Um mergulho de uma superfície em R³ é uma representação em que o plano tangente é contínuo e não existe nenhum conjunto de auto-interseção. ANEXOS:
Um mergulho de uma superfície em R³ é uma representação em que o plano tangente é contínuo e não existe nenhum conjunto de auto-interseção. A esfera e o toro podem ser mergulhados em R³.
Uma imersão de uma superfície em R³ também possui um plano tangente contínuo, mas há a presença de um conjunto de auto-interseção. Exemplos: superfície de Boy, garrafa de Klein.
Sempre é possível transformar um mergulho em uma imersão. Pegue uma esfera e aproxime, no interior, dois pontos, por exemplo antípodas (os "polos"). Nesse universo "imaterial" das imersões, as superfícies podem se atravessar. Assim surge uma curva de auto-interseção (aqui, um círculo).
Mas o inverso não é automaticamente possível. Assim, o plano projetivo não pode ser mergulhado em R³, só pode ser imerso. A forma clássica dessa imersão é a superfície de Boy, que possui um conjunto de auto-interseção em forma de hélice triplice, com um ponto triplo (onde se cruzam três folhas). Ver figuras 29a e 29b. O mesmo ocorre com a garrafa de Klein, cuja auto-interseção mínima é uma curva fechada. Ver o Topologicon, página 46. Os mergulhos podem ser considerados casos particulares de imersões, onde o conjunto de auto-interseção é vazio. As representações em que aparecem pontos cuspidais não são imersões, pois, em termos de continuidade do plano tangente, esses pontos são singulares. Chamemos essas representações de cisalhamentos de objetos em R³. O cisalhamento de uma superfície em R³ poderia se apresentar como uma imersão "quase em toda parte", ou seja, com continuidade do plano tangente, exceto em um número finito de pontos. Mas essa não é uma definição suficientemente precisa, pois existem múltiplas formas de introduzir uma descontinuidade no plano tangente. Retomaremos essa questão das descontinuidades mais adiante.
As superfícies, e mais geralmente os objetos geométricos: ponto, reta, curva fechada, "curva com borda" (segmento ou "bola b1"), disco, etc., são como os objetos de uma linguagem. Jogamos abundantemente com todos esses elementos no Topologicon (ver o cd-Lanturlu), "palavras" ou "letras" com as quais podemos formar palavras, depois frases, de acordo com uma sintaxe. Chamamos esses objetos de construções.
Existem transformações que são verdadeiros operadores geométricos. No artigo, descrevemos a operação de criação-destruição de pontos cuspidais. Vamos detalhá-la.
Um objeto fundamental é o que poderíamos chamar de "cilindro gama".
Ele possui uma linha de auto-interseção, a partir da qual, ao estreitar o passagem tubular superior, criaremos dois pontos cuspidais.
Começamos a operação de estreitamento: 
A seção da superfície continua sendo um "gama", mas corresponde a uma passagem que se estreita. Analisar o entorno de um ponto singular é sempre uma tarefa delicada. Existem vários desenhos possíveis, correspondentes a diferentes tipos de singularidades.
O ponto G corresponde à confluência de dois pontos cuspidais. Os anglo-saxões chamam todas as singularidades de "cusps". Tradução (dicionário): chifre, ápice. Mas o ápice de um chifre é um ponto cônico. Larousse: cuspide: ponta afiada e alongada, do latim cuspida: ponta. A singularidade resultante da confluência pode assumir outras formas, por exemplo: 
A seção transversal é a mesma: esse "V" invertido, mas não se trata do mesmo objeto nem da mesma singularidade. De qualquer forma, é possível passar de uma dessas figuras para:
Onde temos dois pontos cuspidais C1 e C2. A seção reta mudou (representada à direita, com, acima da figura, o plano de corte).
É a modificação "C".
Detalhe: 
Expliquei a um amigo, ao telefone, o que era um ponto cuspidal.
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Imagine que você esteja montado em um cavalo. De repente, com suas pernas, você esmaga esse cavalo, de forma a colocar seus dois segmentos perna em contato. A superfície-cavalo muda. Sua nádega direita se conecta com seu ombro esquerdo e sua nádega esquerda com seu ombro direito.
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Mas onde está o ponto cuspidal?
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Você está sentado sobre ele.
O fenômeno de mudança de conexão de folhas chama-se cirurgia. A operação descrita a seguir é a constituição de um ponto cuspidal a partir de um cilindro parabólico (o "cavalo" de antes):
Após "esmagar o cavalo": 
No topo, o ponto cuspidal.
O ponto cuspidal obtido ao esmagar uma superfície ao longo de um segmento e mudar a conexão das folhas (uma cirurgia) nos permite entender como transformar uma esfera em Cross-Cap (também chamada em francês "esfera com chapéu cruzado") apertando uma esfera com uma chapinha. 
A chapinha torna-se assim a ferramenta mais simples para transformar uma esfera em uma superfície unilátera.
A seguir, a Cross-Cap:
Pequena digressão: como "malhar" uma Cross-Cap? Podemos partir de uma de suas representações poliédricas:
A partir da qual podemos deduzir o malhamento ao redor de um ponto cuspidal:
Isso quer dizer que um simples golpe de chapinha transforma automaticamente uma superfície bilátera em uma superfície unilátera? Não, veja o desenho a seguir: 
Aqui, apertamos uma esfera entre duas réguas. Isso continua sendo uma superfície bilátera. Pinte-a, você verá. Você poderá usar duas cores (para a Cross-Cap não poderia, pois ela é unilátera):
Outra visão: 
Assim configurada, a esfera mostra metade de seu exterior e metade de seu interior. Se tiver dificuldade em visualizar esse objeto, aqui está uma representação poliédrica:
Quando nos deparamos com essas representações poliédricas, temos a tentação de aplicar a decomposição em "células contráteis" (ver o Topologicon, no cd-Lanturlu) para tentar calcular a característica de Euler-Poincaré. As representações poliédricas da esfera (um simples cubo) ou do toro permitem calcular sua característica. Dois para a primeira e zero para a segunda. No álbum, página 47, encontrava-se o plano de montagem de um "Cubo de Boy", onde algumas arestas são representadas. Enquanto isso, podemos montar isso com "perfis de seção quadrada Reynolds", em liga leve, usados para fazer prateleiras. Cortamos os tubos quadrados com a serra, o mais...