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Courbure totale.
...Nous pouvons fabriquer une sphère
en juxtaposant des mini posicônes. Mais lors de cette opération,
cette surface à courbure (ou densité de courbure ou courbure
locale) constante, va se refermer. Elle contient donc une certaine courbure,
mais laquelle ?
...Si je trace un triangle géodésique
sur une sphère, il va enserrer un certain nombre de mini posicônes,
une certaine "quantité de courbure", qui est un angle. Celle-ci sera
simplement proportionnelle à la surface du triangle, ou plus précisément
au rapport entre la surface s du triangle et la surface Sde la sphère.
...Mais nous avons vu, plus haut, que lorsque
nous tracions un triangle géodésique sur une surface fabriquée
à partir de posicônes joints, l'écart à la somme
euclidienne était égal à la somme des courbures concentrées
liées à chaque sommet de cônes contenus dans notre triangle.
Il suffit donc de mesurer la somme des angles a , b ,
g du triangle ci-dessus, fabriqué à partir de trois arcs
géodésiques de sphère pour obtenir une mesure de la quantité
de courbure angulaire contenue dans ce triangle.Les géodésiques
de la sphère sont ses "grands cercles".
...Coupons notre sphère en huit portions
égales. Nous obtiendrons huit triangles constitués par des arcs
géodésiques, dont les trois angles seront droits.
...Chacun de ces triangles contient donc une
courbure égale à p/2
. Comme il y en a huit, la courbure totale de la sphère vaut
donc 4 p.
...Cette petite remarque pour montrer qu'on
peut construire des résultats géométriques à l'aide
de raisonnements extrêmement simples.
...Revenant au thème du cône émoussé,
on voit que le flanc de l'objet dépend de la quantité de courbure
"contenue à l'intérieur", cette courbure pouvant être
ponctuelle (point cônique) ou distribuée sur une calotte sphérique.
On peut faire tendre la calotte vers un point, en la réduisant de manière
homothétique (de telle manière qu'elle contienne toujours la
même "quantité de courbure").
Trajectoires.
...En Relativité
Générale l'idée clef est simple : assimiler les trajectoires
des objets, des particules, des photons ou de la matière à des
géodésiques. Bien sûr, ce sont des géodésiques
d'une hypersurface à quatre dimension. Donc nous n'avons là
aussi que des images didactiques.
Si on prend notre cône émoussé on peut tracer dessus
des géodésiques, et les projeter sur un plan.
...Toutes les particules suivent des géodésiques
de l'hypersurface : les particules de matière, mais aussi le photons
et les neutrinos. C'est pour cela que nous nous sommes amusés à
figurer une géodésique qui traverse l'objet complètement.
Un neutrino peut traverser le soleil sans problème.
...Mais qu'est-ce que ce plan sur lequel on
projette ces géodésiques ? C'est la manière dont nous
représentons l'espace. Notre "univers mental" est complètement
euclidien et notre pensée "plate". Quand nous voyons une comète
frôler le soleil, il ne nous viendrait jamais à l'idée
qu'en fait elle va "tout droit", c'est à dire qu'elle suit une géodésique
de l'hypersurface. Notre perception du monde, c'est la figure 24' , où
un astre "attire" les objets qui passent dans son voisinage.
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