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Tout ce que je peux dire c'est :
- qu'en m'éloignant de la "cible" d'une distance
c
.
- en l'observant en me déplaçant moi-même
à une vitesse
v
.
- en étant, par rapport à cette cible, décalé
d'un laps de temps
Dt
Par rapport à moi
:
--- Je n'ai pas fait varier sa masse m.
--- Je l'ai dotée d'une impulsion m
v
( quantité de mouvement).
---- Je l'ai dotée d'un passage m [
c - v D
t ]
---- et d'un tournoiement :
Explicitons celui-ci :
(118a)
(118b)
(118c)
ou :
(118d)
On peut considérer les trois composantes indépendantes de la matrice tournoiement
l
comme celles d'un vecteur. Celui-ci s'écrit alors :
(119)
Bien qu'on n'ait pas défini le produit vectoriel dans notre espace, c'est à dire qu'on ne lui a pas conféré d'orientation droite-gauche, on peut considérer cela comme un produit vectoriel :
(120)
le
v
à l'envers désignant le produit vectoriel. On voit que la dernière ligne des formules donnant l'action coadjointe sur le moment correspond à :
(121)
l
étant une matrice et non un vecteur ( mais, dans nos notations, les lettres grasses désignent indifféremment les uns et les autres, le maigres se référant aux scalaires).
Ce vecteur produit vectoriel commence à ressembler, pour le physicien, à quelque chose de connu : le
moment cinétique
.
On prend une particule, on s'en éloigne de
c
et on l'observe en circulant à la vitesse
v
. Tout se passe comme si c'était l'inverse: que la particule soit éloignée d'un observateur supposé fixe et se déplace à une vitesse
v
.
(122)
Reste le "passage"
f
= m [
c - v Dt ]
Il s'annule en faisant simplement
c = v D
t , c'est à dire en reliant la vitesse
v
et la translation spatio-temporelle :
(123)
Reprenons l'expression du moment issu du groupe de Poincaré, exprimé dans un système de coordonnées où le passage soit nul :
(124)
Une particule, c'est un choix particulier effectué dans le moment. Ceci étant, des changements de coordonnées permettent de faire disparaître le passage
f
et de ramener les composantes du tournoiement
l
et de l'impulsion
Pà une seule composante (mouvement en z) :
(125)
L'objet décrit par le groupe de Poincaré possède donc a priori :
-
Une énergie E
-
Une impulsion P
-
Un tournoiement propre l
Le tournoiement c'est une masse, multipliée par une longueur, le tout multiplié par une vitesse. Ca a donc la dimension M L 2 T -1
de la constante de Planck h.
La méthode de
quantification géométrique
, développée par Souriau (voir Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973) permet de montrer que ce tournoiement doit être proportionnel à :
(125b)
par valeurs demi-entières. C'est à dire soit l'unité (photon), soit 1/2 pour les autres particules comme l'électron, le proton, le neutron, les neutrinos, et leurs antiparticules.
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