6
Nie będziemy pisać składowych momentu grupy Bargmanna. Schematycznie zapiszmy moment grupy Bargmanna w następujący sposób:
J B = { skalar m, oraz inne składowe momentu }
Działanie koadunujące
wskazuje, jak transformują się poszczególne składowe momentu. Jednak to działanie koadunujące zaczyna się prostą relacją:
(63)
m' = m
Działanie koadunujące grupy Bargmanna na jej moment zaczyna się od zachowania masy, która w ten sposób nabiera
czysto geometrycznego statusu
.
Konstrukcja działania koadunującego grupy Poincarégo na swoim przestrzeni momentów J p.
Jeśli już się całkowicie zgubiłeś, niech to zostanie. To normalne, a z każdym kolejnym rozdziałem będzie coraz trudniej. Nie wiem już do kogo dokładnie się teraz odnoszę. Prawdopodobnie do fizyków teoretyków lub matematyków, ale raczej nie do instalatorów rur i blach. Jednak uczeń szkoły wyższej lub student fizyki, który będzie się trzymał, może to śledzić. To nic innego jak macierze.
Wszystko zaczyna się od grupy macierzy 4×4, które tworzą grupę Lorentza, której elementem jest L.
Są one definiowane aksjomatycznie za pomocą macierzy G:
(64)
zgodnie z:
(65)
t L G L = G
gdzie t L oznacza transpozycję macierzy L.
Macierze L tworzą grupę.
Dowód.
Elementem neutralnym jest L = 1:
Niech L₁ i L₂ będą dwoma elementami zbioru. Sprawdźmy, czy iloczyn L₁L₂ należy do grupy. Jeśli tak:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = G
Ale:
t (A B) = t B t A
Zatem:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = t L₂ t L₁ G L₁L₂ = t L₂ (t L₁ G L₁) L₂ = t L₂ G L₂
Następnie obliczmy odwrotność macierzy L. Zaczynamy od aksjomatycznej definicji elementów L:
t L G L = G
Mnożymy prawostronnie przez L⁻¹:
t L G L L⁻¹ = G L⁻¹ → t L G = G L⁻¹
Mnożymy lewostronnie przez G:
G t L G = G G L⁻¹ → G t L G = L⁻¹
Zatem odwrotność macierzy L to:
L⁻¹ = G t L G
Stąd:
(66)
wektor przestrzeni-czasu. Macierz G pochodzi z metryki Minkowskiego, którą można teraz zapisać (dla c = 1):
(67)
Ćwiczenie: wykazać, że macierz odwrotna spełnia:
(68)
Następnie wprowadzamy wektor przesunięcia przestrzenno-czasowego:
(69)
Z którego konstruujemy element g p grupy Poincarégo:
(70)
Ćwiczenie: wykazać, że to tworzy grupę i obliczyć macierz odwrotną:
(71)
Poniżej wektor styczny do grupy, element jej „algebry Liego”:
(72)
Na podstawie tego obliczymy działanie odwrotne:
(73)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Z uwagi na wygodę obliczeń zauważmy, że:
(74)
G d L jest macierzą antysymetryczną. Oznaczmy ją jako:
(75)
zatem:
(76)
Oznaczmy:
(77)
Na podstawie tego materiału skonstruujemy działanie odwrotne:
(78)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Po wykonaniu wszystkich obliczeń otrzymamy przekształcenie:
(79)
Jeśli chcesz pominąć tę część prostych obliczeń macierzowych, przejdź do równania (80) na końcu strony.
(79a)
(79b)
stąd składowe działania odwrotnego:
(79c)
ale:
(79d)
zatem:
(79e)
ale G G = 1, więc:
(79f)
stąd otrzymujemy przekształcenie:
(79g)
co stanowi poszukiwane działanie odwrotne, przekształcenie:
(80)
Powrót do podrozdziału „grupy i fizyka”