9
Cząstki o spinie.
Grupa Poincaré opisuje ruch relatywistyczny obiektu punktowego. Podobnie grupa Bargmanna, której wyrażenie zostanie podane później, opisuje ruch nierelatywistyczny obiektu punktowego, który nazywamy wtedy „masą punktową”.
Widzimy więc, że ta technika, obliczanie działania koadjointnego grupy na przestrzeni momentów, pozwoliła na wyłonienie ukrytych elementów, cech obiektu: składowych momentu.
To, co jest zaskakujące, to fakt, że ta metoda, zaproponowana przez Souriau, pozwala na pojawienie się kluczowych obiektów fizyki jako czysto geometrycznych obiektów. W ten sposób dokonał on niepowtarzalnej pracy
geometryzacji fizyki.
Poza energią i pędem, inne składowe – „obracanie” i „przechodzenie” – zaskakują fizyka. Co to znaczy?
Wyrażenie składowych momentu oczywiście zależy od wybranego układu współrzędnych.
Najprościej może być wrócić do przypadku nierelatywistycznego, czyli do wyrażenia działania koadjointnego, które mogłoby wyniknąć z analizy grupy Bargmanna.
(111)
Tajemnicze wyrażenie. Do czego służy? Jak działa?
W powyższym ramce fizyk rozpozna kilka znanych obiektów:
(112)
to po prostu dwa wyrażenia wektora prędkości { vx, vy, vz } – pierwsze w postaci macierzy kolumnowej, drugie w postaci macierzy wierszowej. Iloczyn tych dwóch macierzy daje skalar:
(113)
coś, co zaczyna przypominać energię kinetyczną.
m v to pęd.
Tradycyjny fizyk, zajmujący się dynamiką punktu materialnego, zna tylko trzy rzeczy:
- masę m
- pęd m v
- energię kinetyczną 1/2 mv²
Tak, ale prędkość względem czego?
Grupa to także sposób patrzenia na rzeczy. Można więc albo założyć, że za pomocą grupy przemieszczamy obiekty (jak widzieliśmy to w przypadku grupy Euklidesa), względem obserwatora uznawanego za nieruchomego, albo – jeśli obiekt jest nieruchomy – inaczej go obserwować.
Jeśli przyjmiemy ten sposób przemieszczania, transportowania obiektów, w przypadku grup dynamiki – grup fizyki (w przeciwieństwie do grupy Euklidesa, gdzie czas nie pojawia się) – musimy również powiedzieć, że nadajemy obiektom ruch, nadając im prędkość v i energię E.
Jeśli przyjmiemy odwrotny punkt widzenia: załóżmy, że obiekt jest nieruchomy i rozważmy nasze własne przemieszczanie – jaki sens nadawać grupom?
Grupa Euklidesa oznaczałaby wtedy: „widziane z innego miejsca i pod innym kątem”. „Z innego miejsca” to wektor przesunięcia:
(114)
„Pod innym kątem” to macierz obrotu a, czyli obrót w przestrzeni (który można by rozpisać za pomocą kątów Eulera, co jednak nie zrobimy).
W przypadku grup dynamiki ten sposób patrzenia, ten punkt widzenia na „rzeczy”, musi zostać uzupełniony. Zostając w kontekście grupy Bargmanna, wprowadzenie tej prędkości v oznacza, że obserwator, który obserwuje tę masę punktową z innego miejsca (wektor przesunięcia c) pod innym kątem (macierz obrotu a), sam również porusza się względem tej nieruchomej masy punktowej z prędkością v.
Aby być kompletnym, aby skomplikować sprawę, nie porusza się w tym samym czasie co cząstka, czyli obserwowana masa punktowa. Jest opóźniony względem niej o czas Δt. Innymi słowy: obserwuje ją z innego miejsca, ale to jest miejsce przestrzennoczasowe, odpowiadające wektorowi przesunięcia przestrzennoczasowego:
(115)
Zajmując takie „odstępowanie” względem tej masy punktowej, co obserwuję? Po pierwsze: m' = m
Nie zmienia to jej masy.
Można uprościć sobie życie, anulując obrót. Wystarczy trudność obserwacji masy punktowej z innego miejsca, z innego czasu, opóźnionej, na deskorolce poruszającej się z prędkością v. Czy naprawdę konieczne jest dodatkowo kręcić głową?
Nie. Niech a = 1.
Zazwyczaj jednak ten szczegół pomija się w obliczeniach. Działanie koadjointne, w tej szczególnej postaci, przyjmuje postać:
(117)
Słowo „rozważać” należy tu rozumieć w sensie etymologicznym. Co robię, gdy rozważam sytuację, niebo, pole bitwy, film zrobiony przez samolot szpiegowski?
Sądca zapisze:
- Rozważając stan miejscowy...
Obraz statyczny, odpowiadający grupie Euklidesa. Sądca obserwuje obiekty z odległości c, w tym samym momencie (Δt = 0), w przybliżeniu nieruchome (v = 0). W przypadku potrzeby pod konkretnym kątem, pod „pewnym kątem”.
Generał, spacerujący w samolocie rozpoznawczym, to rodzaj sądzy, który się porusza (v ≠ 0).
Ale dowódca sztabu, który ogląda film zrobiony przez drona, stoi przed sytuacją przesuniętą w czasie. Musi powiedzieć:
- Rozważmy cel, widziany z tego punktu, w zakręcie, z taką prędkością, i ponadto takim, jakim był dwa godziny wcześniej...
Cel nie ma własnej szczególnej prędkości. Nie można go uznać za nieruchomy, nawet jeśli to „stała instalacja”. Nawet Ziemia się porusza, tak samo Słońce, galaktyka itd.
Powrót do podrozdziału „grupy i fizyka”