Odwrócenie sfery – matematyczne katastrofy

Odwrócenie sfery

8 grudnia 2004

strona 4

Wersja Bernarda Morina

Aby pobrać wersję PDF artykułu z 1979 roku B. Morina i J.P. Petit, opublikowanego w „Pour la Science”:

Odwrócenie sfery (2,8 MB)

Zaczynamy od sfery, której zewnętrzna strona jest szara, a wewnętrzna różowa. Na rysunkach b i c przybliżamy bieguny. Następnie powierzchnie się przekrzyżują w „katastrofie łokciowej”. Powstaje zamknięta krzywa samoprzecięcia. Na dole i po prawej stronie trzy półprzekroje pomagają lepiej zrozumieć uzyskaną konfigurację. W tym momencie sfera przypomina rodzaj okrągłego „łodzi gumowej” z „wypukłością” i podwójnym „dnie” (podwójną warstwą).

Pierwsza etapa: „katastrofa łokciowa”. Powstanie zamkniętej krzywej samoprzecięcia

Drugą operacją jest kolejna katastrofa łokciowa, powstanie drugiej zamkniętej krzywej.

Drugie powstanie zamkniętej krzywej samoprzecięcia

W tym celu „łódź gumowa” została zgięta, z obrotem, co pozwoliło przybliżyć do siebie dwie przeciwległe części „wypukłości”. Następnzy obraz to wynik dwóch katastrof prowadzących do powstania „płatków pomarańczy”.

Po powstaniu dwóch „płatków pomarańczy”

Po lewej stronie wykonano przekroje w modelu. W centrum pokazano sposób, w jaki dwa cylindry, których lokalny przekrój przypomina grecką literę „gamma”, się przekrzyżowały. Przypomnijmy, że katastrofa powstawania „płatków pomarańczy” polegała na przekroju „kłody” dwoma płaszczyznami tworzącymi dwuścienną. Każda z cylindrycznych struktur o przekroju „gamma” zawiera zarówno zaokrąglony przekrój, jak i dwuścienną. Spójrzcie uważnie na rysunek i. Na rysunku j narysowano całą krzywą samoprzecięcia. Najdłuższa część zamkniętej krzywej pochodzi z pierwszej „katastrofy łokciowej”, która przekształciła sferę w „łódź gumową”. Po powstaniu dwóch płatków pomarańczy otrzymaliśmy bardziej skomplikowaną strukturę, z której j jest podzbiorem. Na rysunku j" widać, że tę strukturę można porównać do połączenia dwóch „płatków pomarańczy” na dwóch krawędziach czworościanu nie sąsiadujących ze sobą.

Wszystko to kiedyś będzie znacznie łatwiejsze do zrozumienia, gdy uda mi się stworzyć animacje. Z punktu widzenia technicznego nie ma żadnych trudności. To tylko kwestia czasu. Niewielu ludzi potrafi nie tylko „widzieć w przestrzeni”, czyli odczytywać ten kod wykorzystujący linie, kreski, kolory, cienie i odbicia, ale także łączyć w głowie przekształcenia, wyobrażając sobie ruch sugerowany przez obraz. Mam nadzieję, że kiedyś uda mi się zrobić wszystko to, co zamierzam. Zauważyć należy, że można wykorzystać modele wielościenne, jak zrobiłem to, pokazując, jak przekształcić Crosscap w powierzchnię Boya. To przyszłość. Ale takie modele trzeba wymyślać. Poniżej znajdziecie optymalną wersję wielościenną modelu centralnego tej transformacji, wymyślonej przez Bernarda Morina (przypomnijmy, że był niewidomy!), wraz z instrukcją, jak samemu go zbudować z wykrojenia.

Dlaczego nie poszedłem dalej? Powiem: brak możliwości wykorzystania wyników. Nie ma żadnych czasopism matematycznych, które przyjmują publikację takich prac. W 1975–1978 udało nam się to zrobić poprzez kilka notatek w „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris”, które z pewnością nie zostały przeczytane przez wielu. Było to możliwe tylko dlatego, że akademik André Lichnérowicz osobistnie interesował się tymi pracami. Zmarł dziś. Skoro te prace zostały w pełni ukończone już w 1975 roku, byłoby pożądane, by stworzyć film animowany na podstawie moich rysunków. Pracując w animacji, byłbym w stanie skoordynować taką inicjatywę. Ale nie udało się znaleźć finansowania w CNRS, a ostatecznie amerykański matematyk Nelson Max, wykorzystując makietę zbudowaną przez jego kolegę Charlesa Pugh’a (tej samej wersji odwrócenia sfery) i potężny komputer, stworzył pierwszy film. Ale to nie pierwszy ani ostatni raz, gdy Francuzi, nie otrzymując odpowiedzi na swoje wysiłki, zostają wyprzedzeni przez kolegów zagranicznych lepiej organizowanych i lepiej wspieranych.

Przejdźmy do trzeciej fazy, najtrudniejszej do zrozumienia.

Przygotowanie dwóch „katastrof spodni”

Na rysunku k dobrze widać dwa końce „spodni”, szczegół znajduje się na przednim planie k'. Biała strzałka wskazuje przejście „między nogami”. Ta transformacja naprawdę trudna do zrozumienia. Dodałem rysunek m, aby lepiej się wyrazić. Na rysunku l przedstawiłem za pomocą kreskowania krzywą samoprzecięcia, która w całości znajduje się na rysunku l'. Jedno przejście (przez które przechodzi biała strzałka) zamknie się. Ten ruch zamknięcia towarzyszy podniesieniu części krzywej przecięcia w dwóch miejscach. Te końce krzywej zbliżą się, każdy na jednej z linii należącej do „płatków pomarańczy”. Gdy dojdzie do kontaktu, nastąpi „operacja chirurgiczna”. Trudność polega na tym, że po zobaczeniu czterech podstawowych katastrof na poprzedniej stronie trzeba umieć je przekształcić pod każdym kątem, nawet „wykręcając szyję”. Na rysunku n przedstawiono krytyczny moment, w którym odbywa się operacja („pozycja środkowa” transformacji), w którym zmienia się sposób połączenia końców krzywej. Wiadomo, że ta „katastrofa spodni” zamknie jedno przejście i otworzy inne. Pierwotne przejście jest oznaczone białą strzałką. Istnieje jednak drugie, które widać z tego samego kąta, gdy obrócimy model o 180° wokół pionowej osi. Te strzałki tw