Odwrócenie butelki Kleina
Odwrócenie torusa
5 grudnia 2004
strona 6
Nie trywialne odwrócenie torusa
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. tom 293, sesja 5 października 1981, seria 1, str. 269–272
Zadowolę się przedstawieniem kolejnych rysunków, nie komentując ich.
Nie trywialne odwrócenie torusa. Pierwsza część przekształcenia
Nie trywialne odwrócenie torusa. Druga część przekształcenia
Gdy osiągniemy rysunek v, widać, że teraz łatwo można dopasować szary układ do różowego, aby przekształcić ten obiekt w dwuwarstwowy nakład torusa na butelkę Kleina.
Odwrócenie następuje wtedy przez wymianę warstw naprzeciwległych. Poniżej ten sam rysunek z kolorowym kodowaniem.
Dwuwarstwowy nakład butelki Kleina z kodowaniem kolorowym
(Ten rysunek nie należy do mojego corocznego raportu do CNRS. Znajdziecie go w Topologiconie)
Różne rodziny torusów
To, co Stephen Smale udowodnił w 1957 roku, to że istnieje tylko jedna rodzina zanurzeń sfery i że wszystkie mogą być połączone przez homotopię. Tworzyły one grupę, której elementem neutralnym było pozostawienie obiektu bez zmian. Zastanawiano się, czy może być tak samo dla torusa. Matematycy Ioan James i Emery Thomas wykazali, że zanurzenia torusa dzielą się na cztery kontynenty, pomiędzy którymi nie da się przejść za pomocą regularnej homotopii.
Cztery rodziny torusów
"Torus standardowy", narysowany w środku strony, należy do tej samej rodziny co obiekt przedstawiony na rysunku b. To właśnie pokazałem w wersji odwrócenia torusa, którą wymyśliłem w 1980 roku. Rodzina przedstawiona na rysunku a odpowiada torusowi, który uległ skręceniu o 360°. Wygląda podobnie jak torus standardowy, ale różni się od niego układem kartograficznym, opartym na dwóch rodzinach krzywych. W torusie standardowym używamy dwóch rodzin okręgów, które można porównać do południków i równoleżników. Na torusie a należałoby uzupełnić rodzinę okręgów przylegających do powierzchni drugą rodziną, skręconą w przeciwnym kierunku. Można wykazać, że nie da się za pomocą regularnej homotopii dopasować siatki torusa a do siatki torusa standardowego (okręgi południkowe plus okręgi równoleżnikowe). W tym sensie są to różne obiekty. Wszystkie te obiekty mogą oczywiście przyjąć postać dwuwarstwowego nakładu na butelkę Kleina.
Moc narzędzi geometrycznych polega na tym, by móc przewidywać, co jest możliwe, a co nie. Przekształcenie torusa standardowego w torus z rysunku b: tak. Przejście od c do d: nie.
To pozwala uniknąć bezcelowego tracenia czasu i zmusza przede wszystkim do poszukiwania rzeczy, które nie są oczywiste, jak np. odwrócenie sfery. Tak jest we wszystkich naukach. Czasem ludzie przez wiele lat, a nawet stulecia, przegapili produktywne metody, po prostu dlatego, że uważali je za niemożliwe do zrealizowania. Przez kilka lat swojego życia poświęciłem budowaniu teorii usuwania fal uderzeniowych wokół obiektu poruszającego się z prędkością naddźwiękową w gazie przy użyciu pola sił Laplace’a, tzw. MHD. Studenckie prace doktorskie były wykonywane pod moim kierunkiem, a nasze wyniki publikowane w czasopismach z recenzją i na konferencjach naukowych. Temat ten dopiero zaczyna się pojawiać, trzydzieści lat później. Podejrzewa się, że Amerykanie posiadają samoloty hipersoniczne, które mogą poruszać się z prędkością Macha 10 bez powstawania fal uderzeniowych (a w szczególności bez poddawania się ogromnym ograniczeniom termicznym wynikającym z ponownego skompresowania powietrza za tymi „wybuchami”). To znany mit o samolocie Aurora, który przelatuje na wysokości, na której występują burze polarne, pomiędzy 80 a 150 km wysokości. Aurora to także wstęp do przyszłych rakiet kosmicznych, które będą opierały się na powietrzu i będą znacznie tańsze niż rakiety CNES. W Francji nie udało się zainicjować takich badań (miałem te pomysły w 1975 roku), ponieważ ludzie, a zwłaszcza w CNRS, uznały je za całkowicie nierealne. Wynik to trzydziestoletni wyprzedzający USA, który według mnie jest całkowicie nie do nadrobienia.
Żart z fajki
Aby być kompletnym, należy wspomnieć o wersjach odwrócenia sfery, w których głównym obiektem jest fajka do tytoniu. To był przedmiot powszechnie spotykany, gdy byłem młody, ale dziś raczej nie ma się z nim do czynienia. Pierwszy, kto narysował te sekwencje, to Georges Francis. Od kilku lat pracuję nad wersją wielościanową tych wersji, która już dała dobre, estetyczne modele centralne. Ale żeby wam to pokazać, trzeba, bym znowu znalazł się nad tym. Wkrótce, mam nadzieję, ponieważ to jeden z najbardziej fascynujących obiektów, jakie kiedykolwiek stworzyłem.
Poprzednia strona Następna strona
Powrót do przewodnika Powrót do strony głównej
Liczba odwiedzin tej strony od 8 grudnia 2004 roku: