Venda Superfície de Menino

Documento sem nome

30 de dezembro de 2009

Vendi a superfície de Boy que eu havia criado

Agora sim: este objeto de um metro e quarenta de envergadura partiu esta manhã para a Bélgica, comprado por um médico, Pierre, além disso, fiel leitor das tiras de Lanturlu e que já conhecia o objeto pela leitura do álbum o Topologicon, gratuitamente baixável no site de Savoir sans Frontières em:

****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm

O Topologicon é citado na página da Wikipedia, mas o link não leva à página de download do Site Savoir sans Frontières, o que é bastante lamentável. Alguém talvez possa adicionar este link, mas eu pessoalmente não posso, tendo sido "banido para sempre" da Wikipedia em outubro de 2006 (por ter revelado a identidade de um colaborador, antigo aluno da École Normale Supérieure, que, graças ao seu doutorado em ciências teóricas em física, sobre cordas super, pôde obter um cargo em um banco).

Este objeto foi exposto durante vinte e cinco anos na "sala pi" do Palais de la Découverte de Paris. Eu o recuperei há alguns anos, na época em que a direção do Palais queria instalar naquela sala um pequeno anfiteatro de madeira. Preferi recuperá-lo antes que ele acabasse esmagado, armazenado em algum depósito, como uma "ciência consumível".

Quando teve lugar no Palais uma exposição dedicada às diferentes teorias sobre a construção das pirâmides, os workshops realizaram uma bastante bonita maquete, de 50 cm por 50 cm, mostrando as peças de ângulo da minha rampa de pedra. Eu desejei recuperar o objeto, mas até agora ele foi perdido. Ou talvez, como ciência consumível, tenha acabado na lixeira. Talvez um leitor possa me informar?

Ao visitar a Cité des Sciences, é impressionante a invasão do virtual, dos telas de plasma mostrando isto ou aquilo. Tanto que se tem a tentação de dizer: "por que ir a estes lugares, quando posso ter acesso a isso em casa, graças à Internet?"

Mundos virtuais, ciências consumíveis, vocês têm alma?

É na moda.

Em que a superfície de Boy é importante nas matemáticas? No raio das superfícies fechadas de duas dimensões, isentas de pontos singulares, encontramos apenas quatro:

As três primeiras eram conhecidas há muito tempo. A quarta era mais misteriosa. Foi apenas no final dos anos sessenta, quando eu era professor de escultura na Escola des Beaux Arts d'Aix en Provence, que construí a primeira representação desta superfície, com duas famílias de curvas, equivalente aos conjuntos meridiano-paralelos da esfera S2. Como se verá na tira de quadrinhos, a superfície inventada pelo matemático alemão Werner Boy, aluno de Hilbert, é o resultado da aplicação dos pontos de uma esfera sobre si mesmos, cada ponto sendo colocado em coincidência com seu antípoda. Assim, o polo norte é colocado em coincidência com o polo sul. Os meridianos da esfera "enrolam-se" nos meridianos de Boy.

Imediatamente tive a ideia de identificar uma das famílias de curvas com elipses.

Naquela época, o jovem Jérôme Souriau podia usar o Apple II do seu matemático pai. Um dia eu lhe disse:

*- Você quer fazer um trabalho para nós que nos valeria uma publicação no campo das matemáticas? *

E Jérôme respondeu:

*- Quem devo matar para isso? *

Tratava-se simplesmente de fazer medições nas elipses, com um transferidor e uma régua graduada, para construir curvas, e sua representação com uma série de Fourier. Ele realizou o trabalho em uma tarde. A nota nos relatórios da Académie des Sciences de Paris passou sem dificuldade. Ver esta reprodução da nota

Essas equações permitiram a Colonna, diretor do primeiro atelier de imagens de síntese da Escola Politécnica de Paris, produzir as primeiras imagens do objeto, mas sem mencionar as equações que ele usou para fazer esse trabalho (comportamento bastante comum na "comunidade científica").

**Imagem criada a partir da representação JP PETIT - Jérôme Souriau, com seus três feixes desagradáveis, resultantes de uma falta de acabamento na representação de Fourier. **

Mais tarde, as representações paramétricas multiplicaram-se. Abaixo, a de R. Bryant:

Esta segunda descoberta, a de uma parametrização com meridianos elípticos, permitiu ao matemático Apéry, aluno do matemático Bernard Morin, de Estrasburgo, construir a primeira representação da superfície em forma implícita, de sexto grau. (na sua tese de doutorado ele atribui esta invenção ao plástico Max Sauze, doutor em soldas de prata):

f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0

extremamente complicado.

**Imagem da superfície de Boy, construída com a representação implícita de Apéry, com os "meridianos elípticos" de J.P.Petit **

No site da Wikipedia, neste página, você encontrará uma animação, inspirada pelo flip book que você encontrará no Topologicon (1988). O mesmo para a representação poliédrica da superfície (outra invenção do seu servo, também presente no álbum), com os ângulos arredondados.

Em 1988, o matemático Brehm deu outra representação poliédrica, com dez faces e um teorema indica que o objeto não pode ter menos de 9 faces....

Poliedro de Brehm

*De gustibus et coloribus non disputandum *

Voltemos à representação de Apéry, única representação implícita conhecida. Por que esta superfície é tão desarmônica (e, portanto, sua equação tão complicada)?

Apéry, guiado por Morin, não explorou a simetria ternária do objeto. A equação coloca o eixo OZ como eixo de simetria; o que é um erro. Um melhor resultado teria sido obtido escolhendo como eixo de simetria o vetor (1, 1, 1). A simetria ternária então daria uma equação invariante permutando as coordenadas x, y, z. Além disso, colocando a origem das coordenadas no ponto triplo e decidindo que os três planos tangentes à superfície são os planos principais, eliminaríamos os termos de ordem dois, um e zero, reduzindo o termo de ordem três a

xyz

Uma tal simetria é explorada na superfície descoberta em 1844 por Steiner, na cidade de Roma, chamada posteriormente de superfície romana de Steiner, cuja equação é:

Olhando para a superfície:

A superfície romana de Steiner

Também composta por elipses, ela é, como esta última, unilatérica, portanto, inedível. :

As famílias de elipses da superfície rom...