29 lutego 2010

Bez tytułu

Czy można myśleć jak kraba?

27 lutego 2009

Wypowiadamy się, między innymi, za pomocą języka, który ma odzwierciedlać naszą strukturę logiczną. W naszym języku stworzyliśmy strukturę dwuwartościową, z TAK i NIE, PRAWDA i FAŁSZ, co prowadzi do „myślę aristotelesową”, według której każde zdanie (logik powie „zdanie”) może być tylko PRAWDA lub FAŁSZ. To nazywamy zasadą wyłączonego trzeciego.

Niestety, doświadczenie nie podąża za teorią, a nasza frazeologia obfituje w zdania nieokreślone, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe, takie jak

*„Kłamie”

Od dobrych stu lat logicy wykorzystują niezwykłą wyobraźnię, próbując stworzyć logiki nie-dwuwartościowe. Przyjrzyjmy się przykładowi logiki trójwartościowej, tzw. logice rozmytej, której wartości prawdy to

*Prawda Nieokreślona Fałsz

Logika ta wykazała swoją skuteczność w automatyzacji, kontroli procesów (w inżynierii).

Próbowano również stworzyć logikę czterowartościową, najbardziej klasyczna z nich ma wartości prawdy:

Próba rozszerzenia, która nie okazała się owocna.

W swojej książce:

Aby skontaktować się bezpośrednio z autorem:

Błąd Autorem zostało zgłoszone, że w jednym z tabel w książce występuje błąd. Chodzi o tabelę ze strony 29, a jej wersja kolorowa znajduje się na stronie 135. Najpierw dziękujemy za zainteresowanie tym dziełem i za wybór zakupu książki.

Takie rzeczy się zdarzają... Występuje piękny błąd! W trzeciej linii i kolumnie zamiast 1 przypadkowo znajduje się 0. Poprawka zostanie przekazana wszystkim w ciągu kilku dni.

Poza tym znaki = i \ znajdują się na przekątnych: te podwójne kreski, patrząc z jednej przekątnej, dają znak =, a z drugiej dają \, które należy rozumieć jako „różne”, tam gdzie się znajdują.

Mamy nadzieję, że to pozwoli Państwu bez przeszkód kontynuować lekturę. Ponownie serdecznie dziękujemy (i przepraszamy też!). Pozostajemy do dyspozycji, jeśli przypadkiem ponownie napotkacie wątpliwość... albo nowy błąd!

Rysunek 2.2, zastąpić powyższą tabelą

Denis Seco de Lucena zaprasza nas na dziwną podróż, z której czytelnik może nie wyjść bez szkody. Zaczniemy od analizy języka – to właśnie droga każdego logika. Autor proponuje wprowadzenie tzw. pojęcia przeciwstawności. Z tego punktu widzenia wszystkie zdania mogą być rozłożone na cztery, wzajemnie symetryczne formy, składające się z „dwóch par symetrycznych”. Przykładów w języku jest bardzo dużo, ale „czwarte zdanie” czasem trudno sformułować, a czasem nie odpowiada żadnemu istniejącemu w języku określeniu.

Najpierw podajmy przykłady, w których „przeciwstawność” wyraża się jasno. Weźmy na przykład pojęcie ruchu. Istnieją cztery sposoby „poruszania się”:

Widzimy od razu, jak powstają pary z ich symetrią. Wstecz to przeciwieństwo naprzodu, i odwrotnie. Poruszać się to przeciwieństwo nie ruszać się, i odwrotnie.

Jeśli odwołamy się do topologii, wprowadzimy cztery przysłówki lub wyrażenia przysłówkowe:

29 lutego 2010: Mój przyjaciel Jacques Legalland sugeruje, że czwarte zdanie lepiej byłoby sformułować jako:

Jeśli odwołamy się do kolorów:

27 lutego 2010: Jie sugeruje:

Grając na czasie:

Przysłówek „nigdy” jest odpowiednikiem czasowym wyrażenia „nikąd” (patrz wyżej).

Ta forma myślenia przypomina mi tekst ummitowski o logice, który, jeśli dobrze pamiętam, wspominał o czterech wartościach prawdy:

Jeśli weźmiemy wartości prawdy klasycznej logiki czterowartościowej:

27 lutego 2010: Trzeba by ponownie zinterpretować czwartą wartość jako „nie odpowiada temu typowi klasyfikacji”:

Weźmy liczby rzeczywiste. Mamy:

Czwarte zdanie mogłoby brzmieć:

Przechodząc do implikacji:

Widzimy, że powstają cztery sposoby „mówienia”, które różnią się od klasycznej logiki czterowartościowej, o której wspomniano wcześniej. Symetria dwóch ostatnich zdań jest inna. Autor proponuje nazwać te pary zdań, cech, „przeciwstawnymi”.

Sposób, w jaki przedstawiamy rzeczy, nie odpowiada sposobowi, w jaki autor używa go w swojej książce, którą bardzo polecam do przeczytania. Ale od razu zastanowicie się: „co się tu kryje?” Ta pytanie poprowadzi was bardzo daleko. Autor, uczony, znalazł punkt wyjścia w liście, który otrzymał w 1992 roku od tajemniczych korespondentów zwanym „Ummitemi”, list, który został wysłany z Riadu, Arabii Saudyjskiej. Dla tych, którzy nie znają tej historii, warto przypomnieć kontekst. W masie dokumentów przyniesionych z Hiszpanii od połowy lat sześćdziesiątych, autorzy tych tekstów naciskały na konieczność porzucenia logiki arystotelesowej i przejścia do logiki czterowartościowej.

W ciągu lat próbowałem różnych podejść. W 1992 roku miałem Mac Intosh pierwszej generacji, działający na 2 MHz, i oczywiście całkowicie pozbawiony modemu lub jakiegokolwiek środka komunikacji z zewnątrz. W tym komputerze zapisywałem refleksje, które znane były tylko mnie. Zainspirowany twierdzeniem Gödela, przypomniałem sobie, że opiera się ono na arytmetyce (manipulacji liczbami naturalnymi), aksjomatyzowanej na końcu XIX wieku przez matematyka Peano. Matematyk Gauss wynalazł w swoim czasie to, co dziś nazywamy „liczbami Gaussa”, czyli liczbami zespolonymi o całkowitych wartościach.

Zauważyłem, że liczby Gaussa są klasycznie traktowane jako pary liczb naturalnych (a, b), a żadna aksjomatyzacja nie została spróbowana, by je skonstruować inaczej niż decydując się nadać im „dwie liczby”.

Kilka dni po umieszczeniu tych refleksji na dysku twardym otrzymałem zaskoczenie list, który został wysłany z Arabii Saudyjskiej i zawierał dokładnie te same refleksje.

Treść tego listu

Okazuje się, że Denis, będąc uczonym, znalazł w tym dziwnym liście punkt wyjścia dla dziesięcioletniej drogi, którą opisał w książce, którą właśnie wydał. Z uwagi na egzotyczny, a nawet krytyczny charakter źródła, rozumiemy, dlaczego zdecydował się opublikować ją pod pseudonimem.

Nie wiem, czy pamiętacie książkę Julesa Vernesa: „Podziemna podróż”, gdzie bohaterowie grają z tajemniczym wiadomością, zostawioną przez Aarne Saknudsena. Łącząc jej elementy, ostatecznie odkrywają ścieżkę prowadzącą do środka Ziemi. Czekajcie więc, że w książce Denisa coś podobnego się pojawi.

Nie jest pierwszym, który próbował tej przygody, ale do tej pory wszystkie próby okazały się bezowocne, mimo że czasem wydawały się bardzo przekonujące. Pomyślę o próbie Kanadyjczyka Normana Mohlanta na stronie ummo.science. Matematyk powiedziałby: „można tworzyć algebry nieskończone”, grać z nimi, jak z zestawem LEGO. Tworzenie elementów nowego LEGO to jednak zupełnie inna sprawa.

Gdzie leży „więcej” w pracy Denisa?

Zaczyna od odnalezienia ścieżki prowadzącej do obiektów matematycznych wynalezionych w 1843 roku przez irlandzkiego matematyka Hamiltona: kwaternionów. Najczęściej znajdują się one w książkach w postaci rozszerzenia liczb zespolonych:

Q = a + b i + c j + d k

z warunkami:

i² = -1

j² = -1

k² = -1

i j = k

i j² = k j

i j = - j i

(antyprzemienność)

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

Iloczyny są antyprzemienne.

Kiedy Hamilton wynalazł kwaterniony i odkrył ogrom ich własności, był tak podniecony swoim odkryciem, że powiedział:

• To wszystko musi mieć zastosowanie w fizyce, ale kto wie, jakie?

Oczywiście nie mógł wyobrazić sobie, że ten związek zostanie ustanowiony z powstaniem mechaniki kwantowej. Na przykład macierze Pauliego są kwaternionami.

Autor pokazuje, jak rozważania czysto geometryczne, oparte na treści liście, prowadzą do konstrukcji geometrycznej kwaternionów (przez „płaszczyznę zespoloną z dwiema prostopadłymi stronami”). Książka nazywa się „Tajemnica listu z Riadu”. Ta tajemnica jest tu omawiana. W liście mowa jest słynnym twierdzeniu Fermata, które mówi, że równanie z wartościami całkowitymi

an = bn + cn

ma rozwiązanie tylko dla n mniejszego lub równego 2.

Matematyk Lagrange stworzył podobne twierdzenie, które wcześniej Fermat również sformułował jako hipotezę, mianowicie że każda liczba całkowita jest sumą czterech kwadratów.

N (dowolna liczba całkowita) = a² + b² + c² + d²

Należy uwzględnić zero wśród tych liczb, tak że:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

Późniejsza dowód wykorzystuje kwaterniony, korzystając z indukcji.

Chciałbym, żeby Denis znalazł dowód twierdzenia Lagrange’a, używając kwaternionów, i umieścił go na swojej stronie.

Weźmy kwaternion:

Q = (a, b, c, d)

Definiujemy jego sprzężenie jako:

sprzężenie Q = Q (a, -b, -c, -d)

Denis formułuje hipotezę, że twierdzenie Fermata, w sformułowaniu podanym przez niego, jest podproduktem zapisu kwaternionowego, według którego równanie:

(Q1Q1)ⁿ = (Q2Q2)ⁿ + (Q3Q3)ⁿ

z kwaternionami o całkowitych składowych ma rozwiązanie tylko dla n mniejszego lub równego 2.

27 lutego 2010: Zauważam, że te dwa sformułowania są równoważne, ponieważ moduł kwaternionu (a, b, c, d) to a² + b² + c² + d². Czyli liczba całkowita na mocy twierdzenia Lagrange’a.

Ta przerwa może odstraszyć zwykłego czytelnika. Ale w rzeczywistości cała książka pozostaje bardzo dostępna. Wiele przykładów przeciwstawności stanowi zabawny i bodźcowy grę z językiem, a czytelnik może się bawić w znajdowanie innych przykładów tego typu. Schematy geometryczne są również bardzo czytelne.

Ta książka wydaje się być pierwszym klockiem większej konstrukcji, otwierającą drogę do innej myśli.

Aby zamówić książkę (18 euro, w tym koszty wysyłki, 144 strony):

http://quadrilogie.com

2 marca 2009: Czytelnik, pan Christian Pedro, przesłał nam plik PDF z dowodem twierdzenia czterech kwadratów Lagrange’a.

Twierdzenie czterech kwadratów Lagrange’a

Inna uwaga: Iloczyn modułów dwóch kwaternionów jest równy modułowi ich iloczynu. Dowód przypisuje matematykowi Eulerowi (1750).

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =

(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

To oznacza, że moduł iloczynu dwóch kwaternionów:

A = (a₁, a₂, a₃, a₄) B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

to moduł kwaternionu:

C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

Pan Pedro wątpi, czy podejście oparte na kwaternionach może prowadzić do stosunkowo prostego dowodu (w porównaniu z dowodem Wilesa, który zajmuje setki stron!), mimo że tysiące matematyków zrywały się nad tym problemem.

Nie mam zdania. Ale zrobię dwie uwagi.

Wiadomo, że liczby naturalne można zapisać w dowolnej podstawie, w szczególności liczby pierwsze zachowują tę własność, niezależnie od podstawy, w której są zapisane. Dlatego warto wziąć najprostszą podstawę: podstawę dwójkową, z dwoma elementami: 0 i 1.

Włoski matematyk Giuseppe Peano (1858–1932) podał pięć aksjomatów, które stanowią podstawę arytmetyki liczb naturalnych.

Włoski matematyk Giuseppe Peano 1.

********** 3.

Element nazywany zerem i oznaczany jako 0 jest liczbą naturalną.

Każda liczba naturalna n ma jednoznaczny następnik, oznaczany jako s(n) lub Sn.

Żadna liczba naturalna nie ma 0 jako następnika.

Dwie liczby naturalne o tym samym następniku są równe.

Jeśli zbiór liczb naturalnych zawiera 0 i zawiera następnik każdego z jego elementów, to ten zbiór jest równy N.

Pierwszy aksjomat pozwala założyć, że zbiór liczb naturalnych nie jest pusty, trzeci mówi, że ma pierwszy element, a piąty, że spełnia zasadę indukcji matematycznej.

Oparta na tych pięciu aksjomatach arytmetyka Peano prowadzi do logiki pierwszego rzędu, która nie unika twierdzenia o niezupełności Gödela. To właśnie ta obserwacja, którą zrobiłem, dotycząca liczb Gaussa z = a + ib, gdzie a i b są liczbami naturalnymi, wywołała wysłanie listu z Riadu. Wydawało mi się, że nie istnieje aksjomatyzacja właściwa dla arytmetyki liczb Gaussa, które wydawały się zbudowane z „dwukrotności arytmetyki