4
.
Zauważmy w tym momencie, że system zaproponowany dziecku nie jest bezbłędny. Działa poprawnie jedynie wtedy, gdy przedmioty, które są dostępne, to te, które zostały sprzedane razem z grą. Zauważmy, że komórka „cylindry” pozwala wprowadzić cylindry o tym samym promieniu, ale różnych długościach, a także spinaki, grzebienki, piersi, klucze do szafki itp...
Logicznie, dziecko, które przeżywa ten proces uczenia się grup, może wnioskować, że klucz do szafki i cylinder to przedmioty tej samej kategorii. To prawda, w sensie, że te przedmioty mają wspólną właściwość „wchodzi do tego otworu”.
Moja córka, kiedy była znacznie młodsza, prowadziła bardzo interesujące eksperymenty na temat grup, używając jako okna wejściowego, jako filtra, wejścia do mojego komputera. Aby odtworzyć jej tok rozumowania, trzeba było całkowicie rozłożyć urządzenie po wyłączeniu. Było to w sumie logiczne. Dziś nadal bardzo interesuje się grupami. Ale nie są to te same, a te wybory nie sprawiają mi przyjemności.
Wróćmy do naszego chłopca z wcześniejszego fragmentu. Za kilka miesięcy zainspirowanie tego samego chłopca grupą Galileusza, rzucając mu przedmioty i zachęcając do ich chwycenia. Wtedy nie ma znaczenia kształt przedmiotów, ważna jest ich ruchliwość. Zmieniamy grupę. Dla niemowlęcia przedmiot (dostatecznie mały, by mógł go chwycić) staje się równoważny jego środkowi ciężkości. Jest to „punkt-masa”, „punkt-materialny”. Grupa Galileusza obsługuje
dynamikę punktów materialnych.
Klasyfikacja odbywa się wtedy według typów ruchu.
-
To mogę chwycić.
-
To nie mogę chwycić.
Oceniwszy na oko warunki początkowe – położenie i wektor prędkości – niemowlę musi rozpoznać typ ruchu, przed którym stoi, i przewidzieć jego przebieg.
Stając się dorosłym, może grać w tenis, ciągle wykorzystując grupę Galileusza, która, podobnie jak grupa Euklidesa, jest macierzą kwadratową. Ponieważ piłki tenisowe poruszają się z prędkościami znacznie mniejszymi niż prędkość światła, nie będzie potrzebował używać grupy Poincarégo (jeszcze jednej macierzy kwadratowej, która zarządza ruchem
relatywistycznym
punktów materialnych).
Jednakże punkty materialne obsługiwane przez grupę Galileusza nie są już punktami z grupy Euklidesa – mają one
atrybuty.
Specjalista z
fizyki matematycznej
operujący grupą Galileusza nie mówi już o punktach materialnych, ale o
ruchach.
To, czego szuka, to klasyfikacja ruchów. W tym miejscu napotykamy na istotny aspekt fizyki cząstek elementarnych: szukamy przypisania opisu fenomenologicznego:
Powiedz mi, jak się poruszają, powiem ci, kim jesteś.
Nie pytamy już „z czego składa się cząstka”, ale jak się
prowadzi.
Dlatego cząstki obojętne nie zachowują się tak samo jak cząstki naładowane elektrycznie. Należą do różnych gatunków. Posiadają różne atrybuty.
Nasz niemowlak, stając się fizykiem wysokich energii, może codziennie przeglądać zdjęcia z komory pęcherzykowej.
Zdjęcia uzyskane za pomocą komory pęcherzykowej (Schem..)
Zdjęcie po lewej: proton, neutron i elektron przeszły przez pole komory. Komora jest poddana polu magnetycznemu prostopadłemu do płaszczyzny rysunku. Neutron, nieposiadający ładunku elektrycznego, nie reaguje. Idzie prosto. Cząstki naładowane mają bardzo różne promienie obiegu (promień Larmora). Lekkie elektrony skręcają znacznie mocniej w polu magnetycznym prostopadłym do kierunku ich ruchu niż ciężkie protony. A oba skręcają w przeciwnych kierunkach.
Zbiór ruchów w polu magnetycznym, zarządzany przez...
Ale tej grupy jeszcze nie ma. Gdybyś ją znalazł, zrobiłbyś szczęśliwych.
W każdym razie nasz człowiek, analizując zdjęcia, rozpoznaje trajektorie należące do różnych zbiorów ruchów.
-
To jedzie prosto – to neutron.
-
To skręca powoli w prawo – to proton.
-
To skręca mocno w lewo – to elektron.
Zdjęcie po prawej: elektron i antyelektron, które powstały z tego samego promieniowania (kreska przerywana), przyjmują symetryczne trajektorie, co świadczy o przeciwstawnych ładunkach elektrycznych.
Klasyfikacja gatunków według zachowania, jako zbiory ruchów.
Moment.
Ten czysto geometryczny obiekt może być traktowany jako zbiór atrybutów. Odrzućmy na razie cząstki naładowane – wrócimy do nich później. „Punkt materialny relatywistyczny” posiada atrybuty grupowane według tego, jak matematyk Jean-Marie Souriau, lider w dziedzinie
fizyki matematycznej,
opisał je w obiekcie zwanym
momentem powiązanym z grupą Poincarégo.
Atrybuty punktu materialnego relatywistycznego nazywane są:
-
Energia E
-
Pęd
p
- Obrotowość
l (powiązana z spinem)
- Przejście
f
„Moment” ma więc postać: J = { E,
p,
l,
f }
Uwaga na marginesie:
Zwykło się w tym, co będzie dalej, oznaczać wielkości skalarne małymi literami, a wielkości nie-skalarne (macierze kwadratowe, macierze wierszowe, macierze kolumnowe) dużymi literami.
Uprecyzowanie: można wtedy wykonywać wszystkie mnożenia macierzowe wiersz-kolumna, manipulując małymi lub dużymi literami, co jest bardzo wygodne. Podajmy przykład. Działanie elementu grupy Euklidesa 2D miało postać:
Wprowadzając:
otrzymamy bardziej skondensowaną postać:
g ma teraz postać macierzy, składającej się z podmacierzy:
-
a to macierz kwadratowa o rozmiarze (2,2).
-
c to wektor-kolumna (wektor przesunięcia) o rozmiarze (2,1).
-
0 to wektor-wiersz o rozmiarze (1,2):
Zazwyczaj duże zera są równoważne wektorom wierszowym lub kolumnowym.
Działanie ma teraz postać:
Ponieważ
a r
oznacza
a x r
(choć z czasem pomija się znak mnożenia macierzowego).
Koniec uwagi, powrót do tematu momentu. Wróćmy do wyrażenia momentu w przypadku punktu materialnego relatywistycznego. J = { E,
p,
l,
f }
E to skalar (energia).
p
to wektor
pędu
l
i
f
(litery duże) to inne wektory (lx, ly, lz) i (fx, fy, fz): „obrotowość” i „przejście”.
W trakcie własnych badań, które przedstawimy na tym podstronie Geometrical Physics B (grupy dynamiczne fizyki), problem polega właśnie na wyodrębnieniu innych „atrybutów” cząstek elementarnych jako składowych bardziej złożonego momentu (ładunki: elektryczny, barionowy, leptonowy, tauonowy oraz współczynnik giromagnetyczny).
To właśnie Souriau w latach siedemdziesiątych stworzył metodę pozwalającą na wyłonienie składowych momentu punktu materialnego z grupy, którą zarządza (w przypadku relatywistycznym grupa Poincarégo). Zobacz książkę:
Struktura układów dynamicznych. Dunod 1973
Silna zaleca się aspirynę.
Jest trudno iść dalej bez zastosowania dość obszernego, czasem skomplikowanego aparatu matematycznego. Może to zrobić się później na stronie, jeśli pojawią się entuzjastów, w stylu „Wszystko, co zawsze chcieliście wiedzieć o grupach, ale nigdy nie ścisnęliście się, by zapytać”.
Powrót do podsumowania „grupy i fizyka”