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Le contexte géométrique.

...Une
sphère est un espace de dimension 2. Il faut deux paramètres
pour y repérer un point. C'est un espace qui a une topologie (pour
plus de détails sur la signification du mot topologie, voir ma bande
dessinée le Topologicon, Ed. Belin). Une sphère n'a pas la même
topologie, la même "forme" qu'un tore. La sphère possède
des géodésiques. On peut y inscrire un trajet reliant deux points
M1 et M2 et mesurer la longueur s parcourue. Cette longueur
est indépendante des coordonnées choisies pour repérer
les points, de même que les courbes géodésiques qui peuplent
la surface.

...Joignons
le centre de cette sphère à tous ses points. Nous obtenons une
infinité de demi-droites. Celles-ci peuvent être repérées
avec le même système de repérage que les points, par exemple
deux angles q et j.

Ci-dessus notre sphère.
On a fait un trou pour montrer l'ensemble des rayons vecteurs.

Enlevons maintenant la
sphère et ne conservons plus que les rayons vecteurs.

...On
a tronqué ces demi-droites, mais en fait, elles sont infinies. Chacune
n'est définie que par la donné de deux paramètres, par
exemple deux angles. La structure métrique a disparu. Plus de géodésiques,
plus de longueurs. Qu'est-ce qui reste ?

• Toute demi-droite a
  un voisinage. On peut sélectionner des demi-droites voisines pour enserrer
  celle-ci dans une sorte de cône. A l'intérieur de ce cône
  on peut en faire figurer un plus étroit, qui contient la demi-droite.
  C'est l'affaire des cercles concentriques ou des poupées russes, mais
  avec des faisceaux de demi-droites. Mais il ne s'agit pas de tracer des géodésiques
  sur ces cônes-là. Chacune de leurs génératrices
  sont simplement un ensemble de deux paramètres, par exemple deux angles.

• On distingue une idée
  intuitive de différentiabilité . Il n'y a pas de discontinuité
  dans cette "texture"-là.

Prenons une surface plane,
avec géodésiques, longueur etc...

...Quel
que soit le système de coordonnées que je choisis je devrai
toujours repérer la position de mes points avec deux nombres réels
(x,y), (r,q) etc...

Ces nombres réels
sont pris dans R2, c'est à dire dans l'ensemble des couples de nombres
réels, comme (3,8705 , - 17,56). Tout couple de points pris dans cet
espace des couples de nombres réels a un voisinage. C'est "continu".

Ces objets "pré-métriques"
sont appelés variétés (les mathématiciens
ont le chic pour choisir des mots qui n'ont aucun pouvoir évocateur
pour l'homme de la rue ).

...A
ce stade on peut donc sauter ce pas qui consiste à considérer
un ensemble de n réels (espace à n dimensions), sans lui attacher
automatiquement d'idée de longueur ou de géodésiques.

...C'est
un peu comme si on considérait une surface dont les points n'auraient
pour contrainte que de garder le contact avec leurs voisins. Elle serait infiniment
élastique et déformable. Par convention, si nous représentons
une surface par son contour (soit son bord, soit son contour apparent, on
évoquera ce concept "mouvant" de variété en enlevant
simplement le contour :

...Cette
image évoque d'ailleurs l'ombre de l'objet. Et une ombre n'a ni consistance,
ni forme. Sa géométrie dépend de l'objet sur lequel elle
se projette.

On peut aussi se représenter
la variété (en anglais manifold) , sans sa métrique,
comme une famille de droites.

...Là, on a mis des droites qui ont l'air
parallèle. Il faudrait que ces droites soient... n'importe comment,
tout en conservant leurs relations de proximité, de voisinage.

...Finalement,
une bonne image d'une variété V2, c'est un paquet de spaghettis
qu'on fait d'abord cuire, puis qu'on peut plier et tordre en tous sens, mais
sans modifier l'ordonnance des pâtes les unes par rapport aux autres.

Toujours est-il qu'on
peut effectuer sur une variété une opération de revêtement
à deux feuillets, qu'on munit de métriques, suggérée
par l'image ci-après :

Ici deux feuillets 2d
dotés de métriques identiques (euclidiennes). Mais on peut tout
aussi bien faire :

...On
appelera Met M* des points conjugués . Le fait de dire que
les deux espaces conjugués sont construits comme le revêtement
à deux feuillets d'une variété signifie simplement qu'il
existe une correspondance point à point entre les deux feuillets F
et F*, mais, par exemple, les distances entre des couples de points homologues
(M1,M2) , (M*1, M*2) peuvent être
différentes. La seule contrainte est finalement que les voisinages
de points se correspondent également et qu'à toute région
non singulière d'une nappe correspond une région également
non singulière.

...On
retrouve le paquet de nouilles flexibles de tout à l'heure. La structure
de "variété-squelette " n'est là que pour construire
l'application injective entre les deux objets géométriques.
Le dessin ci-dessus est destiné à faire complètement
éclater des questions comme "comment les feuillets Fet F* sont-ils
disposés l'un par rapport à l'autre ? Si Fest un univers, où
est F* ? ". Ces feuillets sont simplement conjugués, avec une correspondance
point par point et ces points conjugués peuvent être décrits
par les mêmes coordonnées.

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