Odwrócenie torusa w topologii

Odwrócenie torusa

9 grudnia 2004

strona 5

Skutek tych badań: trywialne odwrócenie torusa

Skoro odwrócenie sfery okazało się tak trudne, to z drugiej strony, wychodząc od tego, odwrócenie torusa jest niezwykle łatwe. Można nawet powiedzieć, że to zadanie jest do zrobienia dla dziecka w wieku dziesięciu lat. Torus bowiem to nic innego jak sfera z uchwytem. Postępujemy tak, jak robiliśmy to przy zamianie miejscami dwóch punktów kątowych w Crosscap, czyli odwracamy sferę bez zastanawiania się nad tym. Uchwyt znajduje się wtedy wewnątrz. Powiedzmy, że ten „most” przekształca się w „podziemny przejazd”. A wszyscy inżynierowie drogowi wiedzą, że każdy przejazd podziemny w sieci drogowej może zostać przekształcony w punkt za pomocą regularnej homotopii.

Gdy sfera zostanie odwrócona, wystarczy włożyć palec w ten przejazd i pociągnąć mocno. Zobacz rysunki poniżej.

Trywialne odwrócenie torusa

Choć na tym rysunku jest to dość trudne do zauważenia, na a zaznaczono jeden z okręgów generujących torusa – należą do jednej z dwóch rodzin okręgów, które pozwalają na jego mapowanie bez powstawania osobliwości siatki (patrz Topologicon). Gdy uchwyt został skupiony w jednej części sfery z uchwytem b, krzywa nadal jest widoczna. Gdy sfera z uchwytem została odwrócona, w c, a operator włożył palec w przejazd, ta krzywa otacza jego palec. Gdy „wyciąga” uchwyt, w d, widać (na końcowym obrazie e, czyli odwróconym torusie), że ten okrąg stał się okręgiem szyjnym powierzchni. Zatem, gdy zaczynamy od torusa zmapowanego za pomocą podwójnej sieci okręgów południkowych i okręgów równoleżnikowych (okrąg szyjny należy do drugiej rodziny), widać, że operacja odwrócenia przestawia te dwie rodziny. To coś jak magia, i muszę przyznać, że to przekracza moje zrozumienie. Każdy powinien uczyć się znać swoje granice. Osobiście sądzę, że w niektórych myśleniach mózg powinien być wyposażony w bezpiecznik.

Poprzednia strona Następna strona

Powrót do przewodnika Powrót do strony głównej

Liczba odwiedzin tej strony od 9 grudnia 2004 roku: