Odwrócenie kuli

Odwrócenie kuli

7 grudnia 2004

strona 3

Podstawowe katastrofy.

Wcześniej już wspomnieliśmy, że rozpatrywane przez nas zanurzenia miały tę własność, że płaszczyzny styczne wzdłuż zbiorów samoprzecięć, gdy takie istniały, pozostawały różne. Można wtedy przejść od jednego zanurzenia do drugiego za pomocą czterech podstawowych katastrof. Morin nadał im nazwy, które widzimy na poniższych rysunkach. Pierwsza prowadzi do powstania zamkniętej krzywej (i jej zniszczenia, operacji odwrotnej). Tak się dzieje, gdy zanurzamy łokieć w wodzie z umywalki, by sprawdzić jej temperaturę (po lewej). Rysunek a4: powierzchnie stykają się w jednym punkcie. Na rysunku a5 powstaje krzywa samoprzecięć. W dalszej części tekstu będziemy nazywać tę operację „katastrofą łokciową”.

„Katastfra łokciowa”: powstawanie – zniszczenie zamkniętej krzywej

Druga katastrofa to „katastfra pomarańczy”:

Katastfra polegająca na powstawaniu i zniszczeniu „kawałka pomarańczy”.

Jeśli dokładnie spojrzymy na te obrazy, z lewej do prawej zobaczymy, jak paraboliczny walec zbliża się do dwuściennego kąta. Zbiór samoprzecięć składa się z dwóch rozłącznych krzywych parabolicznych oraz oczywiście krawędzi dwuściennego kąta. Na środkowym rysunku krawędź dwuściennego kąta styka się z jedną z tworzących walca. Krawędź ta jest styczna do walca w tym punkcie. Zbiór samoprzecięć składa się z dwóch krzywych parabolicznych, stycznych w jednym punkcie, oraz krawędzi dwuściennego kąta. Na rysunku po prawej walec paraboliczny kontynuuje ruch. Krzywa samoprzecięć ulega zmianie. Składa się ona z krawędzi dwuściennego kąta oraz krzywych parabolicznych, które przecinają się w dwóch punktach, leżących na krawędzi dwuściennego kąta. Można również rozpatrywać sytuację odwrotnie: walec paraboliczny pozostaje nieruchomy, a „płaszczyzny cięcia” się przesuwają. Prawy rysunek przypomina dwa uderzenia toporem lub dwa cięcia piłą. Wyrwany kawałek materiału jest również zaznaczony. Morin porównywał go do „kawałka pomarańczy” – bardzo wyraziste porównanie.

Trzecią katastrofą jest „katastfra spodni”.

Katastfra „spodni”

Obrazy są wystarczająco wyraziste. Z lewej do prawej spuszczamy spodnie do wody. Po lewej ptak przechodzi pod kolanami, ale ryba pozostaje zamknięta w jednym z nóg. Po prawej ryba przechodzi, ale droga, którą wcześniej przeszło ptak, zniknęła. W środku sytuacja pośrednia. Ważne jest lokalne zmienienie krzywej przecięcia, co odpowiada tzw. „chirurgii”, czyli zmianie połączenia łuków krzywej. Spróbujcie dobrze zrozumieć tę przemianę, która okaże się najtrudniejsza do zrealizowania i do dostrzeżenia w homotopii odwrócenia kuli. Pamiętajcie, że ta katastfra jednocześnie zamyka jedną drogę i otwiera drugą w kierunku prostopadłym.

Czwarta i ostatnia katastfra to „odwrócenie czworościanu”:

Katastfra odwracająca czworościan

Krzywa samoprzecięć składa się z czterech „linii”, które są przedłużeniami czterech krawędzi czworościanu. Na rysunku po lewej wyodrębniono ten czworościan, który pokazuje swoje szare ściany na zewnątrz. Po prawej jest odwrotnie: ściany są różowe. W środku – sytuacja pośrednia: czworościan został sprowadzony do punktu Q (czwórniak, ponieważ znajduje się na przecięciu czterech powierzchni).

Z użyciem tych czterech katastrof przeanalizujemy teraz odwrócenie kuli w ciągłym ciągu przekształceń przekrojowych. Ta wersja należy do matematyka (niewidomego) Bernarda Morina. Nasze spotkania zasługują na opowiedzenie. Pewnego dnia technik z wydziału literatury poprosił mnie, bym przyniósł swoje umiejętności rysunkowe na wykład, który miał być o geometrii. Przyszedłem na spotkanie bez żadnej ostrożności. Zawsze byłem dość zręczny w wyobrażaniu sobie przedmiotów w przestrzeni, i gdy nasz profesor matematyki wyższej dawał nam zadanie z geometrii rzutów, ja rysowałem przecięcie i jednocześnie podawałem widok perspektywiczny, zanim on zaczął formułować treść zadania. Ale tym razem wszystko się zmieniło.

Nie miałem żadnych trudności z narysowaniem powyższych rysunków. Ale gdy trzeba było je włączyć do schematu obejmującego odwrócenie kuli, w końcu zupełnie się zgubiłem, stojąc przed całą serią powierzchni ułożonych jedna za drugą. Zirytowany wróciłem do tego dziwnego człowieka, który, mimo braku wzroku, wydawał się bardziej swobodny w tym rozwoju kształtów niż ja. Przez kilka miesięcy uczęszczałem na jego wykłady. Dialog był dość skomplikowany. Z jego strony miał tylko słowo. Z mojej strony mogłem albo opisać mu moje rysunki, albo po powrocie do domu albo na miejscu przygotować mu modele. Trzeba byłoby zapisać te rozmowy, które były absolutnie surrealistyczne, typu:

- Spróbuj wyobrazić sobie dwie krzywe, które zbiegają się, tworząc coś w rodzaju wibrującego łyżki do mieszania jaj.

Mimo trudnej osobowości tego człowieka te spotkania pozostały dla mnie niezapomniane. Na koniec przyzwyczaiłem się do tego, że przed naszymi sesjami pracy połykałem dwa aspiryny, jako profilaktykę. Jego charakter można podsumować słowami, którymi jego żona go nazwała: „Błogosławiony błyskawica”, postać z komiksu Hergégo „Tintin w Tybecie”. Złości Morina były równie legendarnymi, jak nieodwracalnymi. Czasem wspominał o niektórych swoich wrogach, którzy już nie żyli, i mówił o nich:

- Czasem rzucam im małą klątwę w tamtym świecie, myśląc, że jeśli im nie szkodzi, to przynajmniej nie mogą się od tego poczuć lepiej.

Poprzednia strona Następna strona

Powrót do poradnika Powrót do strony głównej

Liczba odwiedzin tej strony od 8 grudnia 2004 roku: