7
Element
g
p grupy Poincaré Gp jest określony przez ciąg parametrów {
p
i}, których liczba, jak już powiedzieliśmy, odpowiada
wymiarowi grupy
. Macierz
d g
(g = e)
składa się z wielkości {
dp
i} . Zatem powyższa aplikacja ma postać:
(81)
Innymi słowy, każdemu zbiorowi skalarnych
dp
i przyporządkowujemy równą liczbę skalarnych
dp
i
'. Dualność polega na przyjęciu niezmienniczości skalara według wzoru:
(82)
n oznacza wymiar grupy (dziesięć dla grupy Poincaré). Skalary Ji reprezentują składowe momentu, liczba których jest taka sama.
Zdecydujemy się rozłożyć ten moment
J na dwa obiekty. Pierwszy będzie macierzą
M antysymetryczną o wymiarze (4,4), mającą więc sześć składowych, a drugi „czterowektorem”
P, macierzą o wymiarze (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Zapiszemy iloczyn skalarny w postaci:
(85)
Tr oznacza „ślad z”, a będziemy mieć dalej:
(86)
liniową formę, której niezmienniczość zapewnia dualność.
przy czym:
(87)
(87b)
(87c)
ale
GG
= 1
więc to daje:
(88)
Identyfikujemy wyrazy zawierające
y (89)
To znaczy:
(90)
----> Tutaj następują szczegółowe obliczenia macierzowe. Jeśli chcesz,
klikając tutaj
możesz przejść bezpośrednio do wyniku
W śladowi można wykonać cykliczną permutację składników.
(90a)
(90b)
(90c)
drugi składnik prawej strony jest równy iloczynowi macierzy wierszowej przez macierz kolumnową.
To jest równe śladowi iloczynu odwrotnego (poniżej schematycznie iloczyn macierzy wierszowej przez macierz kolumnową):
(90d)
W tym śladowi mogę wykonać cykliczną permutację:
(90e)
Stąd:
(90f)
(90g)
Tutaj ponownie zastosujemy twierdzenie dotyczące śladów macierzy będących iloczynem innej macierzy przez macierz symetryczną.
Każda macierz może być zsymetryzowana lub zantysymetryzowana. Ponadto ślad iloczynu macierzy przez macierz symetryczną jest zerowy.
(90h)
Mogę to zastosować do macierzy (90i)
ponieważ bierzemy ślad
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
ale:
(90l)
więc
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
i:
(90q)
w końcu:
(90r)
Po połączeniu i zmianie miejsc parametrów otrzymuję moją działanie grupy:
Obrazy
Powrót do podrozdziału „grupy i fizyka”