Voltemos a esta classe de homotopias das imersões do toro em R³. Voltemos a esta classe de homotopias das imersões do toro em R³. Pode-se facilmente ligar os dois objetos mostrados por meio de uma transformação "C". Tomamos um toro e o "auto-travessamos" em algum lugar, criando uma linha de pontos duplos que é um círculo: 
Coloquei "duas cores": cinza para o exterior do toro, branco para o interior. O auto-travessamento acima (que leva a uma das infinitas imersões possíveis do "toro padrão") faz então aparecer uma parte branca da superfície.
Observemos este objeto a partir de um ponto situado sobre o eixo do toro:
Em cima, a porção do interior (branca) do toro que o auto-travessamento fez aparecer. Podemos então aplicar uma "transformação C" e criar dois pontos cuspídeos. 
No ponto indicado pela seta, "estrangulamos" uma passagem. A operação cria dois pontos cuspídeos C1 e C2:
que podemos fazer migrar como a seguir:
Resta apenas realizar uma transformação C⁻¹ (confluência de dois pontos cuspídeos):
Obtemos o objeto: 
Esta imersão do toro é homotópica ao toro padrão.
Vê-se que esta operação "C" e sua inversa "C⁻¹", que ampliam o universo das imersões ao universo dos cisalhamentos de superfícies em R³, permitem fazer coisas interessantes. Pode-se construir o conjunto de todos os cisalhamentos das superfícies clássicas (esfera, plano projetivo, toro e garrafa de Klein). Quantas classes possui esse conjunto?
Vimos que a esfera e o plano projetivo pertencem à mesma classe (assim como a superfície de Boy direita e a superfície de Boy esquerda). Quantas classes de cisalhamento existem para o toro? Acredito, salvo engano, que este problema ainda não está resolvido. É possível, por meio de operações C, passar de uma classe de imersão do toro para outra, ou não? Intuitivamente, tendo a responder que não, mas trata-se apenas de uma conjectura.
Uma construção não pode demonstrar uma impossibilidade, mas apenas ilustrar uma possibilidade. Se alguém encontrar construções que permitam saltar de uma classe para outra, o teorema estará de fato demonstrado, mas o fato de não se encontrarem construções que permitam isso não constitui por si só uma demonstração. A ausência de prova não é prova de ausência. Dizer que existem quatro classes de cisalhamento do toro em R³, ou dizer que existe apenas uma, são conjecturas, simples crenças, no estado atual.
Diz-se que Smale demonstrou que o virar da esfera era possível antes que Phillips apresentasse a primeira construção. Poderia ter sido ao contrário. Mas quem teria tido a ideia de empreender uma tarefa assim, totalmente contra a nossa intuição geométrica?
A transformação C permite transformar uma esfera em um Cross cap, depois em uma superfície de Boy, passando pela superfície romana de Steiner. Ver o artigo. Ela permite transformar um toro em uma garrafa de Klein? Logicamente sim, mas não tenho a resposta pronta para essa pergunta.
En passant, por que falar de "plano projetivo"? Os objetos (unilaterais) mostrados são finitos. Resposta de Souriau:
- Em um plano temos "a reta do infinito". Basta colar esse plano ao longo da reta do infinito.
A qual, como é óbvio, é uma curva fechada.
No Topologicon encontra-se um pequeno desenho animado, um "feuilletable", que mostra como uma fita de Möbius com três meias-voltas pode se transformar em uma superfície de Boy. A última imagem mostra essa superfície, menos um disco. Basta adicionar esse disco para completar a superfície. Uma superfície de Boy é, portanto, uma fita de Möbius mais um disco. Exercício: usando as ferramentas do Topologicon, recalcule então sua característica de Euler-Poincaré (que vale 1).
Inversamente, poderíamos partir do disco e fazê-lo crescer, se auto-travessando, até se colar sobre essa fita de Möbius com três meias-voltas, o que é outra construção.
Encontrei os desenhos na comunicação de 55 páginas que apresentei no colóquio lacaniano de psicanálise em Aix-en-Provence (4 e 5 de abril de 1987), dedicado à "Perversão", e que consta das atas editadas por seus organizadores. Usarei este texto em um futuro documento intitulado "JPP chez Lacan".
Primeira imagem: o disco em processo de contorção.
A seguir, início da criação do conjunto de auto-interseção:
Figura seguinte: aparecimento do ponto triplo:
Deixo de colocar sombras, pois a superfície está prestes a se tornar unilatérica.
A seguir, a superfície está pronta para se colar sobre si mesma, ao longo de sua borda.
Aqui, foi representada a fita de Möbius com três meias-voltas, completando a superfície:
Figura seguinte: a mesma fita.
Depois, a superfície de Boy, completamente formada. Não se pode dizer, em relação às imagens apresentadas no Topologicon, "que a vemos por baixo", pois uma superfície de Boy não tem nem cabeça nem cauda. Digamos que, tal como se apresenta, vemos seu ponto triplo.
A seguir, seu conjunto de auto-interseção: 
Vocês, portanto, viram com seus próprios olhos o plano se dobrar sobre sua "reta do infinito". Daí seu nome: "plano projetivo", um tanto estranho à primeira vista. Talvez seja a primeira vez que se mostra ao público o infinito tão de perto.
Essas imagens foram compostas há cerca de vinte anos e este site ou este CD oferecem finalmente uma possibilidade de mostrá-las. O leitor pode se perguntar por que elas não apareceram em "Pour la Science" ou "La Recherche". Não foi falta de enviar artigos a essas revistas, mas as redações não acharam o tema interessante.
Espero que, com esta "caixa de ferramentas geométricas", vocês se apressem em inventar inúmeras superfícies novas. Eis uma, imaginada pela Sra. Ivars. Pegue uma esfera e enfie, em duas direções diametralmente opostas, dois segmentos de mesmo comprimento, até o contato, imaginando que esses segmentos estejam soldados a duas hastes, assim:
Quando os segmentos chegam ao contato, ocorre uma "cirurgia". Temos uma interseção de folhas ao longo do segmento, e dois pontos cônicos em cada extremidade. A seguir, esta superfície, em corte.
A mesma, em perspectiva:
No raio...