Odwrócenie sfery

Odwrócenie sfery

7 grudnia 2004

strona 3

Podstawowe katastrofy.

Wcześniej już powiedzieliśmy, że rozpatrywane przez nas zanurzenia były takie, że płaszczyzny styczne wzdłuż zbiorów samoprzecięć, jeśli takie istniały, pozostawały różne. Można wtedy przejść od jednego zanurzenia do drugiego przy użyciu czterech podstawowych katastrof. Morin nadał im nazwy, które są widoczne na poniższych rysunkach. Pierwsza prowadzi do powstania zamkniętej krzywej (i jej zniknięcia, operacji odwrotnej). Tak się dzieje, gdy zanurzamy łokieć w wodzie z umywalki, by ocenić jej temperaturę (po lewej). Rysunek a4: powierzchnie stykają się w jednym punkcie. Na rysunku a5 została utworzona krzywa samoprzecięć. W dalszej części tekstu nazwiemy tę operację „katastrofą łokciową”.

„Katastroofa łokciowa”: powstawanie i znikanie zamkniętej krzywej

Drugą katastrofą jest „katastroofa pomarańczy”:

Katastroofa polegająca na powstawaniu i znikaniu „kawałka pomarańczy”.

Jeśli dokładnie spojrzymy na te obrazy, z lewej do prawej zobaczymy, jak paraboliczny walec zbliża się do dwuściennego kąta. Zbiór samoprzecięć składa się z dwóch rozłącznych krzywych o parabolicznym kształcie oraz oczywiście krawędzi dwuściennego kąta. Na środkowym rysunku krawędź dwuściennego kąta styka się z jedną z tworzących walca. Ta krawędź jest styczna do walca w tym punkcie. Zbiór samoprzecięć składa się z dwóch krzywych parabolicznych, stycznych w jednym punkcie oraz krawędzi dwuściennego kąta. Na rysunku po prawej: paraboliczny walec kontynuuje ruch. Krzywa samoprzecięć uległa zmianie. Składa się ona z krawędzi dwuściennego kąta oraz parabolicznych krzywych, które przecinają się w dwóch punktach leżących na krawędzi dwuściennego kąta. Można rozpatrywać sytuację odwrotnie: walec paraboliczny pozostaje nieruchomy, a „płaszczyzny cięcia” się przesuwają. Prawy rysunek przypomina dwa uderzenia toporem lub dwa cięcia piłą. Pokazany jest również skrawek. Morin porównywał go do „kawałka pomarańczy” – bardzo wyraziste porównanie.

Trzecią katastrofą jest „katastroofa spodni”.

Katastroofa „spodni”

Obrazy są wystarczająco wyraziste. Z lewej do prawej spuszczamy spodnie do wody. Po lewej ptak przechodzi pod kolanami, ale ryba pozostaje zamknięta w jednym z nóg. Po prawej ryba przechodzi, ale droga, którą wcześniej przeszło ptak, zniknęła. Na środku sytuacja pośrednia. Kluczowe jest lokalne przekształcenie krzywej przecięcia, co odpowiada tzw. „chirurgii”, zmianie połączeń łuków krzywych. Spróbujcie dobrze zrozumieć tę transformację, która okaże się najtrudniejsza do zrealizowania i do dostrzeżenia w homotopii odwrócenia sfery. Pamiętajcie, że ta katastroofa jednocześnie zamyka jeden przejście i otwiera inne w kierunku prostopadłym.

Czwarta i ostatnia katastroofa to „odwrócenie czworościanu”:

Katastroofa odwracająca czworościan

Krzywa samoprzecięć składa się z czterech „linii”, które są przedłużeniami czterech krawędzi czworościanu. Na rysunku po lewej wyodrębniono ten czworościan, który pokazuje swoje szare ściany na zewnątrz. Po prawej jest odwrotnie: ściany są różowe. Na środku – sytuacja pośrednia: czworościan został zredukowany do punktu Q (czwórniak, ponieważ znajduje się na przecięciu czterech powierzchni).

Z użyciem tych czterech katastrof rozważymy teraz odwrócenie sfery poprzez ciągłe zanurzenia przekrojowe. Ta wersja należy do matematyka (niewidomego) Bernarda Morina. Nasze spotkania zasługują na opowiedzenie. Pewnego dnia technik z wydziału literatury poprosił mnie, bym przyniósł swoje umiejętności rysunkowe do konferencjisty, który miał mówić o geometrii. Przyszedłem na spotkanie bez żadnej ostrożności. Zawsze byłem dość zręczny w wyobrażaniu sobie obiektów w przestrzeni, a kiedy nasz wykładowca z matematyki wyższej dawał nam zadania z geometrii rzutów, rysowałem przecięcie i równocześnie podawałem widok perspektywiczny, zanim on zaczął formułować treść zadania. Ale tym razem wszystko przebiegło inaczej.

Nie miałem żadnych trudności z narysowaniem powyższych rysunków. Ale kiedy trzeba było je włączyć do schematu obejmującego odwrócenie sfery, w końcu całkowicie się pogubiłem, stojąc przed całą kolekcją powierzchni ułożonych jedna za drugą. Zirytowany wróciłem do tego dziwnego człowieka, który, choć nie miał wzroku, wydawał się bardziej swobodny w tym rozgrywaniu form. Przez kilka miesięcy uczęszczałem na jego wykłady. Dialog był dość skomplikowany. Z jego strony miał tylko słowo. Z mojej strony mogłem albo opisać mu moje rysunki, albo po powrocie do domu albo tamtej samej chwili dać mu modele wykonane przez siebie. Należałoby zapisać te rozmowy, zupełnie surrealistyczne, typu:

- Spróbuj wyobrazić sobie dwie krzywe, które zbliżają się do siebie, tworząc coś w rodzaju wibrującego kijka do mieszania jajek.

Mimo trudnej osobowości tego człowieka nasze spotkania pozostały dla mnie niezapomniane. Na koniec przyzwyczaiłem się do tego, by przed naszymi sesjami pracy połykać dwa aspiryny, jako profilaktykę. Jego charakter można podsumować słowami, którymi jego żona go nazwała: „Błyskawica błogosławiona”, postać z komiksu Hergégo „Tintin w Tibetzie”. Złości Morina były tak legendarnie znane, jak i nieodwracalne. Czasem wspominał o niektórych swoich wrogach, którzy już nie żyli, mówiąc:

- Czasem rzucam im małą klątwę w tamtym świecie, mówiąc sobie, że jeśli to im nie szkodzi, to przynajmniej nie może im pomóc.

Poprzednia strona Następna strona

Powrót do poradnika Powrót do strony głównej

Liczba odwiedzin tej strony od 8 grudnia 2004 roku: