Instabilidade de Jeans e gravitação cosmológica

Projeto Epistémotron 2

A instabilidade gravitacional ou
Instabilidade de Jeans

6 de maio de 2004

Considere uma esfera preenchida por "poeira", ou seja, com uma densidade constante de pontos massivos imóveis. A esfera tem um raio R. Ela representa uma massa M. Considere uma massa m situada na superfície dessa esfera. Escreva a lei de Newton. Em duas linhas de cálculo, obtém-se a equação de Friedmann, aquela dos modelos cosmológicos do mesmo nome:

Você poderá encontrar os três tipos de soluções dessa equação diferencial de segunda ordem, que dão origem aos modelos:

• Cíclico (R em cicloide)

• Hiperbólico (R tendendo a uma assíntota)

• O de Einstein-de Sitter, em tq

Em 1934, Milne e Mac Crea mostraram que a equação principal da RG poderia emergir do newtoniano. Nas décadas de 1970, eu fiz o mesmo com a solução maxwelliana da equação de Boltzmann, acoplada à equação de Poisson. Passemos adiante...

Focaremos agora na solução em tm construída por Einstein e de Sitter:

Vamos tornar esta equação adimensional introduzindo uma dimensão característica que será simplesmente o valor inicial do raio. Aparece então um tempo característico:

Se a solução de Einstein-de Sitter descreve uma expansão retardada, a partir de condições iniciais explosivas, ela é simétrica quando se troca t por -t. Obtém-se duas parábolas simétricas em relação a um tempo t = 0, evidentemente arbitrário. Se "lermos" a curva da esquerda, teremos a descrição de um colapso gravitacional que se autoacelera.

A esse fenômeno está associado esse tempo característico chamado tempo de Jeans. Assim, vê-se que uma massa de poeira (conjunto de partículas sem velocidade de agitação), qualquer que seja sua extensão 2R, colapsa em um tempo* que depende apenas do valor da densidade*.

Vamos agora considerar o fenômeno inverso: uma nuvem de massas m, de dimensão L, que é o local de um movimento de agitação térmica. Ignoramos as forças gravitacionais. A nuvem se dispersará em um tempo característico igual a L, dividido pelo valor médio da velocidade de agitação térmica , ligado à temperatura absoluta T (ver arquivo anterior, sobre a teoria cinética dos gases). Chamaremos esse tempo de dispersão de td. Em uma esfera de gás, esses dois fenômenos serão antagônicos. Percebe-se então que o tempo de dispersão é maior que o tempo característico de colapso ou acreção, se simplesmente a extensão do "aglomerado" considerado exceder um certo comprimento característico, o Comprimento de Jeans Lj.

Esse comprimento é proporcional à velocidade de agitação térmica e inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade r. Assim, "se aquecermos, estabilizamos".

• O que aquece (por exemplo, uma massa de gás interestelar)? Resposta: estrelas quentes, emitindo UV.

• O que esfria? Perdas radiativas (o gás irradia infravermelho).

Assim, uma massa de gás interestelar funciona como uma caixa d'água, sendo o local de um fenômeno homeostático. Se o gás esfria (radiativamente), torna-se gravitacionalmente instável e dá origem a estrelas que, emitindo UV, o reaquecem e o reexpansionam. É um mecanismo "anti-depressão". O fenômeno estelar atua em relação ao gás como um antidepressivo. Esse gás, em uma galáxia espiral, é confinado em um disco muito plano, com algumas centenas de anos-luz de espessura, o que é pouco em comparação com os 100.000 anos-luz que representam o diâmetro da galáxia. A camada de gás tem a geometria de um disco microsillon. Sua espessura é constante, simplesmente porque essa espessura é regulada pelo mesmo fenômeno anti-depressão, em toda parte.

Alguns de vocês tentaram modelar, por simulação, uma instabilidade gravitacional, sem sucesso. Porque seu gás estava muito quente, ou porque os pontos massivos não eram suficientemente massivos. Assim, o comprimento de Jeans era maior que o diâmetro do seu aglomerado inicial; ocorre um fenômeno análogo em 2D quando se trabalha sobre uma esfera, o que alguns de vocês fizeram. Vocês poderão se divertir em construir o equivalente da teoria de Jeans em 2D. Encontrar-se-á então um comprimento característico proporcional à velocidade de agitação térmica 2D, na "superfície" dessa esfera. A densidade desempenhará um papel análogo ao de 3D, mas confesso que esta noite estou com preguiça de esclarecer esse problema, sem interesse real, já que o universo é 3D e não 2D. Mas qualitativamente os fenômenos são semelhantes. Deveríamos então encontrar um comprimento de Jeans 2D. Se esse comprimento for maior que o perímetro de um grande círculo da esfera, não haverá aglomerados. Se esse comprimento de Jeans for pequeno em comparação com esse perímetro: muitos aglomerados. Quando vocês tiverem em mãos os programas de cálculo sobre a esfera 2D, poderão brincar com isso. D'Agostini fez um ótimo programa que instalarei na pasta seguinte. Vocês terão tanto o executável quanto o código-fonte, para brincar. É em Pascal.

A expansão resfria. Isentropicamente, ela é desestabilizadora.

Vê-se que o comprimento de Jeans cresce com a raiz de R. Logo, inevitavelmente, algo em expansão isentrópica torna-se instável, fragmenta-se. Se não houvesse fótons, a radiação cósmica, o universo teria criado aglomerados desde sua idade mais jovem. Ora, verifica-se que o acoplamento matéria-radiação inibiu a instabilidade gravitacional até que o universo se desionizasse por volta de t = 100.000 anos. Se tomarmos então a velocidade de agitação térmica do hidrogênio, que está logo abaixo de 3000°, e a densidade que reinava naquela época, encontraremos um certo valor do comprimento de Jeans, e se calcularmos a massa contida nesses aglomerados, encontraremos a massa de Jeans associada, que naquela época era de cerca de 100.000 massas solares. Assim, é lógico pensar que, no momento do desacoplamento, seriam massas equivalentes às dos aglomerados globulares que se teriam formado em aglomerados separados.

Uma pequena observação para encerrar. Quando cheguei ao observatório de Marselha, fugia de uma terrível enrascada que era o Instituto de Mecânica dos Fluidos (também conhecido como "laboratório de plutomecânica"). O laboratório, que estava ao lado da atual rodoviária de Marselha, perto da estação ferroviária de Saint Charles, foi demolido há alguns anos. Seu diretor está seis pés abaixo do solo. Foi lá que anulei a instabilidade de Vélikhov em 1966, o que provocou muitas febres. Um dia, sentado diante do meu gerador MHD impulsivo, em forma de canhão de gás, pensei: "cara, se não sair daqui, você vai se tornar como os outros". Então, em alguns meses, engoli um tratado sobre a teoria cinética dos gases, o "Chapman e Cowling", intitulado "The mathematical theory of non uniform gases", da Cambridge University Press. Um excelente livro que não recomendo demais, que iniciará aqueles que quiserem ir além na teoria com cálculos usando dyades, matrizes dyádicas. Em fase de digestão, tive uma ou duas ideias e construí uma tese de doutorado — canoa de...