Odwrócenie sfery – katastrofa matematyczna
Odwrócenie sfery
8 grudnia 2004
strona 4
Wersja Bernarda Morina
Aby pobrać wersję PDF artykułu z 1979 roku B. Morina i J.P. Petit, opublikowanego w „Pour la Science”
Odwrócenie sfery (2,8 MB)
Zaczynamy od sfery, której zewnętrzna strona jest szara, a wewnętrzna różowa. Na rysunkach b i c przybliżamy bieguny do siebie. Następnie powierzchnie się przekrzyżują, tworząc „katastrofę łokciową”. Powstaje zamknięta krzywa samoprzecięcia. W prawym dolnym rogu trzy półprzekroje pomagają lepiej zrozumieć uzyskaną konfigurację. W tym momencie sfera przypomina rodzaj okrągłego „łodzi gumowej” z „wałkiem” i „podłogą” o podwójnej warstwie.
Pierwsza etapa: „katastrofa łokciowa”. Powstanie zamkniętej krzywej samoprzecięcia
Drugą operacją jest kolejna katastrofa łokciowa, tworząca drugą zamkniętą krzywą samoprzecięcia.
Druga powstanie zamkniętej krzywej samoprzecięcia
Aby to osiągnąć, „łódź gumowa” została zgięta z obrotem, co pozwoliło przybliżyć do siebie dwie przeciwległe części „wałka”. Następujące zdjęcie to wynik dwóch katastrof prowadzących do powstania „płatków pomarańczy”.
Po powstaniu dwóch „płatków pomarańczy”
Po lewej stronie wykonywane są przekroje w modelu. W centrum pokazano sposób, w jaki dwa cylindry, których przekrój lokalnie przypomina grecką literę „gamma”, się przekrzyżowały. Pamiętajmy, że katastrofa powstawania „płatków pomarańczy” polegała na przekroju „kłody” dwoma płaszczyznami tworzącymi dwuściennik. Każda z cylindrycznych struktur, której przekrój ma kształt „gamma”, zawiera zarówno zaokrąglony przekrój, jak i dwuściennik. Spójrzcie uważnie na rysunek i. Na rysunku j narysowano całość samoprzecięć. Najdłuższa zamknięta krzywa pochodzi z pierwszej „katastrofy łokciowej”, która przekształciła sferę w „łódź gumową”. Po powstaniu dwóch płatków pomarańczy uzyskujemy bardziej skomplikowaną strukturę, z której j jest podzbiorem. Na rysunku j" widać, że tę strukturę można porównać do połączenia dwóch „płatków pomarańczy” na dwóch krawędziach czworościanu, które nie sąsiadują ze sobą.
Wszystko to kiedyś będzie znacznie łatwiejsze do zrozumienia, gdy uda mi się stworzyć animacje. Z punktu widzenia technicznego nie ma żadnych trudności. To tylko kwestia czasu. Niewielu ludzi potrafi nie tylko „widzieć w przestrzeni”, czyli odczytywać ten kod wykorzystujący linie, kreski, kolory, cienie i odbicia, ale także w głowie łączyć transformacje, wyobrażając sobie ruch sugerowany przez obraz. Mam nadzieję, że kiedyś uda mi się poświęcić czas na wszystko to. Przy okazji warto zauważyć, że można używać modeli wielościanowych, jak zrobiłem to, pokazując, jak przekształcić Crosscap w powierzchnię Boya. To przyszłość. Ale te modele trzeba wymyślać. Poniżej znajdziecie optymalną wersję wielościanową modelu centralnego tej transformacji, wymyślonej przez Bernarda Morina (przypomnijmy, że był niewidomy!), wraz z instrukcją, jak samemu go zbudować na podstawie wycięcia.
Dlaczego nie poszedłem dalej? Powiem: brak możliwości realizacji. Nie ma żadnych czasopism matematycznych, które przyjmują takie prace. W 1975–1978 udało nam się opublikować to w kilku notatkach w „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris”, które z pewnością nie zostały przeczytane przez wielu. Ale to dlatego, że akademik André Lichnérowicz osobistnie interesował się tymi pracami. Obecnie zmarł. Skoro te prace były już w 1975 roku w pełni ukończone, byłoby pożądane, by stworzyć film animowany na podstawie moich rysunków. Pracując w animacji, byłbym w stanie skoordynować taką inwestycję. Ale nie udało się znaleźć finansowania w CNRS, a ostatecznie amerykański matematyk Nelson Max, wykorzystując makietę zbudowaną przez jego kolegę Charlesa Pugh’a (tej samej wersji odwrócenia sfery) i potężny komputer, stworzył pierwszy film. Ale to nie pierwszy ani ostatni raz, gdy Francuzi, nie otrzymując odpowiedzi na swoje wysiłki, zostają wyprzedzeni przez kolegów zagranicznych, którzy są lepiej zorganizowani i lepiej wspierani.
Przejdźmy do trzeciej fazy, najtrudniejszej do zrozumienia.
Przygotowanie dwóch katastrof „spodni”
Na rysunku k dobrze widać dwa końce „spodni”, szczegół którego znajduje się na przednim planie k'. Strzałka biała wskazuje przejście „między nogami”. Ta transformacja jest naprawdę trudna do zrozumienia. Dodałem rysunek m, aby lepiej się wyrazić. Na rysunku l przedstawiłem za pomocą kreskowania krzywą samoprzecięcia, która w całości znajduje się na rysunku l'. Jedno przejście (przez które przechodzi strzałka biała) zamknie się. Ten ruch zamykania towarzyszy podniesieniu części krzywej przecięcia w dwóch miejscach. Te końce krzywej zbliżą się do siebie, każdy na jednej z linii należącej do „płatków pomarańczy”. Gdy dojdzie do kontaktu, nastąpi „operacja chirurgiczna”. Trudność polega na tym, że po obejrzeniu czterech podstawowych katastrof na poprzedniej stronie trzeba potrafić je przekształcić pod każdym kątem, obracając szyję. Na rysunku n zaznaczono krytyczny moment, w którym odbywa się operacja („pozycja środkowa” transformacji), w którym zmienia się sposób połączenia końców krzywej. Wiadomo, że ta katastroofa „spodni” zamyka jedno przejście i otwiera drugie. Pierwotne przejście jest oznaczone strzałką białą. Istnieje jednak inne, które można by zobaczyć pod tym samym kątem, obracając model o 180° wokół pionowej osi. Te strzałki tworzą jedną. Przed zakończeniem tych katastrof nadal można się poruszać w tej „zgiętej łodzi gumowej”. Gdy katastrofy zaczną działać, to przejście już nie będzie możliwe. Zamiast tego powstaną dwa inne przejścia. Ale gdzie? Jakie części przestrzeni są w tym zaangażowane? Te przejścia połączą wnętrze „płatków pomarańczy” z zewnętrzem. Na rysunku l' widzicie te „płatki pomarańczy”. Przejdźmy do kolejnej fazy.
Zamknięcie przejścia. W kierunku podwójnej sytuacji krytycznej
Na rysunku o przedstawiono dwie katastrofy „spodni” w dwóch różnych etapach. Jedno przejście jest całkowicie zamknięte. Jesteśmy w sytuacji krytycznej, tuż przed zmianą sposobu połączenia łuków krzywej. Po prawej (szczegół na rysunku o') przejście jest tylko w trakcie zamykania. Dlatego wygląd krzywej samoprzecięcia o" jest inny po prawej i po lewej stronie. Na rysunkach p, p' i p" krytyczność (pozycja „środkowa” transformacji) została osiągnięta z obu stron. Na następnej planszy operacje chirurgiczne już się udały. Tuby, które widać na rysunku p", łączące „płatki pomarańczy” z zewnętrzem, są teraz utworzone:
Obie „katastrofy spodni” zostały wykonane. Przejścia (białe strzałki) są otwarte.
Teraz rzeczy będą się rozwojać dalej, pracując nad częścią dolną modelu, której szczegół pokazano na rysunku r. Spójrzcie uważnie na tę część powierzchni. Widzimy dwa przecinające się fragmenty paraboloid, skierowane w dwie prostopadłe kierunki. Na dole rysunku r znajduje się przejście skierowane w stronę czytelnika. Zastanówmy się, czy możemy przesunąć te dwa cylindry względem siebie. To spowodowałoby zamknięcie tego przejścia i otwarcie innego w kierunku prostopadłym („z prawej do lewej”). Tu rozpoznajemy nową „katastrofę spodni”. Jeśli ten pionowy przesuw tych fragmentów paraboloid będzie miał miejsce, ponownie dojdziemy do sytuacji krytycznej, z zmianą sposobu połączenia powierzchni. Ale z racji oszczędności postąpimy inaczej: zatrzymamy „proces” w krytycznym momencie, w „pozycji środkowej”, gdy przejście skierowane w stronę czytelnika się zamknie, a przejście w kierunku prostopadłym jeszcze nie zostanie otwarte. Zróbmy to.
Nowa katastrofa spodni, rozpoczęta w kształcie L, zatrzymana po prawej, w krytycznym momencie
W kształcie L wywieramy „ciśnienie” na cylinder, którego różowa strona jest skierowana na zewnątrz, i podnosimy go. Na rysunku c' widać wpływ tego ruchu na całość samoprzecięć: łuki krzywych zaczynają się zbliżać. Gdy osiągniemy krytyczność, ta część całości będzie przypominać „wirówkę do bicia jaj”, przedstawioną na rysunku. Na prawej stronie, rysunki t, t', t": krytyczność została osiągnięta, czyli „środkowy moment katastrofy”. Na rysunku t" wygląd całości samoprzecięć, gdzie część dolna identyfikuje się z naszą wirówką do bicia jaj. Rysunek t' przedstawia mały czworościan. Na rysunku t''' zaznaczono przecięcie czterech powierzchni.
Weźcie aspirynę.
W tej wersji odwrócenia sfery wszystkie przekształcenia i katastrofy powinny zostać doprowadzone do końca. Ale zatrzymamy tę, którą właśnie omówiliśmy, w jej środkowej, „krytycznej” konfiguracji. Następnie rozpocznijmy katastrofę, której jeszcze nie użyliśmy: tę, która odwraca czworościan. Ale i tutaj zatrzymamy się w „pozycji środkowej”, gdy ten czworościan zostanie sprowadzony do punktu. Zróbmy to!
Ostatnia katastrofa, zatrzymana w swoim środkowym etapie: gdy czworościan został sprowadzony do punktu czterokrotnego Q
Na rysunku t''' przedstawiona jest konfiguracja czterech powierzchni, a całość samoprzecięć zawiera objętość przypominającą czworościan. Na rysunku u" ten czworościan został sprowadzony do punktu (czterokrotnego, ponieważ przecinają się cztery powierzchnie). Po lewej stronie znajduje się „model czterokrzyżowy Morina”. Na pierwszym planie całość samoprzecięć, u dołu „wirówka do bicia jaj”, u góry cztery „łapki” przypominające „uszka królika”. Z niewielką deformacją powierzchni, bez nowych katastrof, na prawo otrzymujemy centralny model czterokrzyżowy Morina. Ten model ma symetrię czwartego rzędu. Jeśli obrócimy go o 90° wokół pionowej osi symetrii, otrzymamy ten sam rysunek, ale z zamienionymi kolorami. Szary staje się różowy i odwrotnie. Możemy więc powiedzieć, że praca została zakończona. W rzeczywistości, jeśli chcielibyśmy narysować pełną homotopię, wystarczyłoby za pomocą animacji obrócić ten centralny model o 90°. Następnie moglibyśmy ponownie wykorzystać wszystkie rysunki, które stworzyliśmy, w odwrotnej kolejności, z zamienionymi kolorami. Na końcu otrzymalibyśmy zanurzenie sfery, w którym zewnętrzna strona jest różowa. Ale matematyka to szkoła lenistwa lub oszczędzania, w zależności od tego, jak się na nią patrzy. Skoro praca doprowadziła nas do obiektu o symetrii czwartego rzędu, możemy zakończyć, mówiąc, że operacja została pomyślnie przeprowadzona.
Na następnej planszy postarałem się opisać ten otwarty centralny model Morina z maksymalną ilością szczegółów. Istnieje wersja z „zamkniętymi uszami”, którą opisałem w innej notatce Akademii, ale nie będę jej tu omawiał.
Szczegółowy opis centralnego modelu Morina z czterema uszami
Później odkryłem wielościanową reprezentację centralnego modelu z czterema uszami. W rzeczywistości taki model nie ma ani góry, ani dołu. Dla wygody rysowania i animacji (te obrazy otrzymałem za pomocą programu wspomagającego projektowanie komputerowo, który sam opracowałem, przed początkiem lat osiemdziesiątych) poniższy animowany GIF przedstawia ten model z punktem podwójnym skierowanym do góry. Widoczny jest również punkt czterokrotny:
Moja wersja wielościanowa modelu z czterema uszami
Jak zbudować ten model za pomocą wycięcia
W oryginalnej animacji obiekt był „w lustrze” w stosunku do powyższego widoku. Tak więc „z góry” przyjmował kształt krzyża gamma, a całość mogła przypominać „dom kultury dla neonazistów”. Wolałem odwrócić obiekt, by nie dać złych pomysłów architektom z ekstremalnej prawicy. Kliknij tutaj, aby uzyskać pełne instrukcje, jak samemu zbudować ten obiekt. Na końcu kilka widoków tego obiektu.
Zakończę tę opowieść o odwróceniu sfery ciekawą, choć całkowicie prawdziwą anegdotą. W czasach, gdy te przekształcenia znane były tylko niewielkiej grupie wybranych, mecenas oferował nagrodę miliona dolarów osobie, która stworzyła wystarczająco jasne modele. W Berkeley matematyk Charles Pugh podjął to zadanie i je ukończył. Z pieniędzy kupił dom. Te modele, wykonane z siatki do kur, każdy o średnicy kilku metrów (Pugh z niezwykłą precyzją potrafił cięć i połączyć kratownice, umożliwiając samoprzecięcie), przez lata ozdabiały sufit kawiarni działu matematyki w Berkeley. Jednej nocy zostały skradzione i nigdy nie zostały odnalezione. Nikt nie wiedział, kto to zrobił. Handlowo byłoby trudniej je sprzedać niż Mona Lisę z Louvre. Może ktoś je ma w ukrytej piwnicy i co wieczór spogląda na nie, mówiąc: „Jestem jedynym, kto może je oglądać”.
Istnieje inna anegdota, dotycząca tej samej powierzchni Boya, którą ja pierwszy ustaliłem krzywe meridianowe, identyfikując je z rodziną elips. Praca ta została wykonana całkowicie empirycznie, na podstawie metalowego modelu, który sam stworzyłem. Syn matematyka Jean-Marie Souriau, Jérôme, wtedy studiował fizykę. Korzystając z komputera Apple II swojego ojca, stworzył pierwszą parametryczną reprezentację tego obiektu, typu:
X = X ( alpha , mu )
Y = Y ( alpha , mu )
Z = Z ( alpha , mu )
*Nie potrafię wstawić czcionki Symbol w Dreamwe