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Formalisme invariant par coordonnées.
C’est un autre mot-clé de la relativité générale. Nous avons dit que le travail du cosmologiste était équivalent à celui qui consiste à prédire la forme d’un matériau, du fait de contraintes internes. Prenez un objet dont la topologie est celle d’une sphère. Il s’agit d’une sphère en métal. Là encore, nous pourrions la façonner, en utilisant des flux d’air chaud et froid. (45)
Ces flux créent des contraintes dans le métal, ce qui modifie sa forme. Bien sûr, comme la chaleur se propage dans le métal, si l’on arrête le chauffage et le refroidissement, la température de la sphère revient à l’uniformité et son aspect devient régulier à nouveau. Nous créons des contraintes dans le matériau, ce qui modifie sa géométrie. Ce champ de contraintes peut être décrit par un objet mathématique appelé tenseur T. La géométrie de l’objet peut être calculée à partir d’une équation de champ, similaire à l’équation d’Einstein. (46) S = a T où a est une constante et S un tenseur géométrique, qui décrit les caractéristiques géométriques. La meilleure façon de « lire » la solution serait de calculer le système de géodésiques. Nous connaissons les géodésiques de la sphère, mais celles d’un œuf sont différentes. Pour exprimer ces géodésiques, nous avons besoin d’un système de coordonnées. Pour une sphère, nous pouvons utiliser un système (q,j) : (47)
Dans ce système de coordonnées particulier, les géodésiques de la sphère peuvent être exprimées sous une forme particulière. Par exemple, les courbes : q = constante (méridiens)
sont des géodésiques. Mais les courbes
j = constante (parallèles) ne sont pas des géodésiques de cette surface. Nous pourrions définir un système de coordonnées similaire sur la surface « œuf ». Mais une chose est évidente : le système de géodésiques existe indépendamment de sa représentation mathématique (dans un système de coordonnées donné, particulier). Le système de géodésiques est invariant par coordonnées. Un autre exemple est beaucoup plus simple. Considérons les géodésiques d’une feuille plane. Elles sont des lignes droites. Nous pouvons décrire ces lignes droites en coordonnées cartésiennes : (48) Nous pouvons aussi décrire cette famille de géodésiques en coordonnées polaires. Alors les équations sont complètement différentes, mais elles se réfèrent à la même famille de lignes droites. Ces lignes droites, géodésiques de la feuille plane, existent indépendamment des coordonnées choisies. Elles sont des objets invariants par coordonnées. Les équations ne sont pas une caractéristique intrinsèque. S’agit-il de quelque chose qui ne change pas lorsque nous passons d’un système de coordonnées à un autre ? Oui : le chemin géodésique entre deux points M1 et M2 ne change pas. Même chose pour toute ligne tracée sur la surface. La surface, les points, la courbe qui les relie existent indépendamment des coordonnées choisies. Même chose pour la longueur du chemin entre M1 et M2. Cela est également vrai pour un arc géodésique, qui est une ligne particulière reliant deux points : (49) Par ailleurs, ce chemin géodésique est aussi un chemin extrémal (par exemple, le plus court, indiqué ici). Cela vaut également pour l’hypersurface espace-temps, qui possède son propre système de géodésiques, également invariant par coordonnées. Sur cette hypersurface, une longueur s existe, qui appartient à l’objet et est indépendante du système de coordonnées choisi. Le point délicat est que l’espace et le temps ne sont pas des grandeurs indépendantes. Nous ne vivons pas dans un espace à 3 dimensions, avec des points (x , y , z). Nous appartenons à une hypersurface à 4 dimensions, entièrement décrite par son système de géodésiques. Considérons deux points distincts de cette hypersurface M1 et M2. Ces points peuvent être décrits dans un système donné de quatre coordonnées :
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 ) M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 ) Ces points sont appelés événements. Nous pouvons calculer la courbe géodésique qui les relie, si elle existe. Ces événements ne sont pas identiques. Entre les deux, nous pouvons mesurer une distance s, qui est invariante par coordonnées. Cette longueur est appelée :
temps propre s
Supposons que toi et moi utilisions un vaisseau spatial pour voyager, d’un point M1 à un autre point M2, situé dans l’espace-temps. s est la mesure du temps indiquée par notre montre embarquée.
Tu diras : - Mais l’espace existe, non ? - Fais attention. Cette définition de ce que nous appelons espace et « temps absolu » correspond à un choix arbitraire. Ce ne sont que des moyens pratiques de « lire » la surface, comme lorsque nous avons écrit l’équation des lignes droites, sur une feuille plane, sous deux équations différentes. La seule chose qui ne change pas, qui est invariante par coordonnées, est l’intervalle de temps propre Δt entre deux événements reliés par un autre objet invariant par coordonnées : une ligne géodésique. Le « temps absolu » dit, t, n’est rien d’autre qu’un marqueur chronologique quelque peu arbitraire. En changeant votre système de coordonnées, vous changez la lecture des événements. Dans les articles que nous présenterons sur ce site, vous verrez que c’est un problème réel. En tout cas, vous comprenez pourquoi les physiciens et les mathématiciens ont choisi un formalisme invariant par coordonnées, basé sur les tenseurs. Les équations sous forme de tenseurs sont invariantes par coordonnées.
Tel est l’esprit de la relativité générale. Mais, sauf en utilisant un matériel sophistiqué, il est difficile de vous en dire davantage.
Version originale (anglais)
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Coordinate-invariant formalism.
This is another key-word of general relativity. We said that the work of the cosmologist was equivalent to the one which consists to predict the shape of a material, due to internal stress. Take an object, whose topology is the one of the sphere. It is a sphere made of metal. Here again we could shape it, with hot and cold air fluxes. (45)
These fluxes create stress in the metal, twhich modifies its shape. Of course, as the heat propagates in metal, if one stops heating and cooling, the temperature of the sphered returns to uniformity and its aspect becomes regular gain. We create stress in the material, which modifies its geometry. This stress field can be described by a mathematical object called a tensor T. The geometry of the object could be calculated from a field equation, similar to Einstein's equation. (46) S = a T where a is a constant and S a geometrical tensor, which describes the geometrical features. The best way to "read" the solution would be to compute the *geodesic system *. We know the geodesics of the sphere, but geodesics of an egg are different. To express these geodesic we need a coordinate sytem. For a sphere we can use a (q,j) system : (47)
In this peculiar system of coordinates the geodesic of a sphere can be expressed into a peculiar form. For an example the curves : q = constant (meridians)
are geodesics. But the curves
j = constant (parallels) are not geodesics curves of that surface. We could define a similar system of coordinates on the surface "egg". But something is evident : The geodesic system *exists independently of its mathematical representation *(in a given, peculiar system of coordinates). The geodesic system is coordinate-invariant. Another example is much simpler. Consider the geodesics of a plain sheet. They are straight lines. We can describe these straight lines in cartesian coordinates : (48) We can also describe this family of geodesics in polar coordinates. Then the equations are completely different, but they refer to the same family of straight lines. These straight lines, geodesic of the plain sheet, exist independently of the chosen coordinates. They are coordinate-invariant objects. The equations are not an intrinsic attribute. Is it something that does not change when we shift from a system of coordinates to another one ? Yes : the geodesic path, between two points M1 and M2 does not change. Same thing for any line drawn on the surface. The surface, the points, the curve which joins them exist independently of the chosen coordinates. Same thing for the length of the path between M1 and M2. This is also true for a geodesic arc, which is a peculiar line joining two points : (49) By the way, this geodesic path is also an extremum path (for example the shortest one, shown there). This is similar for the space-time hypersurface, which owns its system of geodesics, also coordinate invariant. On this hypersurface a length s does exist, which belongs to the object and is independent of the chosen system of coordinates. The difficult point is that space and time are not independent quantities. We don't live in a 3d space, with points (x , y , z) . We belong to an 4d-hypersurface which is fully described by its system of geodesics. Consider two distinct points of this hypersurface M1 and M2 . Such points can be described in a given system of four coordinates :
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 ) M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 ) These points are called *events *. We can calculate the geodesic curve which links them, if there are any. Such events are not identical. Between the two we can measure a distance s, which coordinate-invariant. This length is called :
proper time s
Assume you and I use a space ship to travel, from a point M1 to another point M2 , located in space time. s is the measure of the time on our board-watch.
You will argue : - But space exists, no ? - Be careful. This definition of what we call space and "absolute time" corresponds to an arbitrary choice. They are just some convenient way to "read" the surface, like when we wrote the straight lines equation, in a plain sheet, into two different equations. The only thing that does not change, which is coordinate-invariant, is the proper time interval Dt between two events linked by another coordinate invariant obect : a geodesic line. The so-called "absolute time" t is nothing but a somewhat arbitrary chronological marker . Changing your coordinate system, you change the reading of the events. In the papers that we will present in this website you will see that this is a real problem. Anyway, you understand why physicists and mathematicians have chosen a coordinate-invariant formalism, based on tensors. Tensor-form equations are coordinate-invariant.
This is the spirit of general relativity. But, except using sophisticated hardware, it is difficult to tell you more about it.