Odwrócenie torusa w topologii

Odwrócenie torusa

9 grudnia 2004

strona 5

Efekt uboczny tych badań: trywialne odwrócenie torusa

Skoro odwrócenie sfery okazało się tak trudne, to odwrócenie torusa, przeciwnie, jest niezwykle łatwe. Można nawet powiedzieć, że to dziecko w wieku dziesięciu lat potrafi to zrobić. Torus bowiem to nic innego jak sfera z uchwytem. Postępujemy tak, jak to zrobiliśmy przy zamianie dwóch wierzchołków krzywej Crosscap, czyli po prostu odwracamy sferę, nie zastanawiając się nad tym. Uchwyt znajduje się wtedy wewnątrz. Powiedzmy, że ten „most” przekształca się w „podziemny przejazd”. A wszyscy inżynierowie drogowi wiedzą, że każdy podziemny przejazd w sieci drogowej może zostać przekształcony w punkt za pomocą regularnej homotopii.

Gdy sfera zostanie odwrócona, wystarczy włożyć palec w ten przejazd i pociągnąć mocno. Zobacz rysunki poniżej.

Trywialne odwrócenie torusa

Choć na tym rysunku jest to dość trudne do zobaczenia, na rysunku a zaznaczono jeden z okręgów generujących torusa – należących do jednej z dwóch rodzin okręgów, które pozwalają na jego mapowanie bez powstawania osobliwości siatki (patrz Topologicon). Gdy uchwyt został skupiony w jednej części sfery z uchwytem b, krzywa nadal jest widoczna. Gdy sfera z uchwytem została odwrócona, w c, a operator włożył palec w przejazd, ta krzywa otacza jego palec. Gdy „wyciąga” uchwyt, w d, widać (na końcowym obrazie e, czyli odwróconym torusie), że ten okrąg stał się okręgiem szyjnym powierzchni. Zatem, gdy zaczynamy od torusa zmapowanego za pomocą podwójnej sieci okręgów południowych i okręgów równoleżnikowych (okrąg szyjny należy do tej drugiej rodziny), widać, że operacja odwrócenia wymienia te dwie rodziny. To coś magicznego, i muszę przyznać, że przekracza moje zrozumienie. Każdy powinien nauczyć się znać swoje granice. Osobiście uważam, że w niektórych myśleniach mózg powinien mieć wyłącznik.

Poprzednia strona Następna strona

Powrót do przewodnika Powrót do strony głównej

Liczba odwiedzin tej strony od 9 grudnia 2004 roku :