Uma nova axiomática dos grupos **
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...Souriau mora em um apartamento no velho Aix. A porta que dá para a rua é esplêndida. Na entrada está estacionado um veículo bastante singular: uma cadeira de mão, de época, pertencente à proprietária dos locais, uma jovem, arqueóloga, acho eu. A cadeira está encostada na parede. Basta encontrar dois portadores, encaixar os dois longos montantes de madeira nos anéis e sentar-se para dar uma volta. As aberturas são vitradas: os vidros laterais podem ser baixados, não com uma manivela, mas manipulando tiras de couro, como era feito nos compartimentos dos trens da minha infância.
...Tudo isso é fascinante. Percebo que nunca andei numa cadeira de mão. Tenho certeza, nesses tempos de desemprego, que pessoas poderiam ganhar a vida montando a primeira linha regular de cadeiras de mão no velho Aix. Bastaria construir um veículo que imitasse as cadeiras antigas. Isso não deve ser muito difícil. Depois, conseguir dois trajes bordados, duas peruca e em frente. Trajeto: o Cours Mirabeau. Isso seria mais do que suficiente. Depois, bastaria sonhar, ter um pouco de imaginação.
...Jean-Marie vive sozinho com seu gato, Pioum, em seu amplo apartamento, cheio de dourados e painéis. Pioum é adorável. Ainda assim, não tenho muita atração por gatos. Mas esse é extremamente acolhedor e afetuoso.
Trabalhamos geralmente na cozinha, um andar acima. Uma pequena sala, sob os telhados, cuja estreiteza contrasta com o tamanho imponente das salas de baixo. Sempre que Jean-Marie me convida a beber sua bebida favorita: o Fernet-Branca, feito de alcachofra, que acho positivamente terrível, mas que ele atribui a todas as virtudes.
...Quando faz uma volta pela cidade, leva seu GPS, que nunca o abandona. É realmente fascinante ser guiado por satélites situados a quarenta mil quilômetros da rua por onde se caminha. Para ter melhor recepção, Souriau tende a andar no eixo da rua, com os olhos fixos na tela de cristal líquido. Eficaz, parece, mas ainda assim relativamente perigoso.
...Acho que nos divertimos bastante, os dois. Uma noite de dezembro, passei para visitá-lo, e isso deu origem à seguinte conversa.
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Vou falar com você sobre grupos. Você se lembra dos axiomas?
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Sim, há seis. São:
1 - Existem elementos a, b, c... pertencentes a um conjunto E
2 - Existe uma operação interna, denotada por o ("círculo"), que permite combinar dois elementos de um conjunto.
a pertence ao conjunto E
b pertence ao conjunto E
a o b pertence ao conjunto E
3 - Essa operação é associativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Existe um elemento neutro e tal que:
a o e = e o a = a
5 - Todo elemento a do conjunto possui um inverso, denotado por a⁻¹, tal que:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
São cinco?
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Bem, cinco, quatro ou um. Não há regra absoluta sobre a numeração dos axiomas. Poderíamos tão bem agrupar os axiomas 1 e 2 em um só:
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Existem elementos a, b, c, etc., pertencentes a um conjunto E, dotado de uma lei de composição interna que satisfaz:
a pertence ao conjunto E
b pertence ao conjunto E
a o b pertence ao conjunto E
É equivalente.
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Tudo bem, cinco, quatro, pouco importa. Onde você quer chegar?
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Vou eliminar o que você chamou de axiomas 4 e 5, definindo o elemento neutro e o inverso, substituindo-os pelo axioma do sanduíche. Assim, os axiomas são:
1 - Existem elementos a, b, c... pertencentes a um conjunto E
2 - Existe uma operação interna, denotada por o ("círculo"), que permite combinar dois elementos de um conjunto.
a pertence ao conjunto E
b pertence ao conjunto E
a o b pertence ao conjunto E
3 - Essa operação é associativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Dados três elementos a, b, c, pertencentes ao conjunto E.
Considere a equação:
a o y o b = c
Ela possui uma única solução.
É isso que chamo de axioma do sanduíche, onde o "presunto" y é colocado entre os elementos a e b, c sendo a entidade do sanduíche. O axioma significa:
Sempre é possível retirar o presunto de um sanduíche.
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E digo que esses axiomas definem os grupos, são equivalentes aos anteriores.
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Essa solução única y pertence ao conjunto E, já que a operação é interna e associativa.
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Claro, isso é óbvio.
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Mas fica ainda melhor quando se diz. Não sei como você vai proceder para recuperar os dois axiomas referentes ao elemento neutro e à existência do inverso, mas entendo pelo menos o que o levou a essa ideia.
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Pensei: "Para que serve?"
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Exatamente. Para que serve ter um elemento neutro? Assim, significa "se tenho um conjunto E e um elemento neutro, posso compor todos os elementos desse conjunto com esse e obter o mesmo resultado". Isso não me ajuda em nada. Da mesma forma, para que serve o inverso em si? Quando fazemos cálculos sobre grupos, sobre qualquer coisa, sempre nos viramos, usando multiplicações à direita ou à esquerda por elementos ou seus inversos, para fazer aparecer a o a⁻¹ ou a⁻¹ o a, que substituímos por e, e depois b o e ou e o b, que substituímos por b. O seu axioma do sanduíche é "funcional".
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Se quiser. Vamos aos teoremas que decorrem do axioma do sanduíche. O primeiro é:
I - Existe um elemento neutro que, composto consigo mesmo, resulta em si mesmo:
e = e o e
II - Esse elemento neutro é único.
Demonstração:
Partamos do axioma do sanduíche. A equação
a o y o b = c
possui uma solução y única.
Isso também é verdade se b = c = a, então
a o y o a = a
possui uma solução única. Multipliquemos à direita por y:
a o y o a o y = a o y
Chamemos a o y = e
...É um elemento do conjunto, pois a e y pertencem ao conjunto e a operação é interna. Logo, existe um elemento do conjunto tal que:
e o e = e
...O teorema I está demonstrado. Passemos à unicidade, ao teorema II. Se não houvesse unicidade, existiria outro elemento do conjunto, chamemo-lo f, que obedeceria a:
f o f = f
Temos:
e o e = e
Multipliquemos à direita por f:
e o e o f = e o f
Multipliquemos novamente à direita por e:
e o e o f o e = e o f o e
Utilizemos a associatividade:
e o ( e o f ) o e = e o f o e
São dois sanduíches. Chamemo-los:
p = e o ( e o f )
q = e o f o e
...Segundo o axioma do sanduíche, podemos "extrair o presunto", ou seja, calcular as expressões de ( e o f ) e f, que serão iguais, já que p = q. Então:
( e o f ) = f
...Refaçamos a partir da proposição atribuída a esse segundo elemento f:
f o f = f
...Multipliquemos à direita por e, duas vezes à esquerda:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
...Utilizemos a associatividade:
e o ( e o f ) o f = e o e o f
...Utilizando novamente o axioma do sanduíche, deduzimos que:
e o f = e
portanto:
e = f
Teorema III: Se pegarmos esse elemento e "idêntico ao seu quadrado", ele implica que
a o e = a
Demonstração:
Utilizamos sempre o axioma do sanduíche. Partimos da definição de e:
e o e = e
multiplicamos à direita sucessivamente por a e por e:
e o e o a o e = e o a o e
Fazemos atuar a associatividade:
e o ( e o a ) o e = e o a o e
Logo:
e o a = a
Partindo de:
e o e = e
e multiplicando à esquerda sucessivamente por a e por e:
e o a o e o e = e o a o e
e fazendo atuar a associatividade:
e o ( a o e ) o e = e o a o e
dai:
a o e = a
O teorema III está demonstrado.
Passemos ao teorema IV
(existência de um inverso, denotado por a⁻¹).
Enunciado: dado um elemento do conjunto, existe um único elemento, solução da equação:
a o y o a = a
Denotaremos esse elemento por a⁻¹ e o chamaremos de inverso de a. Esse elemento satisfaz as propriedades:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
Demonstração.
A existência e unicidade desse elemento são consequências diretas do axioma do sanduíche, quando formulado assim:
Quando as fatias de pão são iguais entre si e iguais ao sanduíche, então o presunto é o inverso da fatia de pão (ou do sanduíche).
a o y o a = a
Podemos fazer atuar a associatividade de duas formas:
( a o y ) o a = a
a o ( y o a ) = a
Sabemos que:
e o a = a
a o e = a
Logo, a solução y satisfaz:
a o y = e
y o a = e
Mostremos que essa solução é única. Se não fosse, teríamos outra
a o z = e
z o a = e
Multipliquemos a primeira equação por y à esquerda:
y o a o z = y o e
( y o a ) o z = y
mas y o a = e, então:
z = y
Chamamos essa solução de a⁻¹, solução da única equação:
a o a⁻¹ o a = a
Assim, o novo conjunto de axiomas conduz às mesmas propriedades que, classicamente, definem os grupos.
Portanto, podemos definir grupos com base nesse novo conjunto de axiomas:
Definição de um grupo.
1 - Existem elementos a, b, c... pertencentes a um conjunto E
2 - Existe uma operação interna, denotada por o ("círculo"), que permite combinar dois elementos de um conjunto.
a pertence ao conjunto E
b pertence ao conjunto E
a o b pertence ao conjunto E
3 - Essa operação é associativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Dados três elementos a, b, c, pertencentes ao conjunto E.
Considere a equação:
a o y o b = c
Ela possui uma única solução.
Se os elementos do conjunto E, munidos de sua operação de composição interna, satisfazem esses quatro axiomas, digo que formam um grupo.
Teorema: O elemento neutro é seu próprio inverso. Essa nova definição do elemento neutro, por meio de uma única equação, gera outra forma de demonstrar essa propriedade.
e o e = e
É a definição do elemento especial e. O axioma do sanduíche faz com que essa equação se identifique com a propriedade (e não mais com a definição) do inverso.
Outro teorema: o inverso do inverso é igual ao próprio elemento:
( a⁻¹ )⁻¹ = a
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
a é o inverso de a⁻¹. Daí a propriedade.
Mostremos que:
( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹
Calculamos:
a o b o b⁻¹ o a⁻¹ e b⁻¹ o a⁻¹ o a o b
Mostremos que essas duas quantidades são iguais a e.
a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹
= a o e o a⁻¹
= a o a⁻¹
= e
Idem para a outra expressão.
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É uma abordagem diferente do conceito de grupo.
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A ontologia dos grupos.
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Se quiser.
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Mas algo me diz que isso pode se provar fértil.
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Agora, esqueça tudo, inclusive o axioma do sanduíche. Considere um conjunto E munido de uma operação de composição interna o, associativa. Suponha que nesse conjunto exista um elemento que, composto com todos os outros, desempenhe o papel de elemento neutro:
a o e = e o a = a - Ele é único?
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Se existir, é necessariamente único, isso pode ser demonstrado.
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Ah sim, é verdade.
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Diria que dois elementos a e b estão ligados por uma relação de reciprocidade se
a o b = b o a = e
Se for dado a, b é seu inverso. Digo que, se restringirmos o conjunto ao subconjunto dos elementos que possuem um inverso, esse subconjunto forma um grupo. É uma forma de construir grupos. Ou seja, selecionamos no conjunto os elementos que satisfazem essa propriedade e digo que isso basta para afirmar que esse subconjunto forma um grupo.
É preciso mostrar que essa propriedade é interna.
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O que quer dizer?
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Sejam dois elementos a e a' que satisfazem a propriedade, ou seja:
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a possui um inverso b
a' possui um inverso b'. Eles estão, portanto, no subconjunto em questão. É preciso mostrar que a o a' também possui um inverso.
Eliminemos esses "círculos", que são pesados.
a' o b' = e
multipliquemos à esquerda por a e à direita por b:
a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e
Então:
( a o a' ) ( b' o b ) = e
Partamos de:
b o a = e
multipliquemos à esquerda por b' e à direita por a':
b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e
( b' o b ) ( a o a' ) = e
Logo, o elemento obtido pela composição de a e a', que possuem inversos, também possui um inverso.
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Resta mostrar que esse subconjunto realmente forma um grupo.
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E para isso, mostrarei que esse subconjunto satisfaz o axioma do sanduíche, ou seja, que:
a o y o b = c
possui uma solução y única.
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Entendo. Axiomaticamente, você procede ao contrário do que fizemos antes. Antes, você se deu o axioma do sanduíche e mostrou que isso implica a existência de inversos. Agora, supõe que todos os elementos do conjunto possuem inversos e vai se virar, usando essa propriedade, para recuperar o axioma do sanduíche.
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A melhor maneira de mostrar que a equação possui uma solução única é construí-la. Multipliquemos a equação acima à esquerda por a⁻¹ e à direita por b⁻¹.
a⁻¹ o a o y o b o b⁻¹ = a⁻¹ o c o b⁻¹
( a⁻¹ o a ) o y o ( b o b⁻¹ ) = a⁻¹ o c o b⁻¹
y = a⁻¹ o c o b⁻¹
- Assim, y é realmente solução da equação:
a o y o b = c
Ao introduzir a solução construída, temos:
a o ( a⁻¹ o c o b⁻¹ ) o b = c
...Ao fazer isso, admitimos que podemos manipular os parênteses, generalizando a associatividade. Supusemos (é um dos axiomas) que podemos isolar dois elementos em uma sequência de operações:
a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )
Trata-se de mostrar que é lícito incluir três elementos entre dois parênteses. Mas admitiremos isso sem demonstração.
Aplicações:
...Considere o conjunto dos reais dotado da multiplicação x como operação de composição. É interna, mas não é um grupo, segundo esse novo conjunto de axiomas. De fato, a equação que define o elemento e:
e o e = e
tem duas soluções:
e = +1 e e = -1
...Considere a construção anterior. Dado um conjunto (os reais), uma operação de composição, associativa (a multiplicação). Esse conjunto possui um elemento neutro 1, que então não é definido como solução de
e o e = e
mas como elemento que, composto com qualquer outro elemento do grupo (inclusive consigo mesmo), reproduz aquele elemento, ou seja, a definição clássica:
Para todo a pertencente ao conjunto E, é verdade que:
e o a = a o e = a
Se partirmos da definição clássica do inverso:
a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e
...Mostramos que o subconjunto dos elementos que possuem inverso constitui um grupo. Assim, os reais menos o zero formam um grupo.
Considere as matrizes quadradas de formato (n,n). Elas possuem um elemento neutro:
com zeros fora da diagonal principal, preenchida com "1".
As matrizes inversíveis formam um grupo, chamado Grupo Linear GL(n).
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A mim isso me agrada bastante.
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Humm... é apenas uma variação da axiomática clássica. Apresentei isso a um colóquio de epistemologia, em Grenoble, há uma semana.
A SEGUIR
