Representação analítica da superfície de Boy

f5101 Uma representação analítica da superfície de Boy J.P. Petit e J. Souriau .

**...**A seguir, a reprodução de uma nota aos Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, assinada por J.P. Petit e J. Souriau, datada de 1981.

**...**Este trabalho tem uma história. Até que meu álbum Topologicon, das Edições Belin, na série das Aventuras de Anselme Lanturlu, fosse publicado em 1985, as representações da superfície de Boy nos livros especializados eram raras. Encontrava-se aqui e ali fotografias de modelos feitos em gesso ou em arame para galinhas. Charles Pugh, do departamento de matemática da Universidade de Berkeley, é o especialista mundial incontestável em arame para galinhas. Na verdade, foi com esse material que ele ganhou um prêmio financeiramente importante ao construir maquetas que descreviam o viramento da esfera segundo Bernard Morin, maquetas que posteriormente foram digitalizadas por Nelson Max para serem transformadas em um filme que circula em todos os departamentos de matemática do mundo.

**...**Mas acho que o arame para galinhas permanece um material pouco nobre, especialmente para assuntos científicos de alto nível. Conhecendo um escultor chamado Max Sauze, comecei a me familiarizar com a técnica do fio de cobre, flexível e rígido, que Max soldava com destreza, evitando aquecê-lo demais para que não se formassem tensões indesejadas no material.

**...**Meu amigo Jacques Boulier, também conhecido como Vasselin, era então professor nos Beaux Arts de Aix-en-Provence. Um ano, ele me propôs substituir um de seus professores que havia ido ao exterior, o que fiz, assumindo um serviço em meio período com Sauze. Enquanto eu inventava os objetos, Max os soldava. Nossos alunos, curiosos, giravam ao nosso redor, tentando imitar-nos da melhor forma possível. Naquele ano, aquela ala dos Beaux Arts de Aix-en-Provence tornou-se uma espécie de fábrica de produção em série de superfícies matemáticas.

**...**Se você quiser se envolver nisso, não é complicado. Você precisa de um rolo de fio de cobre, digamos com um diâmetro de 1,5 mm, no máximo, e uma alicate cortante. Com isso, poderá representar as duas famílias de curvas que compõem qualquer superfície.

**...**O problema é modelar corretamente esses objetos. Para isso, é bom poder deslizar os pontos de junção, onde os "meridianos" e os "paralelos" se cruzam. Uma boa solução consiste simplesmente em amarrar os dois fios metálicos com linha de costura. É suficientemente apertado para dar sustentação ao objeto, mas suficientemente deslizante para permitir deformações e ajustes.

**...**Só quando você achar que o objeto é matematicamente conforme aos seus desejos é que poderá entregá-lo a alguém que manuseie com destreza a solda de prata e saiba soldar sem aquecer demais as hastes, como Max fazia com arte consumada.

**...**Um dia levei um protótipo da superfície de Boy, tendo descoberto como os meridianos e os paralelos deveriam se organizar. Aparentemente, era possível fazer com que os meridianos se assemelhassem a uma família de elipses.

**...**Max copiou o objeto com cuidado. Então, fui encontrar Souriau. Seu filho (que jamais teria paciência para concluir seu diploma em física) brincava com o Apple II do pai. Lancei-lhe:

• Jérôme, você teria vontade de ter uma publicação de matemática pura com seu nome?

• Bem, por que não? Quem preciso matar para isso?

• Ninguém. Veja este objeto. Pegue um transferidor, meça essas elipses e tente construir uma representação semi-empírica dessa superfície.

• Pode-se tentar, me dê...

**...**Dois dias depois, estava feito. O artigo foi rapidamente aceito nos Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris e publicado sob nossos dois nomes: J.P. Petit e J. Souriau.

**...**Mas como o pai se chama Jean-Marie e o filho Jérôme, todos os matemáticos estão convencidos de que foi um trabalho feito juntos, Souriau pai e eu.

**...**O traçado da superfície no computador, usando um pequeno programa BASIC de algumas linhas, surpreendeu muitos matemáticos, que esperavam algo mais complicado. O caso teve uma repercussão desagradável. O matemático Bernard Morin tinha um aluno em tese, Apéry, filho de Apéry-pai, autor do inesquecível teorema segundo o qual a soma dos cubos de números inteiros é um número irracional. Entre outras coisas...

**...**Eu ignorava isso. Nossa descoberta preocupou bastante Morin, especialmente quando, com ingenuidade, afirmei que esse método deveria permitir descrever a superfície de quatro orelhas que o tornara famoso, aquela construída com seu arame para galinhas por Pugh, digitalizada por Max, etc.

Morin franziu as sobrancelhas:

• Não, isso é impossível!

**...**Veremos isso mais tarde. Continuo convencido do contrário. Mas essa frase era o equivalente à famosa resposta que Arquimedes lançou ao soldado romano que o interrompeu em seus cálculos — Noli tangere circuleos meos!
Em francês: "Não toque em meus círculos!"

Aqui, era mais do tipo: "Não toque em minhas elipses!"

**...**Posteriormente, Apéry explorou minha descoberta, segundo a qual era possível dotar a superfície de Boy de um sistema de meridianos elípticos, para construir a primeira equação implícita do objeto:

f(x, y, z) = 0

**...**Morin, furioso por me ver aparecer como um intruso em seus próprios trabalhos matemáticos, obrigou Apéry a especificar, em sua tese, que foi Sauze quem descobriu a ideia das elipses. Max não negou, mas isso é incorreto. A prova está na minha adega: a maquete que levei a Max para que a aprimorasse.

**...**No fim das contas, tudo isso é bastante ridículo. Essa anedota serve apenas para mostrar que os matemáticos não são mais brilhantes que os físicos.

**...**O politécnico Colonna, pioneiro em imagens de síntese, usou nossas equações sem mencionar sua origem. Mas há um detalhe curioso: se você vir em um monitor imagens da superfície de Boy. Se for "a nossa", inevitavelmente apresentará três pequenos "dobros" perto de seu polo. Um defeito de ajuste nas equações. Jérôme, filho de Souriau, fizera isso de qualquer jeito, e um último pequeno toque com o ferro perto do polo teria sido de bom tamanho. Isso ainda é possível, aliás, para quem quiser.

**...**Essa saga da superfície de Boy ainda não está encerrada. Para ser completo, mencionemos um personagem: Carlo Bonomi, um milionário italiano. Conheci-o durante uma expedição ao Triângulo das Bermudas (mas isso é outra história). Navegávamos rapidamente em seu iate, de luxo que tirava o fôlego, em busca de uma pirâmide submersa, mencionada por certo Charles Berlitz em um de seus livros. Não encontramos a pirâmide, e quase fomos devorados pelos muitos tubarões que habitavam aqueles locais. Se você tiver um atlas, o lugar onde essa maldita "Pirâmide Atlântica" deveria estar é ao sudoeste de um recife chamado Cay Sal Balk, a cinquenta milhas ao sul de Cuba.

**...**Entre mergulhos e jantares de caviar, propus a Bonomi patrocinar uma produção intensiva da superfície de Boy. A ideia lhe agradou e houve continuidade. Digamos que a superfície de Boy que decora a sala de matemática do Palais de la Découverte em Paris foi paga por Bonomi e realizada por Sauze. O financista pensava em montar uma exposição fazendo os objetos em fio de ouro maciço. Mas o assunto não teve continuidade. Surpreso com seu silêncio prolongado, liguei para seus escritórios em Milão. Infelizmente, envolvido no escândalo da loge P2, fora preso, e seu interesse pela topologia sofreu dano irreversível.

**...**O revestimento de duas folhas de uma superfície de Boy, imagem do plano projetivo P², é uma esfera S² (ver Topologicon). Pugh construiu esse revestimento com duas camadas de arame para galinhas, objeto notável em todos os aspectos, ainda que, como já disse, prefiro pessoalmente o fio de cobre e a representação meridiano-paralelo. Mas mesmo na matemática pura:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Antes de apresentar a nota, uma última anedota. Charles Pugh havia construído sete modelos em arame para galinhas, o que lhe rendeu um prêmio importante, descrevendo as etapas sucessivas do viramento da esfera, sobre o qual falarei quando encontrar cinco minutos para colocar isso no site, e que haviam sido suspensos no teto da cafeteria do departamento de matemática da Universidade de Berkeley.

**...**Matemáticos de todo o mundo vinham em peregrinação para se maravilhar com essa sequência admirável em todos os aspectos. Mas uma noite, os modelos foram roubados e ninguém sabe o que aconteceu com esses sete objetos, que, aliás, eram estritamente invendáveis. Que ladrão aceitaria uma transação dessas? A menos que um rico amador, meio esteta, meio matemático, tenha financiado a operação, para armazená-los em uma adega blindada, apenas para sua alegria de ser o único homem capaz de contemplar a oitava maravilha do mundo, ainda que fosse feita de arame para galinhas.

**...**Pugh, apesar de sua maestria com o material, não teve coragem de iniciar uma nova série.

**...**Como já dissemos no início do site, a própria vida de Werner Boy permanece um mistério. Após inventar a superfície a que deveria associar seu nome, ele literalmente se desmaterializou após deixar a universidade. Apesar de suas pesquisas, Hilbert não conseguiu encontrá-lo, e ignora-se mesmo onde foi enterrado.

**...**Voltemos às matemáticas. A nota a seguir é relativamente fácil de ler. A partir das fórmulas de 1 a 8, qualquer aluno de ensino médio desperto poderá construir belas imagens e verificar que os cortes correspondem exatamente à figura 5.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 de outubro de 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIA. - Uma representação analítica da superfície de Boy. Nota de Jean-Pierre Petit e Jérôme Souriau, apresentada por André Lichnérowicz.

Apresenta-se uma representação analítica da superfície de Boy, permitindo traçar essa superfície.

1. INTRODUÇÃO.
**...**A superfície inventada em 1901 pelo matemático Werner Boy, aluno de Hilbert, é bem conhecida pelos matemáticos. Pode surgir como etapa central no viramento da esfera ( [1] e [2] ).

**...**Em 1979 (J.P.P.), construí uma maquete em fio metálico, destacando as posições que os meridianos da superfície deveriam ocupar. Um segundo trabalho realizado em 1980 com o escultor Max Sauze permitiu reconstruir uma segunda maquete onde as curvas estavam em planos e pareciam bastante próximas de elipses. A partir dessa maquete, parecia possível construir uma representação analítica de uma superfície com a topologia da superfície de Boy, cujos meridianos fossem elipses passando por um único polo.

2. COMO GERAR A SUPERFÍCIE DE BOY COM ELIPSES.

**...**Posicione o polo na origem das coordenadas. Nesse ponto, a superfície será tangente ao plano (XOY). Terá, portanto, o eixo OZ como eixo de simetria ternária (ver figura 1). As curvas meridianas são elipses situadas em planos Pm. Seja OX1 a interseção do plano Pm com o plano XOY. Denote por m o ângulo (OX, OX1). No plano Pm, posicione um segundo eixo OZ1 perpendicular a OX1. Denote por a o ângulo (OZ, OZ1).

Fig. 1 e Fig. 2

**...**O primeiro parâmetro dessa representação analítica será o ângulo m. Consideraremos o ângulo a como uma função de m (que será definida mais adiante). No plano Pm, vamos agora traçar uma elipse tangente a OX1 em O (ver figura 2). Tomaremos os eixos dessa elipse paralelos às bissetrizes de X1OZ1. Denotemos por A(m) e B(m) os valores dos eixos dessa elipse. Essa elipse Em será gerada por um segundo parâmetro livre q.

**...**Em resumo, obteremos as coordenadas X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) do ponto corrente da superfície.

**...**Nessa abordagem semi-empírica, medições realizadas por (J.S.) na maquete permitiram uma aproximação das funções a(m), A(m) e B(m). A superfície foi então traçada por computador "Apple-II", e obtiveram-se cortes com Z = constante, cuja análise permitiu determinar a identidade topológica com a superfície de Boy. Isso só foi possível com uma experimentação numérica (J.S.) que permitiu eliminar os pares de singularidades parasitas (aparição de pares de pontos cuspídeos).

**...**Decidimos reter: (1) A(m) + 10 + 1,41 Sen(6m - π/3) + 1,98 Sen(3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 Sen(6m - π/3) - 1,98 Sen(3m - π/6)
(3)

**...**No sistema X1 O Z1, as coordenadas do centro da elipse Em são: (4)

(5)

**...**No mesmo sistema, as coordenadas do ponto corrente da elipse são: (6)

(7)

e as coordenadas x, y, z são dadas por:
(8)