RECREAÇÕES GEOMÉTRICAS
Representação poliédrica de um ponto cuspídeo, cálculo de sua curvatura concentrada.
Representações poliédricas de diferentes superfícies.
Permutação dos pontos cuspídeos de uma Cross cap.
Transformação de uma superfície de Boy "direita" em superfície de Boy "esquerda", através da superfície Romana de Steiner.
Inversão "direita"- "esquerda" de uma superfície de Boy.
Jean-Pierre Petit
Diretor de Pesquisa no CNRS
1988-1999 ---
Resumo:
Apresentam-se alguns elementos que permitem representar pontos de curvatura concentrada: "posicônes", "négacônes" e seus equivalentes poliédricos: "posicoins" e "négacoins", que possibilitam construir representações poliédricas de diferentes superfícies e recuperar sua curvatura total. Assim, a representação poliédrica da superfície Romana de Steiner é constituída por quatro cubos unidos ao longo de suas arestas, tornando-a mais compreensível. Uma representação poliédrica da superfície de Boy já havia sido apresentada no Topologicon, 1985, Edições Belin, páginas 48 e 49, sob forma de recorte a montar. Na página 46 também apareciam representações poliédricas do toro e da garrafa de Klein. São dadas representações poliédricas da Cross-Cap. A curvatura total das diferentes imersões do plano projetivo em R³: superfície de Boy, Cross-Cap, superfície Romana de Steiner, vale 2π. A representação poliédrica dos pontos cuspídeos, considerados como pontos de curvatura concentrada, permite calcular essa curvatura de forma muito simples. Cross-cap, superfície Romana de Steiner, superfície de Boy apresentam-se como "os múltiplos rostos" de um único objeto: o plano projetivo. Como isso não é evidente à primeira vista, constrói-se transformações geométricas que permitem passar de uma para outra. Parte-se da Cross-Cap, que se transforma em superfície Romana de Steiner ao criar dois pontos cuspídeos adicionais (ou seja, aplica-se, nesse sentido, a modificação genérica "criação-decréação de pontos cuspídeos"), e então transforma-se a superfície de Steiner em superfície de Boy por fusão de pares de pontos cuspídeos. Ainda, utilizando o fato de que o imersão padrão da esfera pode ser transformada em sua imersão antipodal (virando a esfera), demonstra-se que os dois pontos cuspídeos de uma Cross-Cap podem ser trocados por uma sucessão de imersões, a transformação ilustrando o fato de que esses dois pontos são equivalentes.
PRÉ-ÂMBULO:
O leitor encontrará aqui elementos gerais que também se encontram na introdução de FÍSICA GEOMÉTRICA A (definição de posicones, négacones, etc.). Se desejar pular esta passagem, basta [clique aqui](#POSICOINS E NEGACOINS).
Se traçarmos em um plano um triângulo formado por segmentos retos, a soma dos ângulos nos vértices será igual a π. Essas linhas do plano podem ser obtidas de outra forma: colando sobre a superfície faixas de uma fita adesiva qualquer, sem fazer dobras. Chamamos esses trajetos do plano de geodésicas. Podemos traçar curvas geodésicas em qualquer superfície por esse método, por exemplo na asa de um automóvel ou no capô.
Figura 1: Um triângulo considerado como um conjunto de três geodésicas do plano
POSICOINS E NEGACOINS
Faça um corte em um plano e cole os dois bordos. Em seguida, trace um triângulo com sua fita adesiva, formado por três geodésicas desse cone.
Figura 2: Construção de um posicône.
Ao separar as duas bordas da superfície, segundo o corte anterior (figura 3), você notará facilmente, usando um transferidor, que a soma dos ângulos A, B e C é igual a π mais o ângulo do corte α. Esse desvio em relação à soma euclidiana chamaremos de curvatura, e diremos que o triângulo "contém" uma certa quantidade de curvatura angular α. Esse desvio será o mesmo para qualquer triângulo, desde que contenha o vértice do cone. Caso contrário, a soma será igual a π. Diremos que a curvatura está concentrada no vértice M do cone, que então se torna um "ponto de curvatura concentrada". Como a soma dos ângulos é maior que a soma euclidiana, diremos que essa curvatura é positiva. Assim, um plano seria, nessa perspectiva, uma superfície de curvatura nula.
Figura 3: O posicône achatado.
Essa curvatura é aditiva. Se você colar juntos vários desses cones correspondentes a ângulos α, β, γ, poderá traçar todos os tipos de triângulos formados por arcos geodésicos. Se o triângulo envolver três pontos correspondentes a curvaturas concentradas iguais a α, β, γ, então a soma de seus ângulos nos vértices será: π + α + β + γ.
Pode-se considerar uma superfície de curvatura positiva como uma esfera como um conjunto infinito de "posicônes". Em vez de ter curvatura concentrada em pontos distintos, teremos uma curvatura distribuída uniformemente sobre toda a superfície. Diremos que a esfera é uma superfície de "curvatura constante" (ou de "densidade de curvatura angular constante").
Fig. 4: Um triângulo formado por três arcos geodésicos.
Na esfera, as geodésicas são "círculos máximos". O equador e os meridianos são círculos máximos, são arcos geodésicos da esfera. Mas você não conseguirá criar um paralelo com uma fita adesiva. Os paralelos não são geodésicas da esfera. A soma dos ângulos nos vértices de um triângulo traçado sobre uma esfera depende da razão entre a área do triângulo e a área da esfera. A soma dos ângulos de um triângulo muito pequeno será muito próxima de π.
Um triângulo cuja área for um oitavo da área da esfera terá uma soma
A + B + C = 2π
Um círculo máximo da esfera pode ser considerado como um "triângulo", desde que coloquemos os três vértices... em qualquer lugar sobre esse círculo. A soma A + B + C será igual a 3π. Ele contém metade da área da esfera.
Qual é o desvio máximo? Não podemos dizer "aumente o triângulo indo além desse círculo máximo", pois além disso o comprimento dos arcos geodésicos que formam seus lados diminuirá e até tenderá a zero.
Quando envolvemos toda a superfície da esfera, obtemos
A + B + C = 5π = π + 4π
Diremos que a curvatura total da esfera vale 4π.
Fig. 5: Soma dos ângulos. Triângulo formado por arcos geodésicos da esfera.
A quantidade de curvatura contida em um triângulo corresponde a uma simples regra de três:
Vamos agora criar um "négacône", inserindo agora um setor angular α em um plano, como indicado na figura 6.
Fig. 6: Um "négacône"
Quando se remove o setor angular, obtém-se o seguinte:
Fig. 7: O négacône achatado.
A soma dos ângulos do triângulo vale A + B + C = π - α
Diremos que essa superfície é um négacône possuindo um ponto de curvatura concentrada, negativa. Essa curvatura também é aditiva. Ao compor uma superfície com uma justaposição de mini posicoins e mini n...