UNE INTERPRÉTATION DU MODÈLE COSMOLOGIQUE A VITESSE DE LA LUMIÈRE VARIABLE
Jean-Pierre PETIT.
Observatoire de Marseille
Pour correspondance scientifique : Chemin de la Montagnère, 84120, Pertuis. France.
Modern Physics Letters A, Vol. 3, n°16, nov 1988, p.1527
RÉSUMÉ : Un modèle cosmologique avec c, h, Gvariables est proposé. Les longueurs caractéristiques de la physique (Compton, Jeans, Schwarzschild) sont supposées varier comme R(t). Les mondes de la lumière et de la matière obéissent toutes deux à la même loi R » t 2/3. La constante de Planck varie comme t et la constante gravitationnelle comme 1/R, tandis que la longueur de Planck varie comme R. Les masses des particules suivent m » R. La loi de Hubble s'applique toujours. Les décalages vers le rouge proviennent de la variation séculaire de la constante de Planck.
1 - INTRODUCTION
Depuis 1930, la constance de plusieurs « constantes » de la physique a été critiquée par de nombreux auteurs [1,2,3,4]. Des mesures précises en laboratoire montrent que ces valeurs semblent très constantes dans notre champ espace-temps actuel, qui est très petit par rapport à l'ensemble de l'espace-temps, bien que Van Flandern [6] ait avancé des preuves observationnelles de la variation de la constante gravitationnelle G. À notre connaissance, l'extension de la constance de la vitesse de la lumière, et d'autres « constantes fondamentales », à l'échelle cosmique globale reste une hypothèse encore débattue. Le but de cet article est d'examiner certaines conséquences d'un modèle dans lequel les « constantes » (en particulier la vitesse de la lumière) sont supposées varier dans le temps.
- LA POSSIBLE VARIATION SÉCULAIRE DE c
Milne [1] a été le premier à proposer une tentative de ce type. Il a suggéré que les décalages vers le rouge observés sont dus à un changement séculaire de la constante de Planck et non à l'effet Doppler classique. Si l'énergie du photon en voyage reste constante, la diminution apparente de la fréquence observée serait uniquement due à l'augmentation linéaire de h avec le temps cosmique t. En outre, Milne [1] a suggéré une diminution du temps de la constante gravitationnelle G.
De façon similaire, Fred Hoyle [2] a contesté l'hypothèse de la constance du contenu massique de l'univers. Il a également suggéré un changement séculaire de Get une création constante de matière. Dirac [3,4], partant d'une hypothèse sur la variation dans le temps de certains grands nombres construits à partir de grandeurs physiques caractéristiques (comme le rapport entre la force électromagnétique et la force gravitationnelle), a obtenu un Gvariable et une création constante de matière. Par la suite, Canuto et Hisieh [8], Lodenquai [5] et Julg [7] ont exploré certaines conséquences de l'idée initiale de Dirac. Mais, de façon surprenante, personne n'a remis en question la constance absolue de c.
Dans les équations du champ, la constante dite d'Einstein c est déterminée par identification à l'équation de Poisson, ce qui donne :
(1)
La quantité c doit être une constante absolue par rapport aux quatre dimensions, pour que les équations du champ soient sans divergence. Mais une fois l'identification mentionnée ci-dessus référée à une situation stationnaire, elle n'implique pas la constance absolue de Get c. Un modèle cosmologique pourrait a priori être construit avec Get c variables en fonction du temps cosmique (qui sera définie plus tard), à condition que le rapport G/c² reste une constante absolue.
Dans la suite de cet article, nous allons analyser les effets d'une variation séculaire de la vitesse de la lumière.
- PROPOSITION DE RELATIONS DE GAUGE
La métrique de Robertson-Walker, fondée sur les hypothèses d'isotropie et d'homogénéité, conduit au système suivant :
(2)
(3)
Dans ce système, k est le signe de la courbure, p la pression et r la densité d'énergie-matière. Dans le modèle classique, on définit le temps cosmique t à partir de la variable chronologique x° par x° = c t, où c est considéré comme une constante absolue. En outre, la longueur d'onde du photon varie comme R.
Examinons maintenant la condition moins restrictive suivante :
(4)
d x° = c(t) dt
qui représente une interprétation alternative du paramètre chronologique x°. Nous allons maintenant relier les principales constantes physiques à R, considéré comme un paramètre de jauge :
(5 )
(6)
m (masse des particules) » R (7)
h » R 3/2
(8)
G » 1/R
En se référant à la relation (1), notons que G/c² = constante. En outre, si Vest la vitesse relative d'un élément donné, par exemple la vitesse aléatoire d'une galaxie dans un amas, ou la vitesse d'une particule libre dans un nuage, nous supposons que Vsuit la variation séculaire :
(9)
V » R-1/2
Si nous supposons que le nombre de particules est conservé, la densité de matière r obéit à :
(10)
r » 1/R 2
En conséquence, nous pouvons exprimer l'évolution cosmique à travers un processus de jauge, c'est-à-dire que la longueur d'onde de Compton, la longueur d'onde de De Broglie, la longueur de Schwarzschild et la longueur de Jeans varient toutes comme R.
En outre, notre modèle considère toujours mc² = constante et :
(11)
Le modèle classique a préservé les masses, supposées constantes, mais pas l'énergie-matière totale, en raison de la variation de l'énergie du fond cosmologique. Dans notre scénario, c'est exactement l'inverse : l'énergie-matière est constante dans le temps, pas les masses. En outre, il convient de noter que la quantité Gm²/R, qui peut être considérée comme une énergie gravitationnelle caractéristique, est conservée.
Étant donné que les énergies sont conservées dans notre modèle, le moment défini comme mVi varie comme R¹/². Il est constant uniquement si on le définit comme r u i c.
Enfin, la longueur de Planck varie dans le temps comme R(t), le temps de Planck varie comme t et les forces gravitationnelles comme 1/R(t).
- L'ÉQUATION D'ÉVOLUTION
En introduisant (4) dans le système (2),(3), on obtient les équations suivantes :
(12)
(13)
L'utilisation de l'équation d'état suivante
(14)
conduit à :
(15)
Dans le cas où R = a t m, le paramètre b disparaît de (15). D'après (5), Rc² = Ro c o² est une constante absolue, Ro et c o étant les valeurs actuelles du paramètre de jauge Ret de la vitesse de la lumière c. La seule valeur possible pour k est -1, ce qui signifie que, dans notre modèle, la courbure est négative. L'équation d'évolution devient alors :
(16)
Ici, contrairement aux modèles classiques, lumière et matière obéissent à la même loi d'évolution. De plus :
(17)
Si nous connaissons t o, l'âge de l'univers, et c o, la valeur actuelle de la vitesse de la lumière, nous pouvons déduire la valeur actuelle du paramètre de jauge de l'univers Ro = (3/2) c o t o, en utilisant :
(18)
La conséquence est que l'horizon est trouvé identique, à tout instant, au facteur de jauge R(t).
- INVARIANCE DE JUGE DE QUELQUES ÉQUATIONS FONDAMENTALES
Prenons d'abord l'équation de Vlasov, se référant aux fluides sans collision. f (r, V,t) est la fonction de distribution des vitesses, qui dépend du vecteur de position r, du vecteur vitesse Vet du temps t.
Y est le potentiel gravitationnel, de sorte que - m ¶ Y / ¶ r est la force agissant sur la particule de masse m.
(19)
Introduisons des variables sans dimension telles que :
t = t* t ; f = f* x ; V = V* w ; r = R* z ; Y = ( Gm/R*) j
L'équation (19) devient :
(20)
Introduisons les relations de jauge précédentes G* » 1/R*, m* » R*.
L'analyse dimensionnelle de l'équation (20) donne V* » 1/(R*)¹/² et :
(21)
R* » t* 2/3
Ces relations peuvent être interprétées comme des relations de jauge et reliées à la solution (16). Considérons maintenant l'équation de Schrödinger :
(22)
Introduisons :
t = t* t, r = R* z, h = h* h, m = m* m, U = U* u.
L'analyse dimensionnelle de l'équation (22) donne :
(23)
c'est-à-dire R* » t*²/³. Maintenant écrivons les équations de Maxwell, se référant à un vide :
(24)
(25)
et posons :
E = E* e, B = B* b, r = R* z, t = t* t, c = c* w
On obtient :
(26)
(27)
En combinant avec c* » 1/R¹/², on retrouve R » t²/³.
- CONCLUSION
Dans cet article, nous avons déduit certaines des implications de la variation des constantes fondamentales avec le temps. Cela ne peut être fait qu'avec l'ajout de certaines contraintes supplémentaires de jauge. Suivant la suggestion de Milne [1], l'interprétation classique du décalage vers le rouge en termes d'effet Doppler doit être remplacée par une autre qui tienne compte du changement séculaire de la constante de Planck. Les paramètres fondamentaux Ret c sont liés l'un à l'autre par certaines relations de jauge. Les masses des particules varient comme Rtandis que l'énergie-matière et l'énergie gravitationnelle sont conservées.
Ce modèle prédit que l'horizon cosmologique L(t) devrait être identique à R(t), ce qui justifierait l'homogénéité globale de l'univers. La courbure de l'espace devrait être négative et la relation de jauge entre Ret t devrait être R ~ t²/³.
La constante de Planck varierait comme t, et la constante gravitationnelle Gcomme 1/R, de sorte que la longueur de Planck varierait comme R, tout comme le temps de Planck varierait comme t. La force gravitationnelle varierait comme 1/R.
REFERENCES :
[ 1] E.A. MILNE : Kinematic Relativity Oxford 1948.
[ 2] F.HOYLE & J.V.NARLIKAR : Cosmological models in conformally invariant gravitational theory. Mon. Notices Roy. Astr. Soc. 1972 155 pp 3O5-325.
[ 3] P.A. DIRAC : 1937, Nature, 139, 323
[ 4] P.A. DIRAC : 1973 Proc. Roy. Soc. London, A333, 4O3
[ 5] V.CANUTO & J.LODENQUAI : Dirac cosmology, Ap.J. 211 : 342-356 1977 January 15.
[ 6] T.C.VAN FLANDERN : Is the gravitational constant changing ? Ap.J, 248 : 813-816
[ 7] A.JULG. Dirac's large numbers hypothesis and continuous creation. Ap.J. 271 : 9-1O 1983 August 1
[ 8] V.CANUTO & S.H. HSIEH : The 3 Kblackbody radiation, Dirac's large numbers hypothesis, and scale-covariant cosmology. Ap.J., 224 : 3O2-307, 1978 September 1
[ 9] ADLER R. BAZIN M. SCHIFFER M. : Introduction to general relativity. Mc Graw Hill 1965.
[ 1O] SOURIAU J.M. : Géométrie et relativité. Hermann ed, France, 1964
Version originale (anglais)
AN INTERPRETATION OF COSMOLOGICAL MODEL
WITH VARIABLE LIGHT VELOCITY.
Jean-Pierre PETIT.
Observatoire de Marseille
For scientific correspondance : Chemin de la Montagnère, 84120, Pertuis. France.
Modern Physics Letters A, Vol. 3, n°16, nov 1988, p.1527
ABSTRACT : A cosmological model with variable c, h, Gis proposed. The characteristic lengths of physics ( Compton, Jeans, Schwarzschild ) are assumed to vary like R(t). Both light and matter's worlds are found to obey the same law R
»
t 2/3
The Planck constant is found to vary like t and the gravitation one like 1/R, while the Planck length vary like R. The particle masses follow m
~
R. The Hubble law still apply. The redshifts come from the secular variation of the Planck constant
1 - INTRODUCTION
Since 193O the constancy of several so called constants of physics have been criticized by many authors [1,2,3,4] . Accurate laboratory measurements show that these values appear quite constant in our to-day's space time field, which is very small with respect to the whole space time, although Van Flandern [6] claimed for observational evidence of the variation of the gravity constant G. As far as we can see the extension of the constancy of the light velocity, and others so called "fundamental constants" over the overall cosmic scale is a still debatable hypothesis. The purpose of this paper is to examine some of the consequences of a model in which the 'constants" (especially the light velocity) are assumed to vary with time.
- THE POSSIBLE SECULAR VARIATION OF c
Milne [1] tried the first to propose an attempt of this type. He suggested that the observed red shifts are due to some secular change of the Planck constant and not to the classical Doppler effect. If the energy of the traveling photon remains constant, the apparent decrease of the observed frequency would be only due to the linear increase of h with the cosmic time t. In addition Milne [1] suggested a decrease in time of the gravity constant G.
Similarly Fred Hoyle [2] argued against the assumption of the constancy of the mass content of the universe. He also suggested a secular change of Gand constant creation of matter. Dirac [3,4] , starting from an hypothesis about the variation in time of some large numbers, built with characteristic physical quantities ( like the ratio of the electromagnetic force to the gravitational force ), got a variable Gand a constant creation of matter. Later Canuto and Hisieh [8] , Lodenquai [5] and Julg [7] explored some consequences of Dirac's initial idea. But, surprizingly, no one contested the absolute constancy of c.
In the field equation the so called Einstein constant
c
is determined by identification to the Poisson equation, which gives :
(1)
The quantity
c
must be an absolute constant with respect to the four dimensions, for the field equation to be divergenceless. But once the identification mentioned above refers to a steady situation it does not imply the absolute constancy of Gand c. A world model could a priori be built, with variable Gand c, with respect to the cosmic time ( which will be defined later ), if the ratio G/c
2
remains an absolute constant.
In the sequel of the paper we are going to analyze the effects of a secular variation of the light velocity.
- SUGGESTING
GAUGE RELATIONS
The Robertson-Walker metric, based on the isotropy and homogeneity assumptions, leads to the following system :
(2)
(3)
In this system, k is the sign of the curvature, p the pressure and r the density of energy-matter. In the classical model we define the cosmic time t from the chronological variable x°, by x° = c t , where c is considered as an absolute constant. In addition the wavelength of the photon varies like R.
Let us consider the less restrictive following condition :
(4)
d x° = c(t) dt
which represents an alternative interpretation of the chronological parameter x° . We are now going to relate the main physical constants to R, considered as a gauge parameter :
(5 )
(6)
m ( particle's mass )
»
R(7)
h
»
R 3/2
(8)
G
»
1/R
Referring to the relation (1) notice that G/c
2
= constant. In addition if Vis the relative velocity of a given element , for example the random velocity of a galaxy in a cluster, or the velocity of a free particle in a cloud, we assume that Vfollows the secular variation :
(9)
V
»
R-1/2
If we suppose that the number of particles is conserved, the matter density
r
obeys :
(10)
r
»
1/R 2
As a consequence we can express the cosmic evolution through a gauge process, i.e. the Compton wavelength, the De Broglie wavelength, the Schwarzschild length and the Jeans length are found to vary like R.
In addition our model still considers mc
2
= constant and :
(11)
The classical model saved the masses, as assumed to be constant, but not the total matter-energy, through the variation of the the cosmic background energy. In our scenario it is just the reverse : the energy-matter is constant in time, not the masses. In addition, one should notice that the quantity Gm
2
/R, which can be considered as a characteristic gravitational energy, is conserved.
Since the energies are conserved in our model, the moment as defined as mVi varies like R
1/2
. It is only constant if we define them as
r u i
c.
Finally the Planck length varies with time like R(t), the Planck time varies like t and the gravitational forces like 1/R(t).
- THE
EVOLUTION EQUATION
Introducing (4) into the system (2),(3) we obtain the following equations :
(12)
(13)
The use of the following equation of state
(14)
leads to :
(15)
In the case where R = a t
m
the parameter
b
disappears from (15). From (5) Rc
2 = R
oco
2
is an absolute constant, Ro and co being the present values of the gauge parameter Rand light velocity c. The only possible value for k is -1, which means that in our model the curvature is negative. Then the evolution law becomes :
(16)
Here, at contrary to the classical models, light and matter the same evolution law. Moreover :
(17)
If we know to, the age of the universe, and co
, the present value for the light velocity , we could derive the present value of the gauge parameter of the
universe Ro = (3/2) co to, with the use of :
(18)
The consequence is that the horizon is found to be identical, at any time, to the gauge factor R(t).
- GAUGE
INVARIANCE OF SOME FUNDAMENTAL EQUATIONS
Let us take first the Vlasov equation, referring to collision free fluids. f (
r
,
V,t)
is the velocity distribution function, which depends on the position vector
r
, the velocity vector
Vand the time t.
Yis the gravitational, so that - m
¶
Y /
¶
r
is the force acting on the particle whose mass is m.
(19)
Introduce non-dimensional variables, such that :
t = t* t ; f = f* x ; V = V*
w
; r = R* z
;
Y
= ( Gm/R*)
j
The equation (19) becomes :
(20)
Introduce the precedent gauge relations G*
»
1/R* , m*
»
R*.
The dimensional analysis of the equation (2O) gives V*
»
1/(R*) 1/2
and :
(21)
R*
»
t* 2/3
These relations can be interpreted as gauge relations and related to the solution (16). Consider now the Schrödinger equation :
(22)
Introduce :
t = t* t ,
r
= R* z
, h = h* h , m = m* m , U = U* u.
The dimensional analysis of the equation (22) gives :
(23)
i.e. R*
»
t*2/3 . Now let us write the Maxwell equations, referring to en empty space :
(24)
(25)
and write :
E
= E*
e
, B = B*
b
,
r
= R* z
, t = tt, c = c
w
We get :
(26)
(27)
Combining with c*
»
1/R* 1/2
we refind R*
»
t 2/3
.
- CONCLUSION
.
In this paper we have derived some of the implications of letting the fundamental constants varying with time. This can only be done with the addition of some further gauge constrainsts. Following the Milne's suggestion [ 1] the classical interpretation of the red shift in terms of Doppler effect has to be replaced by another one taking account the secular change of the Planck constant. The fundamental parameters Rand c are related to each other by some gauge relation. The particle masses vary like Rwhile the energy-matter and the gravitation energy are conserved.
This model predicts that the cosmological horizon L(t) should be identical to R(t), which would justify the overall homogeneity of universe. The curvature of space should be negative and the gauge relationship between Rand t should be R ~ t 2/3
.
The Planck's constant would vary like t, and the gravitational constant Glike 1/R, such as the Planck's length would vary like R, as well as the Planck's time would vary like t. The gravitational force would vary like 1/R.
REFERENCES :
[ 1] E.A. MILNE : Kinematic Relativity Oxford 1948.
[ 3] P.A. DIRAC : 1937, Nature,
139,
323
[ 4] P.A. DIRAC : 1973 Proc. Roy. Soc. London ,
A333
, 4O3
[ 5] V.CANUTO & J.LODENQUAI : Dirac cosmology, Ap.J.
211
: 342-356 1977 January 15.
[ 6] T.C.VAN FLANDERN : Is the gravitational constant changing ? Ap.J,
248
: 813-816
[ 7] A.JULG. Dirac's large numbers hypothesis and continuous creation. Ap.J.
271
: 9-1O 1983 August 1
[ 1O] SOURIAU J.M. : Géométrie et relativité. Hermann ed, France, 1964