. Wiemy, że może się samoprzecinać, czyli że jego powierzchnia ciała może przejść z sytuacji zanurzenia do sytuacji wcięcia. Jednym z problemów metafizycznych, które się pojawiły, było pytanie, czy odbudowany człowiek w formie ciała chwalebnej mógłby się odwrócić bez zginania.

Mała uwaga na marginesie. Znani iluzjonistów używają „magicznych okręgów”, które mogą się przekrzyżować „magicznie”. Można wyobrazić sobie przedstawienie powierzchni za pomocą „magicznego siatki”, gdzie dwie powierzchnie, przedstawione tu jedna czarna, a druga różowa, mogą się bez problemu przekrzyżować.

Magiczna siatka

W każdym razie trzeba przyznać, że często nie ma wielkiej różnicy między matematyką a magią. Przez dwadzieścia lat temu stworzyłem komiks: Topologicon. Teraz jest wyczerpany i niemożliwy do znalezienia, poza jako przedmiot kolekcjonerski. Na jednej ze stron można było zobaczyć to:

Niestety wydawnictwo Belin postanowiło porzucić tę kolekcję. Trzeba przyznać, że z ceną produkcji nieco powyżej jednego euro, sprzedaż albumów po 13 euro (plus koszty wysyłki), w sprzedaży korespondencyjnej, bez względu na to, że dawała zysk 12 euro, czyli zysk ponad 92% ceny sprzedaży, nie była szczególnie rozsądna strategią handlową, zwłaszcza dla czarno-białych wydawnictw.

Rozważmy sferę S2 zanurzoną w R3. Załóżmy, że jej powierzchnia zewnętrzna jest szara, a wnętrze ma kolor stary róż. Możemy naciskać dwa punkty antypodalne, które nazwiemy dowolnie „biegunem północnym” i „biegunem południowym”, aż do ich połączenia w jednym punkcie. Można to zrobić np. na pączku. Gdy chodzi o pączek matematyczny (nie wiadomo, czy pączki odbudowują się czy nie w formie ciała chwalebnej), po połączeniu tych dwóch obszarów polarnych w punkcie mogą się samoprzecinać wzdłuż krzywej samoprzecięć, która ma kształt okręgu. Z góry powiemy, że ta powierzchnia doznała katastrofy typu Do.

Można być wtedy pokuszone spróbować odwrócić pączek, sferę, kontynuując operację. Ale wtedy powstanie fałd, który degeneruje się w brzydkie zgięcie, bardziej precyzyjnie powierzchnię odwrócenia (rys. d).

Na początku lat pięćdziesiątych pytanie, czy można odwrócić metafizyczne pączki bez fałdów, nadal było nierozwiązane. W rzeczywistości wszyscy uważali, że było to niemożliwe. Ale w 1957 roku matematyk Stephen Smale (otrzymał Medal Fields, ale za zupełnie inny wynik) udowodnił, że różne wcięcia sfery S2 w R3 tworzą jedno zbiorowe, i że zawsze można znaleźć ciąg ciągłych deformacji wcięć (nazywanych też regularną homotopią), które pozwalają przejść z jednej konfiguracji do drugiej. Wniosek był taki, że można przejść za pomocą ciągłego ciągu wcięć z typowego zanurzenia sfery S2 do zanurzenia antypodalnego. Mówiąc prostszym językiem: można odwrócić sferę bez fałdów, pod warunkiem, że pozwoli się jej samodzielnie się odwrócić.

Szef Smale’a nazywał się Raoul Bott. Zapytał on swojego ucznia, jak się do tego zabrać, a Smale odpowiedział, że nie ma pojęcia, ale że jego twierdzenie jest całkowicie niepodważalne. Smale nie widział w przestrzeni, ale nie przejmował się tym (jak to często bywa u geometrów). I jeśli mówić szczerze, po udowodnieniu twierdzenia, zupełnie się nie martwił, jak można by to zrealizować, i natychmiast zajął się innym tematem, zostawiając kolegów matematyków w zupełnej dezorientacji. Uważam, że to niezbyt sympatyczne, tworzyć problemy i zostawiać ludzi, by sami szukali rozwiązania, dziesięć lat później.

Trzeba przyznać, że trudno wyobrazić sobie wcięcia w głowie. Mimo to znamy powierzchnie, które nie mogą być przedstawione w R3 inaczej niż w ten sposób. Na przykład butelka Kleina.

Butelka Kleina

Została tu przedstawiona za pomocą siatki – układu współrzędnych złożonego z dwóch zestawów zamkniętych krzywych, jak torus. Można tak zaszyć butelkę Kleina bez powstawania osobliwości siatki. Ale jak widać, ta powierzchnia musi się samoprzecinać wzdłuż zamkniętej krzywej, okręgu. Nie można więc zanurzyć butelki Kleina w R3. Próbowałem, nie udało się. Można ją tylko wciąć. Dzięki moim umiejętnościami rysowania możesz dość dobrze wyobrazić sobie ten obiekt. Ale gdy chodziło o odwrócenie sfery, trzeba było rozważyć znacznie bardziej skomplikowane konfiguracje. Sposób ich przedstawienia nie był najwygodniejszy. Niektórzy używali plasteliny. Gdy ich widziano rozmawiających na konferencjach, zazwyczaj odchodzili na bok i otwierali przed kolegami pudełka na buty lub kapelusze, zawierające obiekty bardziej lub mniej potworne. Rysunek powyżej przypomina najwygodniejszy sposób budowania i manipulowania tymi obiektami: za pomocą „miedzianego drutu”, stopu, który jest wystarczająco giętki, by można go było wygiąć bez trudu, ale który nadal zachowuje elastyczność. Najlepszym sposobem jest wtedy stworzenie punktów przecięć linii (zalecam druty o średnicy 2 mm), które przytwierdza się za pomocą nitów. Zaletą jest możliwość przesuwania, przynajmniej do momentu, gdy obiekt przyjmie ostateczną formę. Następnie można zapobiec dalszemu przesuwaniu za pomocą kropli kleju.

W praktyce rzadko się zdarza, że trzeba używać butelek Kleina. Poniżej zdjęcie butelki Kleina, którą używam do własnych potrzeb.

Te obiekty, jeśli ma się choć trochę czucia formy, są dość piękne. Zrobiłem kilka takich, kiedy byłem profesorem rzeźby na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence. Ale przed przejściem do tej techniki było wiele prób, gdzie mieszałem miękkie druty i karton, co dawało wyniki estetycznie całkowicie wątpliwe. Pamiętam, że kiedyś musiałem jechać pociągiem z Marsylii do Paryża, by przynieść mojemu ukochanemu przyjacielowi, matematykowi André Lichnérowiczowi kilka powierzchni, które udało mi się wystarczająco dobrze przedstawić. W szczególności była tam powierzchnia Boya, na którą nakleiłem mapę skupioną wokół jednego bieguna. Na końcu otrzymał się absolutnie piękny obiekt, który przez dwadzieścia lat był wystawiony w sali pi w Palais de la Découverte w Paryżu. Ale rok temu dyrekcja Muzeum uznała, że ta powierzchnia przestała być modne, i teraz leży w piwnicy lub strzelnicy. Mam nadzieję, że nie została zgnieciona podczas transportu. Wszystko to, by powiedzieć, że teraz nie możesz zobaczyć powierzchni Boya nigdzie, poza książkami lub na CD-ROM-ie, na którym zapisane są moje 18 komiksów naukowych w formacie pdf, w tym Topologicon. Jak zdobyć ten CD-ROM.

Wróćmy jednak do mojej podróży z Marsylii do Paryża. Już miałem dwie walizki, a postanowiłem wziąć ze sobą trzy modele. Jedynym rozwiązaniem było zawieszenie ich na szyi. Ale gdy przeszedłem przez hol dworca i zobaczyłem, jak ludzie na mnie patrzyli, zrozumiałem, że myślą, iż mam do czynienia z szalonym, który dostał z zakładu wypuszczenie. Byłoby bezcelowe próbować im tłumaczyć, że nie jestem szalony, i musiałem znosić to męczeństwo z jak największą godnością.

Ciekawe jest to, że ludzie budujący rzeczy tego typu są dość rzadkie. W Ameryce był matematyk o imieniu Charles Pugh, który pracował w wydziale matematyki Uniwersytetu Berkeley. Mam okazję ponownie o nim wspomnieć. Pugh był absolutnie genialny w pracy z siatką dla kur, ale ja zawsze woliłem technikę drutu miedzianego.

Wróćmy do tematu odwrócenia sfery. Pierwszy, kto udało się rozwiązać ten problem, był geometryk Anthony Phillips. Opublikował swój wynik, czyli ciąg rysunków, w numerze Scientific American w 1967 roku. Istnieje kilka sposobów odwrócenia sfery. Jednym z nich jest doprowadzenie każdego punktu sfery do pokrycia się z punktem antypodalnym. Przyjmuje wtedy kształt powierzchni Boya. Zawsze marzyłem o znalezieniu sponsora, by stworzyć piękną rzeźbę, która przedstawiałaby glob ziemski złożony w powierzchnię Boya. Nie mogąc stworzyć obiektu, zrobiłem ilustrację okładki Topologicona:

Zamknięty glob ziemski na powierzchni Boya

W takiej konfiguracji, jeśli wydrążysz dziurę na biegunie północnym, natychmiast wyjdzie się na drugiej stronie, na biegunie południowym, ponieważ te dwa punkty są antypodalne. Francuz, który wydrążałby dziurę w piwnicy, znalazłby się w Nowej Zelandii, itd.

Wersja znaleziona przez Anthony Phillips polega na opisaniu sposobu, w jaki sfera przyjmuje kształt dwuwarstwowej powierzchni nakładającej się na powierzchnię Boya, która oczywiście jest jednostronna. Gdybyśmy mieli magiczny produkt, przezroczysty, który nadałby powierzchniom zdolność samoprzecinania się, wystarczyłoby połączyć każdy punkt z jego punktem antypodalnym za pomocą drutu, który skurczyłby się do długości zerowej. Gdy nie można łatwo przedstawić tej transformacji, można jednak zainteresować się częścią sfery, np. jej sąsiedztwem równikowym. To właśnie zrobiono w poniższych animacjach. Ta powierzchnia, mająca dwa okrągłe brzegi, przypomina obwiednię rowerową. Zaznaczono trzy promienie połączone z punktami diametralnie przeciwległymi. Przy zmniejszaniu długości tych promieni ta dwustronna taśma przyjmie kształt dwuwarstwowej powierzchni nakładającej się na taśmę Möbiusa z trzema półobrotami. Poniżej dwie dość surowe animacje. Ta po lewej jest wolna, a ta po prawej szybka.

Ta taśma Möbiusa z trzema półobrotami jest „sąsiedztwem równikowym” powierzchni Boya. Na tej taśmie owija się równik sfery.

„Równik” powierzchni Boya

Natomiast dwa bieguny sfery pokrywają się z jednym biegunem powierzchni. Ta powierzchnia, podobnie jak butelka Kleina, nie może być zanurzona w R3. Może być tylko przedstawiona jako wcięcie. Ma wtedy zbiór samoprzecięć w kształcie trójłopatowej śruby, której końce przypominają „tarcze” trzech „uszu”. W poniższych ilustracjach znajdziesz elementy pomagające lepiej „przeczytać” tę powierzchnię. W razie problemu, zdobądź Topologicon.

Na górze i z lewej strony powierzchnia Boya. Ponieważ jest to powierzchnia jednostronna, nie można użyć dwóch kolorów. W b zbiór samoprzecięć, trójlistny, przypominający łopaty śruby w b. Krzywa przecina się w jednym punkcie potrójnym T. Następne rysunki mają pomóc czytelnikowi się odnaleźć.

Wszystko jest dobre, by ilustrować strukturę powierzchni: paski, montaż z dodatkowymi elementami. Można zauważyć, że rzeźbiarz znalazłby w tym naprawdę fascynującym obiekcie swoje szczęście. Słowo na marginesie o jego historii. W 1901 roku student wielkiego niemieckiego matematyka Hilberta, Werner Boy, przedstawił mu powierzchnię, której nikt wcześniej nie miał pomysłu. Wakacje były już blisko. Hilbert powiedział swojemu uczniowi:

*- Ten problem wydaje mi się interesujący. Jeśli chcesz, wróć do mnie na jesień, porozmawiamy o tym. *

Wakacje minęły, ale na jesień Boy nie wrócił. Po dwóch miesiącach Hilbert spróbował go znaleźć. Inni studenci podali mu adres, więc udał się tam. Ale gospodyni powiedziała, że młody Werner Boy oddał jej klucze przed latem i nie powrócił. Wszystkie poszukiwania, by go odnaleźć, okazały się bezskuteczne, tak samo jak poszukiwania członków jego rodziny. Zniknął dosłownie. Jeśli odwiedzisz Niemcy, nie spodziewaj się odwiedzić grobu tego sławnego wynalazcy: nie istnieje.

Na ostatnim rysunku, w dole i z prawej strony, przedstawiono w białym kolorze samą powierzchnię Boya, a w szarych i różowych kolorach dwa boki sfery, która ją pokrywa. Punkty A i A' są antypodalne na tej sferze. Można zrozumieć, jak dwuwarstwowa powierzchnia nakładająca się na powierzchnię Boya może być użyta do odwrócenia sfery. Załóżmy, że mamy ciąg przekształceń, regularną homotopię, która pozwoliła przekształcić sferę różową z zewnątrz, szarą z wewnątrz, w tę figurę w dole i z prawej strony. Wystarczyłoby wtedy wymienić dwie powierzchnie (przez ich samoprzecięcie), w tym punkty A i A', a następnie wykonać te same przekształcenia w odwrotnej kolejności, by uzyskać antypodalne zanurzenie sfery, która teraz ma kolor szary z zewnątrz.

W tej samej logice można się spodziewać, że torus może przyjąć kształt dwuwarstwowej powierzchni nakładającej się na ... butelkę Kleina. Oto jak wygląda ten zespół.

Dwuwarstwowa powierzchnia nakładająca się na butelkę Kleina