8
(91)
Ta działanie wspomagające można zapisać w postaci macierzowej.
Macierz grupy Poincarégo ma postać:
(92)
jej transpozycja to:
(93)
Rozważmy macierz:
(94)
To znaczy, że zamierzamy przedstawić moment
(95)
Jp = {
M,
P }
w postaci macierzowej i utworzyć iloczyn:
(96)
(97)
(98)
który mogę zidentyfikować z macierzą:
(99)
Jp jest więc momentem grupy Poincarégo przedstawionym w postaci macierzowej. Działanie wspomagające ma wtedy postać:
(100)
Jako ćwiczenie czytelnik może, opierając się na aksjomatach, sprawdzić, że to rzeczywiście działanie.
Moment grupy Poincarégo można wyrazić następująco:
(101)
Ta macierz jest antysymetryczna (co oznacza, że jej główna przekątna składa się z zer).
Macierz M ma postać:
(102)
Wyraźmy ją:
(103)
Jest to rzeczywiście macierz antysymetryczna, założenie podane od początku, zależna od sześciu parametrów:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Trzy ostatnie ( fx , fy , fz) są składowymi wektora, wektora- przesunięcia f:
(105)
Trzy pierwsze ( lx , ly , lz) są niezależnymi składowymi macierzy antysymetrycznej (3,3), momentu obrotowego l:
(106)
W ten sposób:
(107)
Wektor P to czterowektor pędu-energii:
(108)
Można teraz wyrazić moment grupy Poincarégo w pełnej ogólności:
(109)
Weryfikujemy, że jest to obiekt o dziesięciu składowych (liczba równa liczbie wymiarów grupy).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
Powrót do podrozdziału „grupy i fizyka”