Odwrócenie butelki Kleina

Odwrócenie torusa

5 grudnia 2004

strona 6

Nie trywialne odwrócenie torusa
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. tom 293, sesja 5 października 1981, seria 1, str. 269–272

Zadowolę się przedstawieniem kolejnych rysunków, nie komentując ich.

Nie trywialne odwrócenie torusa. Pierwsza część przekształcenia

Nie trywialne odwrócenie torusa. Druga część przekształcenia

Gdy osiągniemy rysunek v, widać, że teraz łatwo jest złożyć strukturę szarą z strukturą różową, aby przekształcić ten obiekt w dwuwarstwowy nakład torusa na butelkę Kleina.

Odwrócenie następuje wtedy przez wymianę warstw naprzeciwległych. Poniżej ten sam rysunek z kolorowym kodowaniem.

Dwuwarstwowy nakład butelki Kleina z kodowaniem kolorowym

(Ten rysunek nie należy do mojego rocznego raportu do CNRS. Znajdziecie go w Topologiconie)

Różne rodziny torusów

To, co udowodnił Stephen Smale w 1957 roku, to, że istnieje tylko jedna rodzina zanurzeń sfery, a wszystkie mogą być połączone przez homotopię. Tworzyły one grupę, w której elementem neutralnym było pozostawienie obiektu bez zmian. Zastanawiano się, czy to samo będzie dotyczyło torusa. Matematycy Ioan James i Emery Thomas wykazali, że zanurzenia torusa dzielą się na cztery kontynenty, pomiędzy którymi nie da się przejść za pomocą regularnej homotopii.

Cztery rodziny torusów

"Torus standardowy", narysowany w centrum strony, należy do tej samej rodziny co obiekt przedstawiony na rysunku b. To właśnie pokazałem w wersji odwrócenia torusa, którą wymyśliłem w 1980 roku. Rodzina oznaczona jako a przedstawia torus, który uległ skręceniu o 360°. Wygląda podobnie jak torus standardowy, ale różni się od niego układem mapowania, opartym na dwóch rodzinach krzywych. W torusie standardowym używamy dwóch rodzin okręgów, które traktujemy jako południki i równoleżniki. W torusie a należałoby uzupełnić rodzinę okręgów przyklejonych do powierzchni drugą rodziną, skręconą w przeciwnym kierunku. Można wykazać, że nie da się za pomocą regularnej homotopii sprowadzić siatki torusa a do pokrycia z siatką torusa standardowego (południki i równoleżniki). W tym sensie są to różne obiekty. Wszystkie te obiekty mogą oczywiście być zrealizowane jako dwuwarstwowy nakład butelki Kleina.

Moc narzędzi geometrycznych polega na tym, by móc przewidzieć, co jest możliwe, a co nie. Przekształcenie torusa standardowego w torus z rysunku b: tak. Przejście z c do d: nie.

To oszczędza czas i zmusza do poszukiwania rzeczy, które nie są oczywiste, jak np. odwrócenie sfery. Tak jest w każdej dziedzinie nauki. Czasem ludzie przez lata, a nawet wieki, nie dostrzegają skutecznych metod, po prostu dlatego, że uważają je za niemożliwe do zrealizowania. Przez kilka lat mojego życia poświęciłem budowę teorii usuwania fal uderzeniowych wokół obiektu poruszającego się z prędkością naddźwiękową w gazie, przy użyciu pola sił Laplace’a, tzw. MHD. Jeden z moich doktorantów nawet zrobił pracę doktorską na ten temat pod moim kierunkiem, a nasze wyniki opublikowaliśmy w różnych czasopismach z recenzją oraz na konferencjach naukowych. Temat ten dopiero zaczyna się pojawiać, po trzydziestu latach. Podejrzewa się, że Amerykanie mają samoloty hipersoniczne zdolne do lotu z prędkością Mach 10 bez powstawania fal uderzeniowych (a w szczególności bez narażania się na ogromne naprężenia termiczne związane z kompresją powietrza za „boomami”). To słynny mit o samolocie Aurora, który przelatuje na wysokości, na której powstają zorze polarne, między 80 a 150 km nad powierzchnią Ziemi. Aurora to również wczesny projekt przyszłych rakiet kosmicznych, które będą opierały się na powietrzu i byłyby znacznie tańsze niż rakiety CNES. W Francji nie udało się rozpocząć takich badań (miałem te pomysły w 1975 roku), ponieważ ludzie, zwłaszcza w CNRS, uznały je za całkowicie nierealne. Wynik to trzydziestolecie opóźnienia w stosunku do Stanów Zjednoczonych, które, według mnie, są całkowicie nie do nadrobienia.


Żart z kieszonkowego

Aby być kompletnym, należy wspomnieć o wersjach odwrócenia sfery, w których głównym obiektem jest kieszonkowy żart. Był to przedmiot powszechnie spotykany, gdy byłem młody, ale dziś raczej nie występuje. Pierwszy, kto narysował te sekwencje, to Georges Francis. Od kilku lat pracuję nad wersją wielościanową tych konstrukcji, która już dała dobre, estetyczne modele. Ale żeby wam to pokazać, trzeba, bym znowu znalazł ten materiał. Mam nadzieję, że szybko, bo jest to jedno z najbardziej fascynujących dzieł, które kiedykolwiek stworzyłem.

Poprzednia strona Następna strona

Powrót do przewodnika Powrót do strony głównej

Liczba odwiedzin tej strony od 8 grudnia 2004 roku: